2014届高三数学一轮：数 列 求 和

课时跟踪检测(三十三) 数 列 求 和

1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋?＋a100＝( ) A．－200 C．200

B．－100 D．100

11111

2．数列1，3，5，7，?，(2n－1)＋n，?的前n项和Sn的值等于( )

2481621

A．n2＋1－n

2C．n2＋1－

12

n－11

B．2n2－n＋1－n 21

D．n2－n＋1－n 2

11

3．(2013·“江南十校”联考)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋a1a2a2a3

＋?＋

1

的结果可化为( ) anan＋1

1

B．1－n

212

1－n? D.?3?2?1

A．1－n

412

1－n? C.?3?4??1?

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?aa?的前100项和为

?nn＋1?

( )

100A. 10199C. 100

99B. 101101D. 100

2??n?当n为奇数时?，

5．已知函数f(n)＝?2且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋?＋a100

?－n?当n为偶数时?，?

等于( )

A．0 C．－100

?

?

B．100 D．10 200

?1?

6．设函数f(x)＝x2＋2x，则数列?f?n??(n∈N＋)的前10项和为( )

11A. 24175C. 264

17B. 2211D. 12

7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

nπ

8．(2013·榆林模拟)数列{an}的通项公式an＝sin(n∈N＋)，则{an}的前n项和S2 013＝

3________.

?1?

9．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?bb?的

?nn＋1?

前n项和Sn＝________.

10．(2012·山西适应性训练)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an·3an}的前n项和．

3

11．设函数f(x)＝x3，在等差数列{an}中，a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记Sn＝f(an＋1)，令

?1?

bn＝anSn，数列?b?的前n项和为Tn.

?n?

(1)求{an}的通项公式和Sn； 1

(2)求证：Tn<.

3

1?n－1

12．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－??2?＋2(n为正整数)． 1?n＋11

(1)证明：an＋1＝an＋??2?，并求数列{an}的通项公式； 2(2)若

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝( ) A．6n－n2

?6n－n2?1≤n≤3??C.?2 ?n－6n＋18?n>3??

cnan＝，Tn＝c1＋c2＋?＋cn，求Tn. n＋1n

B．n2－6n＋18

?6n－n2 ?1≤n≤3??D.?2 ?n－6n ?n>3??

－

2．(2012·成都二模)若数列{an}满足a1＝2且an＋an－1＝2n＋2n1，Sn为数列{an}的前n项和，则log2(S2 012＋2)＝________.

2

3．(2012·“江南十校”联考)若数列{an}满足：a1＝，a2＝2,3(an＋1－2an＋an－1)＝2.

3(1)证明：数列{an＋1－an}是等差数列；

11115

(2)求使＋＋＋?＋>成立的最小的正整数n.

a1a2a3an2

答 案

课时跟踪检测(三十三)

A级

1．选D 由题意知，a1＋a2＋a3＋?＋a100＝－1＋3－5＋7＋?＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋?＋(－197＋199)＝2×50＝100.

2．选A 该数列的通项公式为 1

an＝(2n－1)＋n，

2

1111＋2＋?＋n?＝n2＋1－n. 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋?2??2223．选C an＝2n1，设bn＝

－

1?2n－11

＝?， anan＋1?2?

11?1－n?11?3?1?2n－1＝2?4? 则Tn＝b1＋b2＋?＋bn＝＋?＋?＋?2?2?2?1

1－412

1－n?. ＝?4?3?

4．选A 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，

a＋4d＝5，??1∴? 5×?5－1?

5a＋d＝15，?2?1

??a1＝1，∴?∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ?d＝1，?

∴

?1?11111111

＝＝－，∴数列?aa?的前100项和为1－＋－＋?＋－223100anan＋1n?n＋1?nn＋1?nn＋1?

11100

＝1－＝. 101101101

5．选B 由题意，a1＋a2＋a3＋?＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋?＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋?－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋?＋99＋100)＋(2＋3＋?＋100＋101)＝－1＋101＝100.

1?1?1111

6．选C 由题意知，＝2＝?n－n＋2?，故数列?f?n??(n∈N＋)的前10项和为

?f?n?n＋2n2???11?11111751?1??11??11?.?1－3?＋?2－4?＋?3－5?＋?＋??10－12?＝21＋2－11－12＝264. 2

7．解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1

＝2

n－1

＋2

n－2

2－2n

＋?＋2＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，

1－2

2

2－2n1n＋1

∴Sn＝＝2－2.

1－2

＋

答案：2n1－2.

＋

8．解析：因为{an}是以6为周期的数列，且连续6项的和为0，所以S2 013＝S335×6＋3＝a1＋a2＋a3＋335×0＝3.

答案：3

9．解析：设等比数列{an}的公比为q，

a4－－

则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn1＝3×3n1＝3n，故bn＝log3an＝n， a11111所以＝＝－.

bnbn＋1n?n＋1?nn＋1

?1?111111n则数列?bb?的前n项和为1－＋－＋?＋－＝1－＝. 223nn＋1n＋1n＋1?nn＋1?

答案：

n

n＋1

10．解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)． 由条件可知：(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，解得d＝2. 故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N＋)．

(2)由(1)知an·3an＝2n×32n，设数列{an·3an}的前n项和为Sn， 则Sn＝2×32＋4×34＋6×36＋?＋2n×32n， 32Sn＝2×34＋4×36＋?＋(2n－2)×32n＋2n×32n2，

＋

故－8Sn＝2(32＋34＋36＋?＋32n)－2n×32n2，

＋

?8n－1?×9n1＋9所以Sn＝. 32

＋

?8n－1?×9n1＋9

所以数列{an·3an}的前n项和Sn＝.

32

＋

11．解：(1)设数列{an}的公差为d，由a3＝a1＋2d＝7，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，解得a1＝1，d＝3，则an＝3n－2.

3

∵f(x)＝x3，∴Sn＝f(an＋1)＝an＋1＝3n＋1. (2)证明：∵bn＝anSn＝(3n－2)(3n＋1)， 11111

∴＝＝?3n－2－3n＋1?. bn?3n－2??3n＋1?3??

111111111∴Tn＝＋＋?＋＝1－＋－＋?＋－

b1b2bn34473n－23n＋1

111

＝?1－3n＋1?，∴Tn<. 3?3?

1?n－11?n?12．解：(1)证明：由Sn＝－an－?＋2得S＝－a－n＋1n＋1

?2??2?＋2，两式相减得an＋1

1?n

＝－an＋1＋an＋??2?，

1?n＋11

即an＋1＝an＋??2?. 2

1?n－1由Sn＝－an－??2?＋2，令n＝1得 1a1＝.

2

1?n＋11?1?n＋1得 在an＋1＝an＋?中，两边同除以?2??2?2

2n1an＋1＝2nan＋1，即数列{2nan}是首项为1，公差为1的等差数列，∴2nan＝n，∴an

＋

n

＝n(n∈N＋)． 2

1?ncnan(2)由(1)及＝得cn＝(n＋1)??2?， n＋1n

1?21?1?3＋?＋(n＋1)?1?n，① ∴Tn＝2×＋3×?＋4×?2??2??2?21?21?1?3＋4×?1?4＋?＋(n＋1)?1?n＋1，② Tn＝2×?＋3×?2??2??2??2?2

由①－②得

1?2?1?31?1?n－(n＋1)?1?n＋1 Tn＝1＋?＋＋?＋?2??2??2??2?2

1??1?n－1?1－?2??4?3?1?n＋1＝3－n＋＝1＋－(n＋1)·n＋1， ?2?122

1－2n＋3

∴Tn＝3－n.

2

B级

1．选C ∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7， ∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，

2

??6n－n?1≤n≤3?，∴Tn＝?2

?n－6n＋18?n>3?.?

2．解析：因为a1＋a2＝22＋2，a3＋a4＝24＋23，a5＋a6＝26＋25，?，所以S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋?＋a2 011＋a2 012

＝21＋22＋23＋24＋?＋22 011＋22 012 2?1－22 012?2 013＝＝2－2，

1－2故log2(S2 012＋2)＝log222 013＝2 013. 答案：2 013

3．解：(1)由3(an＋1－2an＋an－1)＝2可得： 2

an＋1－2an＋an－1＝，

32

即(an＋1－an)－(an－an－1)＝，

3

42

故数列{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公差的等差数列．

33422

(2)由(1)知an＋1－an＝＋(n－1)＝(n＋1)，

333

21

于是累加求和得an＝a1＋(2＋3＋?＋n)＝n(n＋1)，

33111

∴＝3?n－n＋1?， an??

111135∴＋＋＋?＋＝3－>，∴n>5， a1a2a3ann＋12∴最小的正整数n为6.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kl75.html