河北省石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）（理数）

河北省石家庄市2017届高三复习教学质量检测（一）

数学（理科）

本试卷共23小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1．设集合A?x|?x?1??x?3??0,B??x|2?x?4?，则A?B?

A．?x|?1?x?3? B．?x|?1?x?4? C．?x|1?x?2? D．?x|2?x?3? 2．若复数z满足zi?2?3i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为 A．?3?2i B．?3?2i C．2?3i D．3?2i 3．下列选项中，说法正确的是

A．若a?b?0，则lna?lnb

B．向量a??1,m?,b??m,2m?1??m?R?垂直的充要条件是m?1

??）?2C．命题“?n?N,3??n?2??2*nn?1n?1”的否定是“?n?N,3?(n?2)?2?nn?1”

D．已知函数f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)?f(b)?0，则f?x?在区间?a,b?内至少有一个零点”的逆命题为假命题

4．已知等差数列?an?的公差为5，前n项和为Sn，且a1,a2,a5成等 比数列，则S6?

A．80 B．85 C. 90 D．95

5．如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S??12，则输出的S的值为 A．4 B．5 C. 8 D．9

1

6．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小 正方形的边长为1），则该几何体的体积为

A． 2 B． 3 C. 4 D．6 7．若函数f?x??3sin?2x????cos?2x????0?????的图象

???????,0?对称，则函数f?x? 在??,?上的最小值是 ?2??46?13A．-1 B．?3 C. ? D．? 22?x?y?1?8．若x,y满足?mx?y?0且z?3x?y的最大值为2，则实数m的值为

?3x?2y?2?0?关于?A．

12 B． C. 1 D．2 339．若a,b是正数，直线2ax?by?2?0被圆x2?y2?4截得的弦长为23，则t?a1?2b2取得最大值时a的值为

1333 B． C. D． 2424?2ex?1,x?110．已知函数f?x???3，则f?f?x???2的解集为

?x?x,x?1A．?1?ln2,??? B．???,1?ln2?

A．

C. ?1?ln2,1? D．?1,1?ln2?

11．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称

之为鳖臑，在鳖臑A?BCD中，AB? 平面BCD，且

BD?CD,AB?BD?CD，点P在棱AC上运行，设 CP的长度为x，若?PBD的面积为f?x?，则f?x?的

图象大致是

12．若存在正实数m，使得关于x的方程x?a?2x?2m?4ex???ln?x?m??lnx???0有两个不同

的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是

（0，）A．???,0? B． C. (??,0)?(12e11,??) D．(,??) 2e2e 2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）

1n2313．若二项式(x?)展开工的二项式系数之和为64，则含x项的系数为 ．

x?????????????????????????????14．已知AB与AC的夹角为90°，AB?2,AC?1,AM??AB??AC??,??R?，且

AM?BC?0，则

?的值为 ． ?1121231234233444555512nnn?1,?，n15．已知数列?an?的前n项和为Sn，数列?an?为,,,,,,,,,,?,,,?,若Sk?14，则ak? ．

x2y216．已知F为双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M,N两点，

ab且MF?NF?0，?MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

32?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且?a?c??b2?ac.

4（1）求cosB的值；

sinB、sinC成等差数列，求?ABC的面积. （2）若b?13，且sinA、

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，底面ABCD 为梯形，AD//BC,CD?BC,AD?2,AB?BC?3,PA?4,M 为AD的中点，N为PC上一点，且PC?3PN. （1）求证：MN//平面PAB；

（2）求二面角P?AN?M的余弦值.

19．（本小题满分12分）

为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了 成年男性、女性各20人组成的一个样本，对他们的这项血 液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我 们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.

（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列 出二维列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前 提下认为此项血液指标与性别有关系？

（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机 抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数 X的分布列及数学期望.

n?ad?bc?2附：K?，

?a?b??c?d??a?c??b?d?其中n?a?b?c?d.

2P?K2?k0? 0.025 0.010 0.005 6.635 7.879 k0 5.024 3

20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知点F?1,0?，直线l:x??1，动直线l?垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l?于点P，设点P的轨迹为C. （1）求曲线C的方程；

（2）以曲线C上的点P?x0,y0??y0?0?为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x,y轴交于A,B两点，且l1恰与以定点M?a,0??a?2?为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求?ABF与?PAM面积的比.

21. （本小题满分12分）

已知函数f?x??ln?x?a??bx,g?x??bx?1e?22x??1x?a?a,b?R,e为自然对数的底数?，b且f?x?在点1,f?1?处的切线方程为y??（1）求实数a,b的值；

（2）若x?0，求证：f?x??g?x?.

??1x?ln2. 2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

?x?2?tcos?在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是?（t为参数），以O为极点，x轴的

y?tsin??正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos线C交于P,Q两点.

（1）求曲线C的普通方程及直线l恒过的定点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若APAQ?6，求直线l的普通方程. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f?x??x?3?x?m?x?R?. （1）当m?1时，求不等式f?x??6的解集；

（2）若不等式f?x??5的解集不是空集，求参数m的取值范围.

22??2?2sin2??12，且直线l与曲

4

数学（理科）参考答案

一、选择题：

1-5 DBDCC 6-10 ABDDB 11-12AD 二、填空题: 13. 20 14.

17 15． 16. 482

三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

2解：（Ⅰ）由?a?c??b?235ac，可得a2?c2?b2?ac 44……………2分

a2?c2?b25? ，……………4分 ∴

2ac85．………………6分 85（Ⅱ）∵b?13，cosB?

8即 cosB?由余弦定理，得b?13?a?c?2225132ac??a?c??ac 44又∵sinA、sinB、sinC的值成等差数列，由正弦定理，得a?c?2b?213 ∴13?52?13ac，解得ac?12．……………8分 4由cosB?539，得sinB?，……………10分 88∴△ABC的面积S?ABC?1139339． acsinB??12??2284……12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H, 连接AH,在△PBC中,NH∥BC,

11NH?BC?1AM?AD?1 且 ,32又AD∥BC,∴NH∥AM且NH=AM,∴四边形AMNH为平行 四边形， ∴MN∥AH， ……2分

AH?平面PAB ，MN?平面PAB

5

∴MN∥平面PAB.…………………4分

（II）在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，，则AE?AD .

分别以AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则P0,0,4， M(0,1,0)，

??2228 ,,)333……………6分??设平面AMN的法向量m?(x,y,z) ????????2228AM?(0,1,0),AN?(,,)则

333?y?0??1?取m?(2,0,?) ……………8分 ?22282x?y?z?0??333?设平面PAN的法向量n?(x,y,z) ???????2228AP?(0,0,4),AN?(,,)

333?4z?0?? 取n?(1,?2,0)?2228x?y?z?0??333……………10分

C22,2,0，N(??

????则cosm,n?

二面角P?|m||n|?????m?n

??26 9

AN?M的余弦值为26 .9……………12分

19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由茎叶图可得二维列联表

男性 女性 合计 ……………2分

240?（16?8-12?4）n(ad?bc)2=?1.904?6.635…………4分 K=20?20?28?12(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)正常 16 12 28 偏高 4 8 12 合计 20 20 40 2所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系。

………………………5分

（II）由样本数据可知，男性正常的概率为

43，女性正常的概率为。…………6分 55此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0,1,2,3,4

6

4234P(X?0)?（1?）（1?)2?

556254343441413P(X?1)?C2（1?)(1?)2?（1?)2C2(1?)= 555555625423441334232169P(X?2)?（）（1?)2+C1（1?)?C（1?)+（1?）（)= 225555555562543432641413P(X?3)?C2（1?)()2?（)2C2(1?)= 55555562543144P(X?4)?（)2()2=

55625所以X的分布列为 X P 0 1 2 3 4 4 62544 625169 625264 625144 625 ………………11分 所以EX=0?444169264144?1??2??3??4?=2.8 625625625625625此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8……………12分

20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得PH?PF，

?点P到直线l:x??1的距离等于它到定点F?1,0?的距离，…………2分 ?点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，

?点P的轨迹C的方程为y2?4x …………………4分

（Ⅱ）解法一：由题意知切线l1的斜率必然存在，设为k，则l1:y?y0?k?x?x0? ．

?44?y?y0?k?x?x0??1?22由? ，得y?y0?k?y2?x0?，即y?y?y0?y0?0

2kk?4???y?4x2由??0，得到k?．

y0∴l1:4x?2y0y?y02?0，……………………6分 解法二：由y2?4x，当y?0时，y?2x，?y??1 x?以P为切点的切线l1的斜率为k?1 x01(x?x0) x0?以P(x0,y0)(y0?0)为切点的切线为y?y0?y022即y?y0?(x?)，整理l1:4x?2y0y?y02?0………………6分

y04yy令x?0,则y?0，?B(0,0)

22 7

y02??x0，?A(?x0,0)………………7分 令y?0,则x??4点M?a,0?到切线l的距离d?y02?4a?y02?4?2a?2?2a?1(当且仅当

2y20?42y20?4y0?2a?2时，取等号)．

∴ 当P?a?2,2a?2?时，满足题意的圆M的面积最小．………………9分 ∴A?2?a,0?，B?0,a?2?．

S1?ABF?2|1?(2?a)|?|a?2|?12?a?1?a?2S1?APM?2|a?(2?a)||2a?2|?(a?1)?2a?2．……………11分

∴S?ABFS?1． ?APM4?△ABF与△PAM面积之比为14． ………………12分

21．（本小题满分12分） 解：（I）?f?(x)?1x?a?2bx， ?f?(1)?11?a?2b，且f(1)?ln(1?a)?b ?以点(1,f(1))为切点的切线方程为y?f(1)?f?(1)(x?1)

即：y?(11?a?2b)x?11?a?b?ln(1?a) …………………2分 ?1?2b??1????1?a2???????(1)????1

1?a?b?ln(1?a)?ln2???(2)由(2)得b?ln2?ln(1?a)?11?a，

代入(1)得：2ln(1?a)?11?a?2ln2?12 又y?2lnx?1x为单调递增函数……………………4分

所以可得?a?1,b?12； ……………………………5分

（II）由（I）可知f(x)?ln(x?1)?12x2,g(x)?(12x2x?1)e?2x?1，

思路1?：易知：ln(1?x)?122x?x，证明如下：

令F(x)?ln(1?x)?122x?x

8

，

11?x2?x?x?1?x2?2x?x(x?2)?x?1???则F?(x)? x?1x?1x?1x?1当x?[0,??),时，F?(x)?0

1?F(x)?F(0)?0,即：ln(1?x)?x2?x ……………………………7分

2?思路2：易知：ln(x?1)?x，证明如下：

1?x?1? m(x)?ln(x?1)?x，?m?(x)?x?1x?1显然，当x?(?1,0),m?(x)?0,x?(0,??),m?(x)?0， ?m(x)?m(0)?0，即ln(x?1)?x

1212又??x?0，?ln(1?x)?x?x（当x?0时取等号）. ……………………7分

2211?要证：f(x)?g(x)，即：ln(x?1)?x2?(x2?1)ex?2x?1

221212xx只需证：x?(x?1)e?2x?1，即证：(x?1)e?x?1?0

2212x令h(x)?(x?1)e?x?1,x?[0,??)

212xx则h?(x)?xe?(x?1)e?1，

212xx令H(x)?h?(x)?xe?(x?1)e?1……………………………9分

21212xxxxxx则H?(x)?e?xe?xe?(x?1)e?2xe?xe?0（只有x?0时，等号成立）

22?H(x)?h?(x)在[0,??)为增函数，?h?(x)?h?(0)?0 ?h(x)在[0,??)为增函数，?h(x)?h(0)?0

11?ln(x?1)?x2?(x2?1)ex?2x?1，即f(x)?g(x).…………………………12分

22

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请把所选题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程： .解：（I）

?x??cos?,y??sin??C:x2?2y2?12 ?直线l恒过的定点为A?2,0?…….4分 （II）把直线l方程代入曲线C方程得： ?sin2??1?t2?4cos?t?8?0......5分

8……..2分

由t的几何意义知AP?t1,AQ?t2.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以

sin2??1?APAQ?t1t2?6………………7分 即812?6?sin??，，????0,??

1?sin2?39

t1t2??

?sin??36，cos???… 332…………9分 ?k??222因此，直线直线l的方程y?(x?2)或y?-(x?2).......10分

22

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

?x??1........1分

??(x?1)?(x?3)?6??1?x?3 ?........2

(x?1)?(x?3)?6??x?3........3分 ??(x?1)?(x?3)?6解：（Ⅰ）解：?解得：xx?-2或x?4........5分 （II）法1.化简f(x)得 当?m?3时

????2x?3?m;x??m? f(x)??m?3;?m?x?3……..6分

?2x?m?3;x?3?当?m?3时

??2x?3?m;x?3?f(x)???3?m;3?x??m……..7分

?2x?m?3;x??m???m?3由于题意得：? 即?3?m?2…….8分

?m?3?5??m?3 或?即m??8…….9分

??m?3?5??m?8?m?2?……..10分

法2. ?x-3?x?m??x?3???x?m??m?3

?f(x)min?3?m.......7分

?m?3?5......8分

??m?8?m?2?.....10分

10

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