数学物理方程 6.7.8章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社

数学物理方程第三次作业

习题6.2

??2u?0,(x,y,z)?V1.求解???uu?1,s?0?s?n?。

解：这是Laplace方程的Robin问题，直接调用公式，得

u(M0)?14???[s1rMM0?(M)??(M)?11()]ds???nrMM04??1()ds ???nrMM0s习题6.4

1.试证Green函数在半径为R的球形区域V和界面S上，且满足：

（1）0?G(M,M0)?（2）??s14?rMM0

?G(M,M0)dS??1 ?n证明：(1)由格林函数定义：G(M,M0)???2v(M)?0?,M,M0?Vs。由于在边界?1?vs?4?r?1?v(M),4?rMM0其中：

S上有：v?0，所以，由极值

11 ?v(M)?。4?rMM04?rMM0原理在整个Vs上v?0。所以G(M,M0)?下面证明：G(M,M0)?0，一方面：以M0为圆心在V中作球V?，球面设为S?。

??2G(M,M0)?0则??1G?G??vS??S?S?4?r?,M?Vs?V?。

S?limG(M,M0)??0S?S????。

由极值原理：G(M,M0)?0。

另一方面，容易知道：对任意的??0, 在Vs?V?中的点M，函数

G(M,M0)不能为零。

所以，G(M,M0)?0。得证：0?G(M,M0)??(14?rMM0。

证明：(2) ??s?G(M,M0)dS????ns1?v)14?rdS???4?r2?0??1，其中2?n4?r?2v?0,v是调和函数，所以??S?vdS?0。得证。 ?n 习题6.5

1.求区域上的Green函数：(1)上半圆域；(2)上半球域。 解：(1)镜像法。由于是上半圆域，所以参考圆域上的Green函

?(r0,2???0)；M(r,?0)；数，可得，需要四个电荷，分别为M0(r0,?0)；M0M?(r,2???0)，(0????)。所以将四个电荷的电势累加得：

1G(M,M0)?2??11R1R1??ln?ln?ln?ln? rrrrrr????MM00MM10MM1?MM0? (2) 同样参考球形域上的格林函数求法。需要四个电荷，分别

?(r0,???0，?0)；M(r,?0，?0)；M?(r,???0，?0)，为M0(r0,?0，?0)；M0(0????2，0???2?)。所以将四个电荷的电势累加得：

G(M,M0)?12??11R1R1?????? rrrrrr????MM00MM10MM1?MM0?3.在半平面y?0内求解Laplace方程uxx?uyy?0的边值问题，其边

界条件为u(x,0)???0,x?0 。?u0,x?0解：这是上半平面Laplace方程Dirichlet问题，直接调用公式，

得：

yu0yu0??1u(x,y)??ds?d(s?x)?0(s?x)2?y2??0(s?x)2?y2

us?x??u0?x?0arctan()0?[?arctan()]?y?2y1?? 习题6.6

2.验证函数u(x,y)?12???Df(?,?)ln1(x??)?(y??)22d?d?满足二维

Poisson方程：?2u??f(x,y)。 证明：v(x,y)?ln则：

?2u(x,y)?12?1(x??)2?(y??)2满足方程?2v(x,y)??2??(x??,y??)。

??Df(?,?)?2v(x,y)d?d??2?1f(?,?)??ln?d?d?22 (x??)?(y??)??????1?2??12???DD??f(?,?)[?2??(x??,y??)]d?d???f(x,y)得证。 习题7.1 2.求证J?12(x)?2cosx。 ?x证明：因为

其中

?1m!?(??m?1)211?3?5???(2m?1)?(??m?1)?? m22m?0J?12(x)??(?1)m?x21??2m21??2m2，

2mx2?2mx?(?1)?cosx 则J?12(x)??(?1)1???2m?xm?02m!?x1?3?5???(2m?1)m?022m!?2mm1??2m2得证。

3.求证J2n?1(0)?0，其中n?1,2,3.....

x2n?2m?1证明：J2n?1(x)??(?1)2n?2m?1，不难看出J2n?1(x)是一个奇

2m!?(2n?m)m?0?m函数，所以J2n?1(0)?0。 得证。

4.求证y?Jn(?x)是x2y???xy??(?x2?n2)y?0的解。

??(r)?rJn?(r)?(r2?n2)Jn(r)?0 证明：由于Jn(r)满足方程r2Jn将y?Jn(?x)带入方程中

??(?x)??xJn?(?x)?(?x2?n2)Jn(?x)， x2y???xy??(?x2?n2)y??x2Jn??(r)?rJn?(r)?(r2?n2)Jn(r)?0 再令r??x，化简，得：上式?r2Jn所以得证。 习题7.2

1.证明：(1) 1?J0(x)?2?J2k(x)

k?1?证明：由于J2k(x)是偶函数，则J?2k(x)?(?1)2kJ2k(x)?J2k(x)。同时

J2k?1(x)是奇函数，则J2k?1(x)?J1?2k(x)?J2k?1(x)?(?1)2k?1J2k?1(x)?0。

再由母函数e1?x1(z?)2z?k????????J??k(x)zk，令z?1，得：

(x)?J0(x)?2?J2k(x)。

k?1??k????Jk(x)?J0(x)?k????J2k(x)?k????J??2k?1得证。

3.试证：?0xnJ0(x)dx?xnJ1(x)?(n?1)xn?1J0(x)?(n?1)2?0xn?2J0(x)dx，并计算(1) ?0xx3xxJ0(x)dx (2)

?x0x4J1(x)dx。

解：证明：

?x0xnJ0(x)dx??xn?1dx[xJ1(x)]?xnJ1(x)??xJ1(x)dxn?100xx?xnJ1(x)?(n?1)?xn?1J1(x)dx?xnJ1(x)?(n?1)?xn?1dJ0(x)

00xx?xnJ1(x)?(n?1)xn?1J0(x)?(n?1)2?xn?2J0(x)dx0x(1) ?0x3J0(x)dx?x3J1(x)?2x2J0(x)?4?0xJ0(x)dx?x3J1(x)?2x2J0(x)?4xJ1(x) (2) ?0x4J1(x)dx???0x4dJ0(x)??x4J0(x)?4?0x3J0(x)dx

??x4J0(x)?4[x3J1(x)?2x2J0(x)?4xJ1(x)]?(2x2?x4)J0(x)?(4x3?16x)J1(x)xxxxx

4.计算积分：?J3(x)dx。

解：?J3(x)dx???x2[?x?2J3(x)]dx???x2d[x?2J2(x)]??J2(x)?2?x?1J2(x)dx

??J2(x)?2?x?1J2(x)dx??J2(x)?2?d[x?1J1(x)]??J2(x)?2J1(x)?Cx 习题7.3

4.设?i(i?1,2,3....)是J1(x)的正零点，证明：

?R00,i?j??2xJ0(x)J0(x)dx??R2

J(?),i?jRR0i??2?i?j

证明：

?R0xJ0(?(?iR)x)J0(2?jRx)dx?(x)d[R?i)2?(0R?iRx)J0(R?iRx)J0(?jRx)d(?iRx)RoR1?i0RR?i?j?jR?j?i?iRR?j??x??J1(x)J1(x)dx??x?J1(x)J1(x)dx?i0RRR?i0RR?i?R0J0(?jR?iRxJ1(?iRx)]?J(?jx)[xJ(?ix)]?R?R0xJ1(?iRx)d[J0(?jRx)]所以由Bessel函数的正交性，可得

若i?j，则方程等于零。

?若i?j，则j?i?R0R22x?J1(x)J1(x)dx?J0(?i)。

RR2?i?j所以得证。 习题8.1

(?1)n(2n)!1.证明：Pn(1)?1，Pn(?1)?(?1)，P2n?1(0)?0，P2n(0)?2n2。

2(n!)n证明：(1)：直接验证知，当n?2时，结论成立。

那么设Pk(1)?1，(k?n?1)。由Rodrigues公式：

1dn21dn?1?d2nn?Pn(x)?n(x?1)?(x?1)?2n!dxn2nn!dxn?1??dx?1dn?1?n?1x(x2?1)n?1n?12(n?1)!dx?????

1dn?1n?1dn?22n?1?n?1xn?1(x?1)?n?1(x2?1)n?1n?22(n?1)!dx2(n?1)!dx?若x?1，上式等号右侧第二项等于零。而右侧第一项可以表示为xPn?1(x)。则可得Pn(1)?Pn?1(1)?1。 所以得证。

(2)同样的道理，可以证明Pn(?1)?(?1)n。

(3)

P2n?1(x)??(?1)m(4n?2?2m)!x2n?1?2m2n?12m!(2n?1?m)!(2n?1?2m)!m?0

(4n?2)!(2n)!?2n?1x2n?1??????(?1)n?12n?1x2(2n?1)!(2n?1)!2(n?1)!n!n?1所以，P2n?1(0)?0。 (4)

P2n(x)??(?1)m(4n?2m)!x2n?2m2n2m!(2n?m)!(2n?2m)!m?0

(4n)!(2n)!?2nx2n??????(?1)n2n2(2n)!(2n)!2n!n!n(?1)n(2n)!所以P2n(0)?2n2

2(n!)3.证明：??1Pn(x)dx?0,n?1,2,3......

证明：由Rodrigues

1111dn2n(x?1)公式：Pn(x)?n。 n2n!dx1dn211?dn?12nn???P(x)dx?(x?1)dx?d(x?1)n?1??1n??12nn!dxn?2nn!??1?dx???1d(x2?1)n1?1?0nn?12n!dxn?1。

也可以直接使用Legendre多项式的正交性证明。

?1?1Pn(x)dx??P0(x)Pn(x)dx?0,n?1,2,3......

?1115.证明当m?n且为整数是，??1xmPn(x)dx?0

证明：由Rodrigues

1m1dn2n(x?1)公式：Pn(x)?n。 n2n!dx11m?dn?12m1m?1dn?12n?n??xP(x)dx?xd(x?1)?0?x(x?1)dxnnn?1nn?1??1??dx??12n!??12n!dx??分部积分m-1次?(?1)m?1m!?d2n(x?1)dx?1?0??nn?m?12n!?dx?n?m?1

得证。 习题8.2

1.用Legendre多项式的母函数证明：Pn(1)?1，Pn(?1)?(?1)n

1证明：由母函数

1?2xz?z2??Pn(x)zn,z?1,x?1n?0??。

令x?1，则

????11n??Pn(1)z，由于??zn1?zn?01?zn?0，所以Pn(1)?1。

令x??1，则

????11n??Pn(?1)z，由于??(?1)nzn，所以Pn(?1)?(?1)n。 1?zn?01?zn?0得证。 3.求证：(2)

Pn??1(x)?xPn?(x)?nPn(x)

证明：首先，对展开式的两端先后关于z，x求导，得 (x?z)(1?2xz?z)??nPn(x)zn?1

2n?1?32?z(1?2xz?z)2?32??Pn?(x)zn

n?1?则z?nPn(x)zn?1?n?1?(x?z)?Pn?(x)znn?1?。此式两端关于z的同幂次项

的系数应相等，于是当n?1时，有Pn??1(x)?xPn?(x)?nPn(x)。

得证。

4.利用递推公式计算??1xPn(x)Pk(x)dx。

解：由递推公式(n?1)Pn?1(x)?nPn?1(x)?(2n?1)xPn(x)，(n?1)有

1?(n?1)Pn?1(x)?nPn?1(x)?，所以 2n?11n?11n1??1xPn(x)Pk(x)dx?2n?1??1Pn?1(x)Pk(x)dx?2n?1??1Pn?1(x)Pk(x)dx。 xPn(x)?1再用正交归一化关系得：

2k?，(n?k?1)?4k2?1?12(k?1)?xP(x)P(x)dx?，(n?k?1) ???1nk?(2k?3)(2k?1)0，(n?k?1)??? 习题8.3

1dn2n(x?1)4.验证Pn(x)?n满足n2n!dxLegendre方程。

证明：要证明Pn(x)满足(1?x2)Pn??(x)?2xPn?(x)?n(n?1)Pn(x)?0。

因为 所以

d2(x?1)n?2nx(x2?1)n?1， dxd(x2?1)(x2?1)n?2nx(x2?1)n。

dx考虑到Pn(x)的表达式中含有(x2?1)n对x求n阶导数，所以

Pn??(x)中应含有(x2?1)n对x求n?2阶导数，所以对上式两端对x求

dn?1n?1阶导数，即：n?1dxd2dn?1?2n?2n(x?1)(x?1)?2nx(x?1)??dxn?1dx????。

再利用求乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，化简可得：

C0n?1dn?2dn?12dn2n1n2(x?1)n?2(x?1)?Cn?12xn?1(x?1)?Cn?12n(x2?1)ndxdxdx n?1ndd02n12n?Cn2x(x?1)?C2n(x?1)?1n?1dxn?1dxn2继续化简，得：

dn?2dn?1dn2n2n(x?1)n?2(x?1)?2xn?1(x?1)?n(n?1)n(x2?1)n?0

dxdxdx2等式两侧同时乘上常系数?d2(1?x)2dx21，即可得 n2n!?1dnd?1dn1dn2n?2n?2n(x?1)?2x(x?1)?n(n?1)(x?1)?0?n??n?nnnndx?2n!dx2n!dx?2n!dx??即得证Pn(x)满足(1?x2)Pn??(x)?2xPn?(x)?n(n?1)Pn(x)?0。

5.将下列函数展开成Legendre多项式级数： (2) 解：将

Cn??x,(0?x?1) f(x)??0,(?1?x?0)?f(x)展开成勒让德多项式的级数

f(x)??CnPn(x)，其中

n?0?2n?112n?11将Pn(x)用f(x)P(x)dx?xPn(x)dx。n2??12?0Rodrigues公式带

入，然后用分部积分法求出右端积分。当n?0及n?1时，被积函数分别为x及x2，可以直接积分，得：C0?1，C1?1。

42?2n?11?dn?22当n?2时，可得Cn???n?n?2(x?1)n?10。 22n!?dx? 因为(x2?1)n?(x?1)n(x?1)n，对它求n?2阶导数，所以求完导

?dn?22?数后所得的每一项都会含有x?1的因子，即?n?2(x?1)n?x?1?0。

?dx??dn?22n?只需计算?n?2(x?1)?x?0的值。则可得C2?5，C3?0，C4??3…。

dx1632??所以f(x)?1P0(x)?1P1(x)?5P2(x)?3P4(x)?????

421632

注：这不是标准答案，这是老师布置的作业。自己做的，仅供参考。一共三次作业，这是最后一次的。 Email：369780081@163.com

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