2014年高三一轮专题复习 - 合情推理与演绎推理（有详细答案）

§7.4 合情推理与演绎推理

1.推理

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类. 2.合情推理

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特定义 征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 (1) 通过观察个别情况发现某些相同一般步骤 性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想) 3.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理； (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

“三段论”的结构 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ①大前提——M是P. ②小前提——S是M. ③结论——S是P. 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理 (1)找出两类事物之间相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) “三段论”的表示

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.

( × ) ( √ ) ( × )

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.

( √ ) ( × ) b(a，ba( √ ) ( )

(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋). (6)

22＋＝2

3

2， 3

33＋＝38

3， 8

44＋＝415

4，?， 15

b6＋＝6a

均为实数)，则可以推测a＝35，b＝6. 2.数列2,5,11,20，x,47，?中的x等于 A.28 答案 B

解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 推出x－20＝12，所以x＝32.

B.32

C.33

D.27

3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，?，则52 011的后四位数字为 ( ) A.3 125 答案 D

解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，?，由此可归纳出5m

＋4k

B.5 625 C.0 625 D.8 125

与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011

＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125，故选D. 4.(2013·陕西)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ??

照此规律，第n个等式可为________.

＋＋n?n＋1?答案 12－22＋32－42＋?＋(－1)n1n2＝(－1)n1·

2

解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝

＋

对值分别为1,3,6,10,15,21，?.设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5

－a4＝5，?，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋?＋n，即an＝1＋2＋3＋?＋nn?n＋1?＋＋n?n＋1?＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋?＋(－1)n1n2＝(－1)n1.

22

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结T16

论有设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列.

T12答案

T8T12 T4T8

解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn， 则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2?a8，T12＝a1a2?a12， T16＝a1a2?a16，

T8T12T16因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，

T4T8T12T8T12T16而T4，，，的公比为q16，

T4T8T12T8T12T16因此T4，，，成等比数列.

T4T8T12

题型一 归纳推理

1

例1 设f(x)＝x，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性

3＋3结论，并给出证明.

思维启迪 解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 11

解 f(0)＋f(1)＝0＋1

3＋33＋33－13－3113

＝＋＝＋＝，

2631＋33＋3同理可得：f(－1)＋f(2)＝f(－2)＋f(3)＝

3

， 3

3

，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 3

3. 3

归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝证明：设x1＋x2＝1，

∵f(x1)＋f(x2)＝

3

?3

1

x1＋3

1

＋3

x2

＋3

3

x1＝

＋3?＋?3＋3??3＋3

x2＋3?

x1?3

x1x1x2＝33

＋3

x2＋23

＋3?

x1?x2x1＋3?3

x1＋3

x2 ?＋3

＝

3

x2＋23

3?3

x1＋3

x2＝

＋3

x2＋23

?＋2×33?3

x1＋3

x2＝3. 3

＋23?

思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.

(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.

(1)观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

?

照此规律，第五个等式应为________________________.

11157

(2)已知f(n)＝1＋＋＋?＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有______.

23n22答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f(2n)>

n＋2

(n≥2，n∈N*) 2

解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 4567

(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，

2222n＋2

所以当n≥2时，有f(2n)>. 2n＋2

故填f(2n)>(n≥2，n∈N*).

2题型二 类比推理

nb－ma

例2 已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.n－m

类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.

思维启迪 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. n－mdn答案

cm解析 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q. nb－ma－

因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn1，am＋n＝，

n－mn－mdn所以类比得bm＋n＝

cm思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.

(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.

(1)给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是 A.0

B.1

C.2

D.3

( )

(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形a2＋b2外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长).类

2比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________. a2＋b2＋c2答案 (1)B (2)

2解析 (1)①②错误，③正确.

(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三 演绎推理

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