磁场对运动电荷的作用学案

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. word. … 图1 磁场对运动电荷的作用学案

复习任务一 基础知识梳理

一、洛伦兹力的大小和方向

1．洛伦兹力的定义：磁场对____________的作用力．

2．洛伦兹力的大小F 洛＝____________，θ为v 与B 的夹角．如图1所示．

(1)当v ∥B 时，θ＝0°或180°，洛伦兹力F 洛＝______.

(2)当v ⊥B 时，θ＝90°，洛伦兹力F 洛＝________.

(3)静止电荷不受洛伦兹力作用．

3．洛伦兹力的方向

(1)左手定则

??? 磁感线垂直穿过

四指指向

的方向拇指指向

的方向 (2)方向特点：F 洛垂直于________决定的平面，即F 洛始终与速度方向垂直，故洛伦兹力__________．

思考 1．怎样用左手定则判断负电荷所受洛伦兹力的方向？

2．洛伦兹力与安培力有怎样的联系？根据安培力公式推导出洛仑兹力表达式。

练习：在图2所示的各图中，匀强磁场的磁感应强度均为B ，带电粒子的速率均为v ，带电荷量均为q .试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向．

图2

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．若v ∥B ，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做____________运动．

2．若v ⊥B ，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面以入射速度v 做____________运动．

(1)向心力由洛伦兹力提供：qvB ＝__________＝__________；

(2)轨道半径公式：R ＝mv qB

； (3)周期：T ＝2πR v ＝2πm qB

(周期T 与速度v 、轨道半径R 无关)； (4)频率：f ＝1T ＝qB 2πm

；

.. . …

. word. … 图5

(5)角速度：ω＝2πT

＝__________. 思考：根据公式T ＝2πR v

，能说T 与v 成反比吗？ 练习：试画出图3中几种情况下带电粒子的运动轨迹．

图3

三、带电粒子在匀强磁场中运动的应用

1．质谱仪

(1)构造：如图4所示，由粒子源、____________、__________和照相底片等构成．

图4

(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU ＝____________.

粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB ＝____________.

由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷．r ＝________，m ＝________，q m

＝____________.

2．回旋加速器

(1)构造：如图5所示，D 1、D 2是半圆形金属盒，D 形盒的缝隙处接______

电源．D 形盒处于匀强磁场中．

(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期________，粒子在圆周运

动的过程中一次一次地经过D 形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速．由qvB ＝mv 2

r ，得E km ＝__________， 可见粒子获得的最大动能由________________和D 形盒________决定，与加速电压________．

特别提醒 这两个实例都应用了带电粒子在电场中加速，在磁场中偏转(匀速圆周运动)的原理. 复习任务二 典型问题讲解

考点一 洛伦兹力与电场力的比较

考点解读

1．洛伦兹力方向的特点

(1)洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场方向都垂直，即洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向确定的平面．

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．

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图6

图7

2 对应力

容 项目

洛伦兹力

电场力

性质 磁场对在其中运动电荷的作用力

电场对放入其中电荷的作用力

产生条件 v ≠0且v 不与B 平行 电场中的电荷一定受到电场力作用

大小 F 洛＝qvB (v ⊥B )

F 洛＝qE

力方向与场 方向的关系 一定是F 洛⊥B ，F 洛⊥v ，

与电荷电性无关 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反

做功情况 任何情况下都不做功

可能做正功、负功，也可能不做功

力为零时 场的情况 F 洛为零，B 不一定为零

F 为零，E 一定为零

作用效果

只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小

既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向

特别提醒 洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功；电场力对电荷可做正功，可做负功，也可不做功． 典例剖析

例1 在如图6所示宽度围，用场强为E 的匀强电场可使初速度是v 0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度围，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场，使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ(不计粒子的重力)，问： (1)匀强磁场的磁感应强度是多大？ (2)粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？ 答案：(1)E cos θv 0 (2)sin θ

θ

思维突破 电荷在匀强电场和匀强磁场中的运动规律不同．运动电荷穿过有界电场的时间与其入射速度的方向和大小有关，而穿出有界磁场的时间则与电荷在磁场中的运动周期有关．在解题过程中灵活运用运动的合成与分解和几何关系是解题关键．

跟踪训练1 一个带正电的小球沿光滑绝缘的桌面向右运动，速度方 向垂直于一个垂直纸面向里的匀强磁场，如图7所示，小球飞离桌 面后落到地板上，设飞行时间为t 1，水平射程为s 1，着地速度为v 1. 撤去磁场，其余的条件不变，小球飞行时间为t 2，水平射程为s 2， 着地速度为v 2.则下列论述正确的是 ( )

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. word. … A ．s 1>s 2 B ．t 1>t 2 C ．v 1和v 2大小相等 D ．v 1和v 2方向相同

答案：ABC

考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动

考点解读

1．带电粒子在匀强磁场中的运动是各省市每年高考必考容之一．一般以计算题的形式出现，可以与其

他知识相综合，难度中等以上，分值较高，以考查学生的形象思维和逻辑推理能力为主．

2．分析方法：找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给

定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系作为辅助．

(1)圆心的确定

①基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．

②两种情形

a ．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8所示，图中P 为入射点，M 为出射点)．

b ．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图9所示，图中P 为入射点，M 为出射点)．

图8 图9

(2)半径的确定

用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．

(3)运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为：t ＝α360°T (或t ＝α

2π

T )． 3．规律总结

带电粒子在不同边界磁场中的运动

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图10)

图10

(2)平行边界(存在临界条件，如图11)

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. …. word. …

图13

图14

图15

图11 图12

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图12)

典例剖析

1．带电粒子在直线边界磁场中的运动问题

例2 如图13所示，在一底边长为2a，θ＝30°的等腰三角形区域(D在底边中点)，有

垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，从静止开

始经过电势差为U的电场加速后，从D点垂直于EF进入磁场，不计重力与空气阻力

的影响．(1)若粒子恰好垂直于EC边射出磁场，求磁场的磁感应强度B为多少？

(2)改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED板，求粒子从进入磁场

到第一次打到ED板的最长时间是多少？

答案：(1)

1

a

2mU

q(2)

πa

3

m

2qU

跟踪训练2 (2011··20) 利用如图14所示装置可以选择一定速度围的带电

粒子．图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁

场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L.一群质量为m、

电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，

对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说确的是

( )

A．粒子带正电

B．射出粒子的最大速度为

qB(3d＋L)

2m

C．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

2．带电粒子在圆形边界磁场的运动问题

例3 可控热核聚变反应堆产生能的方式和太阳类似，因此，它被俗称为“人造

太阳”．热核反应的发生，需要几千万度以上的高温，然而反应中的大量带电

粒子没有通常意义上的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置，磁约束托

卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模型．有一个圆环形区

域，区域有垂直纸面向里的匀强磁场，已知其截面半径为R1＝1.0 m，磁感应强

度为B＝1.0 T，被约束粒子的比荷为q/m＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空

区域与磁场交界面的P点以速度v0＝4.0×107m/s沿环的半径方向射入磁场(不

计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)．

答案：(1)2.41 m (2)5.74×10－7 s

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. word. … 图16 图17 图18

图21 (1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R 2；

(2)若改变该粒子的入射速度v ，使v ＝

33v 0，求该粒子从P 点进入磁场开始到第一次回到P 点所需要的时间t .

思维突破 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法

(1)画轨迹：即确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹． (2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．

(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式． 跟踪训练3 如图16所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆

柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.10 T ，磁场区

域半径r ＝23

3 m ，左侧区圆心为O 1，磁场向里，右侧区圆心为O 2，磁场向外，两区域切点为C .今有质量m ＝3.2×10

－26 kg 、带电荷量q ＝1.6×10－19 C 的某种离子，从左侧区边缘的A 点以速度v ＝1×106 m/s 正对O 1的方向垂直射入磁场，它将穿越C 点后

再从右侧区穿出．求：

(1)该离子通过两磁场区域所用的时间；

(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大？(侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离)

答案：(1)4.19×10－6 s (2)2 m

考点三 带电粒子在多个磁场中运动的分析

例4 如图17所示，在一个圆形区域，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场

分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°.

一质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3

成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ

区，最后再从A 4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用

的时间为t ，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)．

答案：5πm 6qt 5πm 3qt

建模感悟 粒子在多个磁场中连续运动时，会画出不同的轨迹，从复杂的轨迹中找出规律，寻找解决问题的突破口，解这类问题时，关键在于能画出轨迹，想清楚粒子的运动过程，借助圆周运动的特点解决问题．

跟踪训练4 如图18所示，以ab 为边界的两匀强磁场的磁感应强度为B 1＝

2B 2＝B ，现有一质量为m 、带电荷量＋q 的粒子从O 点以初速度v 沿垂直于ab 方向发射．在图中作出粒子的运动轨迹，并求出粒子发射后第7次穿过直

线ab 时所经历的时间、路程及离开点O 的距离．(粒子重力不计)

跟踪训练5．如图21所示，在圆形区域，存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab 是

.. . …

. word. … 图22

图1

图2 圆的一条直径．一带电粒子从a 点射入磁场，速度大小为2v ，方向与ab 成30°时恰好从b 点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t ；若仅将速度大小改为v ，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力) ( )

A ．3t B.32t C.12

t D ．2t 答案：D

跟踪训练6．如图22所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，

f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰

好从e 点射出，则 ( )

A ．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d 点射出

B ．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出

C ．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d 点射

出

D ．只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从e 点射出所用时间最短

答案：A

补充训练训练题

(限时：50分钟)

一、选择题

1．两个电荷量相等的带电粒子，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．下列说法中

正确的是 ( )

A ．若它们的运动周期相等，则它们的质量相等

B ．若它们的运动周期相等，则它们的速度大小相等

C ．若它们的轨迹半径相等，则它们的质量相等

D ．若它们的轨迹半径相等，则它们的速度大小相等

2. 如图1所示，在两个不同的匀强磁场中，磁感强度关系为B 1＝2B 2，当不计重力

的带电粒子从B 1磁场区域运动到B 2磁场区域时(在运动过程中粒子的速度始终与磁

场垂直)，则粒子的 ( )

A ．速率将加倍

B ．轨道半径将加倍

C ．周期将加倍

D ．做圆周运动的角速度将加倍

3. 1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图2所示．这台加速器

由两个铜质D 形盒D 1、D 2构成，其间留有空隙，下列说确的是

( )

A ．离子由加速器的中心附近进入加速器

.. . …

. word. … 图3

图4 图5 图6 B ．离子由加速器的边缘进入加速器

C ．离子从磁场中获得能量

D ．离子从电场中获得能量

4．如图3所示，ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，磁场垂直

纸面向外，比荷为e

m

的电子以速度v 0从A 点沿AB 方向射入，欲使电子能经过BC 边，则磁感应强度B 的取值应为( )

A ．

B >3mv 0ae B ．B <2mv 0ae

C ．B <3mv 0ae

D ．B >2mv 0ae

5．如图4所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限有一匀强磁场垂直

于纸面向里，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的粒子

以速度v 从O 点沿着与y 轴夹角为30°的方向进入磁场，运动 到A 点时速度方向与x 轴的正方向相同，不计粒子的重力，则

( )

A 该粒子带正电

B ．A 点与x 轴的距离为mv

2qB

C ．粒子由O 到A 经历时间t ＝πm 3qB

D ．运动过程中粒子的速度不变

6. (2011·单科·10)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图5中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O 点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说确的是 ( )

A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同

B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同

C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大

7．如图6是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速

度选择器(带电粒子的重力不计)．速度选择器有互相垂直的匀强磁场和匀强电

场，磁场的磁感应强度为B ，电场的场强为E .挡板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2，挡板S 下方有磁感应强度为B 0的匀强磁场．下

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