2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题2（数学）

2009届全国名校真题模拟专题训练09

三、解答题(第二部分)

立体几何

31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。 （1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。 （1）解：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，

∴PC⊥AB。

∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB， ∴CD⊥AB。 又PC∩CD＝C， ∴AB⊥平面PCB。

（2）解法一：

取AB的中点E，连结CE、DE。

∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝2.

∵CD⊥平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。 ∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角。 由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC， 又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝2. （2）解法二：

∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）。????6分 设平面PAB的法向量为m?(x,y,z).

A(0,2,0),P(2,0,2),C(2,0,0),

?BA?(0,2,0),AP?(2,?2,2),?则?BA?m?0,??即??2y?0?, ??AP?m?0.??2x?2y?2z?0解得?y?0?.令z??1,?x??2z得m?(2,0,?1). ????8分 设平面PAC的法向量为n?(x1,y1,z1)，

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

CP?(0,0,2),AC?(2,?2,0),??CP?n?0,?2z1?0则?即?2x1???AC?n?0.?,

2y1?0?z1?0解得?.令x1?1,得n?(1,1,0).

x?y1?1?cos?m,n?m?n|m|?|n|?23?2?33.

????10分

????11分

?二面角C?PA?B大小为arcos33. ????12分

（2）解法三：

∵CD⊥平面PAB，∴CD是平面PAB的一个法向量。 取AC中点F，∵AB＝BC＝2，∴BF⊥AC， 又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC， ∴BF⊥平面PAC，∴BF是平面PAC的一个法向量。

BF?12(BA?BC)

????7分

设CD??CP?(1??)CB,?CD?BP即CD?BP?0得(?CP?(1??)CB)?(CP?CB)?0,由(1)知CP?CB?0,CP?BA?0, ??|CP|?(1??)|CB|?0,而|CP|?2,|CB|????222213,?CD?19?4?4913CP?2343CB.

2????9分

14?(2?2)?1,

|CD|??2?,|BF|?????10分

?cos?CD,BF??CD?BF|CD|?|BF|??33.

32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝＝1，

⑴求证：平面BEF⊥平面DEF； ⑵求二面角A－BF－E的大小。

解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC， ∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO， ∵正方形ABCD的边长为2，∴AC＝BD＝2； 在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，

2，EF＝EC

∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝2，

DE＝BE＝3，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF， ∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，

由BF＝DF＝2，BD＝2可知∠BFD＝90?， ∴平面BEF⊥平面DEF ??????（6分） ⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN， ∵AB＝BF＝AF＝2，∴AM⊥BF， 又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，

∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。 易求得AM?32AB?62EFNCPMBO，MN?12EF?12；

114DA在Rt△APN中，可求得AN2?AP2?NP2?，

63∴在△AMN中，由余弦定理求得cos?AMN??∴?AMN???arccos63，

???????????（12分）

解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD； 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则A(B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F(2,2,0)

z22,22,1), ?(?2,0,1)E∴EF?(22,22,0)，BE?(0,?2,1)，DE?(2分) CF设平面BEF、平面DEF的法向量分别为

m?(x1,y1,1) n?(x2,y2,1)，则

Bym?EF?22x1?22y1?0 ①

?22x2?22xDAm?BE??2y1?1?0 ②，n?EF22,y1?2222y2?022 ③,

n?DE??2x2?1?022,22,1) n?(22④.

22,1)由①③③④解得x1分） ∴m?n??12?12??;x2?.y2??,∴m?(?,?,?（4

?1?0，∴m?n，故平面BEF⊥平面DEF????（6分）

?(x3,y3,1)，∵BF?(p?BA?⑵设平面ABF的法向量为 p∴

p?BF?2x3?2y3?1?022,?22,1)，BA?(2,0,0)

?0,y3?2 ??????????m?p26??∴p?(0,2,1)，???（8分）∴cos?m,p??????（10??3ㄧ m ㄧㄧ?p ㄧ2?3分）

22，

2x3?0，解得x3由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为??arccos63

33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥P?ABCD的底面为直角梯

?形，?ADC??DCB?90，AD?1，BC?3，PC?CD?2，PC?底面ABCD，

E为AB的中点.

（Ⅰ）求证：平面PDE?平面PAC； （Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角； （Ⅲ）求点B到平面PDE的距离.

解法一：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F， 则?DAE??FBE，∴BF?AD?1，∴CF?4，∴tan?F?又∵tan?ACD?ADDC?12DCCF?12P

，

C ，∴?F??ACD，

D 又∵?ACD??ACF?90?，∴?F??ACF?90?， ∴?CGF?90?，∴AC?DE

A E

B

又∵PC?底面ABCD，∴PC?DE，∴DE?平面PAC，

∵DE?平面PDE，∴平面PDE?平面PAC?????????????（4分） （Ⅱ）连结PG，过点C作CH?PG于H点， 则由（Ⅰ）知平面PDE?平面PAC， 且PG是交线，根据面面垂直的性质， 得CH?平面PDE，从而?CPH即

?CPG为直线PC与平面PDE所成的角.

P

455在Rt?DCA中，CG?CD2AC?CGPC2222?，

H C 2?1在Rt?PCG中，tan?CPG?45?52?255

D

. 所以有?CPG?arctan255，

A E B F

即直线PC与平面PDE所成的角为arctan14255?????????????（8分）

（Ⅲ）由于BF?CF，所以可知点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离

的

14，即

14CH. 在Rt?PCG中，CH?PC?CGPC?CG222??2455455)2?43，

2?(从而点B到平面PDE的距离等于

13??????????????????（12分）

解法二：如图所示，以点C为坐标原点， 直线CD,CB,CP分别为x,y,z轴，

z P

C 建立空间直角坐标系C?xyz， 则相关点的坐标为C(0,0,0),A(2,1,0)

B(0,3,0)，P(0,0,2)，D(2,0,0)，E(1,2,0). ????????（Ⅰ）由于DE?(?1,2,0)，CA?(2,1,0)，

????CP?(0,0,2)，

所以DE?CA?(?1,2,0)?(2,1,0)?0，

????????DE?CP?(?1,2,0)?(0,0,2)?0，

????????所以DE?CA,DE?CP，

而CP?CA?C，所以DE?平面PAC，∵DE?平面PDE，

∴平面PDE?平面PAC???????????????????????（4分）

???????????（Ⅱ）设n?(x,y,z)是平面PDE的一个法向量，则n?DE?n?PE?0，

???????? 由于DE?(?1,2,0)，PE?(1,2,?2)，所以有

???????n?DE?(x,y,z)?(?1,2,0)??x?2y?0， ????????n?PE?(x,y,z)?(1,2,?2)?x?2y?2z?0?令x?2，则y?1,z?2，即n?(2,1,2)，

????再设直线PC与平面PDE所成的角为?，而PC?(0,0,?2)，

??????????n?PC|(2,1,2)?(0,0,?2)|2?????所以sin??|cos?n,PC?|???， |n|?|PC||(2,1,2)|?|(0,0,?2)|3∴??arcsin23，因此直线PC与平面PDE所成的角为arcsin23??????（8分）

?????（Ⅲ）由（Ⅱ）知n?(2,1,2)是平面PDE的一个法向量，而BE?(1,?1,0)，

?????|n?BE||(2,1,2)?(1,?1,0)|1?? 所以点B到平面PDE的距离为d??|(2,1,2)|3n34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥

P?ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA?AD?2，点M、N分别在侧棱PD、PC上，且PM?MD

错误！未找到引用源。

（Ⅰ）求证：AM⊥平面PCD；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kl6h.html