高中数学第二章概率2.1随机变量及其概率分布学案苏教版选修2 - 3

2.1 随机变量及其概率分布

学习目标 1.理解随机变量的含义，了解随机变量与函数的区别与联系.2.理解随机变量x的概率分布，掌握两点分布.3.会求简单的分布．

知识点一 随机变量

思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？

思考2 在一块地里种10棵树苗，成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？

梳理 (1)随机变量的定义

一般地，如果____________的结果可以用一个________来表示，那么这样的变量叫做____________． (2)随机变量的表示方法

①随机变量通常用大写拉丁字母____________(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示． ②随机变量取的可能值常用小写拉丁字母____________(加上适当下标)等表示． 知识点二 随机变量的概率分布

思考 掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？当X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？

梳理 (1)随机变量X的概率分布列

一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝______，

i＝1,2,3，…，n，①

则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示．

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X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn 通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件pi______0，p1＋p2＋…＋pn＝______. (2)0－1分布(或两点分布)

随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为____________分布或______________，此处“～”表示“________”．

类型一 随机变量的概念

例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数；

(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．

反思与感悟 随机变量的辨析方法

(1)随机试验的结果的可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验

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之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量． 跟踪训练1 判断下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某天广电局信息台接到咨询电话的个数；

(2)某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；

(3)在一次绘画作品评比中设有一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为64 cm的正方体的棱长．

类型二 随机变量的取值 引申探究

在本例(1)的条件下，若规定取出一个红球赢2元，而取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？例2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X； (2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.

反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值

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时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．

跟踪训练2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；

(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．

类型三 随机变量的分布列 命题角度1 分布列性质的应用

例3 设随机变量X的分布列为P(X＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常数a的值； (2)求P(X≥3

5)；

(3)求P(110

10)．

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反思与感悟 利用概率分布及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的．

n(2)不仅要注意?pi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.

i＝1

跟踪训练3 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的概率分布表．

X －1 0 1 P 1112 4 6

试说明该同学的计算结果是否正确．

(2)设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下表：

ξ －1 0 1 P 12 1－2q q2 ①求q的值；

②求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．

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