华南理工大学网络教育学院：《工程数学》作业之01（答案）

工 程 数 学 作业之一解答

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作业一：线性代数

一．问答题

1．叙述三阶行列式的定义。

a11a12a22a32a13a23表示数值： a33答：定义1：用32个数组成的记号a21a31a11a22a32a12a22a32a23a33?a12a21a23a31a33?a13a21a22a31a32

称为三阶行列式，即：

a11a21a31aa23＝a1122a32a33a13a23a33?a12a21a23a31a33?a13a21a22a31a32

?a11?a1n???定义2：用n2个数组成的记号D＝?????表示数值：

?a?a?nn??n1a22(?1)1?1a11a32?an2a21a31?an1a23?a2na33?a3n???an3?anna22?a2,n?1a32?a3,n?1???an2?an,n?1a21a23?a2na33?a3n???an3?ann＋

(?1)1?2a12a31?an1＋?＋

(?1)1?na1n

称为n阶行列式。

2．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。 答：定义：在n阶行列式D中划去aij所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n－1）阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij，即

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a11???a1,j?1?a1,j?1???a1n?

Mij＝

ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j?1?ai?1,nai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j?1?ai?1,n??????an1?an,j?1an,j?1?ann(?1)i?j?Mij称为aij的代数余子式，记为Aij，即 Aij＝(?1)i?j?Mij

3．叙述矩阵的秩的定义。

答：定义：设A为m?n矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r

4．叙述对称阵、可逆矩阵的定义。 答：定义1：满足条件aij?aji(i,j?1,2,?,n)的方阵(aij)n?n称为对称阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。

定义2：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA=E，其中E为n阶单位阵，则称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。

5．叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。 答：定义1：设两个m?n矩阵

?a11?a1n??b11?b1n?????A＝?????，B＝?????

?b??a??m1?bmn??m1?amn??a11?b11?a1n?b1n??????则称m?n矩阵??为矩阵A与B的和，记作A＋B ?a?b??m1m1?amn?bmn?定义2：以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA，如果A＝(aij)m?n，那么kA=k(aij)m?n?(kaij)m?n,即

?ka11?ka21kA=?????kam1ka12ka22?kam2ka1n??ka2n?? ?????kamm??

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6．叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。

答：定义：设有向量组?1,?2,?,?s,如果存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使得

k1?1?k2?2???ks?s?O 成立，则称向量组?1,?2,?,?s,线性相关。否则，即仅当k1?k2???ks?0时，才有k1?1?k?2?2??ks?s?O成立，则称向量组

?1,?2,?,?s,线性无关。

7．齐次线性方程组的基础解系是什么？

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn答：定义：设T是?的所有解的集合，若T中存在一

???????????????an1x1?an2x2???annxn?0组非零解?1,?2,?,?s,满足 （1）?1,?2,?,?s,线性无关；

（2）任意??T，都可用?1,?2,?,?s,线性表出 则称?1,?2,?,?s,是此方程组的一个基础解系

8．试述克莱姆法则的内容。 答：克莱姆法则：如果线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ????????????????an1x1?an2x2???annxn?bn的系数aij(i,j?1,2,?,n)构成的行列式D?0,则此线性方程组有唯一解：

x1?DD1D,x2?2,?,xn?n, DDD其中，Dj(j?1,2,?,n)是将系数行列式D中第j列元素对应地换为常数项

b1,b2,?,bn得到的行列式

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a11?a1j?,a2j?,an,?j111bbbn12a?ja?j?a?n,1,2,?1?1???anan a1,2, Dj?a21?an1?????j1nn

二．填空题（共8题，每题4分，共计32分）

1111．行列式D??111? 4 ．

?1?11T2．若A是对称矩阵，则A?A? O 。

?a113．设A＝??a21??a31a12a22a32a13??a11a23??，则3a21?6a31a33???a123a22?6a32?a133a23? 18|A| ． ?6a334．设A,B均为3阶矩阵，且|A|?|B|??3，则?2ABT? ?72 。

13?132???，则D中元素a的代数余子式A= 11．?1025．设行列式D?? 2323????11?2??6．n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系是 Aij?(?1)i?jMij 。

7．设矩阵A中的r阶子式Dr?0，且所有 r+1 阶子式（如果有的话）都为0，则r(A)?r。

?1100??????18．设A??020?，则A? ?0???00?1???0?01200??0? 。 ??1???a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn9．如果齐次线性方程组?的系数行列式|D|?0，

??????????????an1x1?an2x2???annxn?0那么它有 只有零 解．

10．齐次线性方程组AX?0总有 0 解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有 非零 解。

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