四川省成都市郫县一中2014-2015学年高二上学期入学考试数学试卷

四川省成都市郫县一中2014-2015学年高二上学期入学考试数学试卷

一、选择题：（每小题5分，共50分）

1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，则?UA=（） A． {5，6} B． {1，2，3，4} C． {2，5，6} D．{2，3，4，5，6} 2．（5分）若a＞0＞b，则下列不等式中成立的是（） A． ＞ B．

＞

C． |a|＞|b|

D．a2

＞b2

3．（5分）已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（） A． 64 B． 100 C． 110 D．120

4．（5分）已知

，那么

的值是（）

A． B． C． D．

5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A． 12π B． 45π

C． 57π D．81π 6．（5分）△ABC中，若2sinA?cosB=sinC，则△ABC的形状为（） A． 直角三角形 B． 等边三角形 C． 等腰三角形 D． 等腰直角三角形 7．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1在下列区间内一定有零点的是（） A． B． C． D．

8．（5分）数列{an}中，已知a1，a2=2，an+2=an+1﹣an（n∈N*

），则a2011=（）

A． 1 B． ﹣1 C． ﹣2 D．2 9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b+c﹣a），则角B等于（） A． 30°

B． 45°

C． 60°

D．90°

2

2

2

10．（5分）如图，在△ABC中，设的中点为P，若

=，=，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR

=m+n，则m+n=（）

A．

B． 1

C．

D．

二、填空题：（每小题5分，共25分） 11．（5分）

12．（5分）△ABC中，若边b=

，边c=

，角B=120°，则角C=．

的值是．

13．（5分）已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则|+|=．

14．（5分）若x＞0，y＞0，且

15．（5分）在数列{an}中，如果对任意n∈N都有

*

，则x+y的最小值是．

（k为常数），则称{an}为

等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题： （1）等差比数列的公差比一定不为0； （2）等差数列一定是等差比数列；

n

（3）若an=﹣3+2，则数列{an}是等差比数列；

（4）若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为．

三．解答题：本大题满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（12分）设函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=义域为集合N．求： （1）集合M，N；

（2）集合M∩N，M∪N．

的定

17．（12分）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+bn=1． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{bn}是等比数列．

18．（12分）已知=（2cosx，sinx），=（sin（x+（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调递减区间．

19．（12分）已知：△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a+c﹣b=ac， （1）求cos2B的值；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值． 20．（13分）某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元． （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

21．（14分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=； （1）求f（），f（）+f（

）（n∈N）的值；

）+f（1），那么数列{an}是等

*

*

2

2

2

），cosx﹣sinx），f（x）=?

（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（差数列吗？试证之；

（3）在（2）的条件下，设bn=4an﹣1，cn=bnq

n﹣1

（q≠0，n∈N）求数列{cn}的前n项和Tn．

四川省成都市郫县一中2014-2015学年高二上学期入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题5分，共50分）

1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，则?UA=（） A． {5，6} B． {1，2，3，4} C． {2，5，6} D．{2，3，4，5，6}

考点： 补集及其运算． 专题： 计算题．

分析： 根据全集U，以及A，求出A的补集即可．

解答： 解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}， ∴?UA={2，5，6}． 故选C

点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 2．（5分）若a＞0＞b，则下列不等式中成立的是（）

A． ＞ B． ＞ C． |a|＞|b| D．a＞b

22

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 利用不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵a＞0＞b，∴．

故选：A．

点评： 本题考查了不等式的性质，属于基础题．

3．（5分）已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（） A． 64 B． 100 C． 110 D．120

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 计算题．

分析： 利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式求解即可． 解答： 解：设公差为d，

则由已知得，

故选B．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．

4．（5分）已知

，那么

的值是（）

A． B． C． D．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据分段函数，直接代入进行求解即可．

解答： 解：由分段函数可知，f（）=∴

=f（）=

，

，

故选A．

点评： 本题主要考查利用分段函数进行求值问题，直接代入即可，注意分段函数的取值范围，比较基础． 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A． 12π C． 57π D．81π

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．

分析： 由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项

解答： 解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱

B． 45π

故它的体积是5×π×3+

2

π×3×

2

=57π

故选C

点评： 本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算， 6．（5分）△ABC中，若2sinA?cosB=sinC，则△ABC的形状为（） A． 直角三角形 B． 等边三角形 C． 等腰三角形 D． 等腰直角三角形

考点： 正弦定理．

专题： 解三角形．

分析： 由条件利用正弦定理可得2a?cosB=c，即cosB==0，故A﹣B=0，有此判断△ABC的形状． 解答： 解：△ABC中，若2sinA?cosB=sinC， 则由正弦定理可得2a?cosB=c， ∴cosB=

=

，∴sinC=2sinAcosB，

=

，化简可得 sin（A﹣B）

∴sin（A+B）=2sinAcosB， 化简可得 sin（A﹣B）=0．

再根据﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC是等腰三角形， 故选：C．

点评： 本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，属于中档题． 7．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1在下列区间内一定有零点的是（） A． B． C． D．

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由函数的解析式可得可得f（2）=ln3﹣1＞0 f（3）=ln4﹣2＜0，再根据函数的零点的判定定理可得结论．

解答： 解：∵函数f（x）=ln（x+1）﹣x+1，可得f（2）=ln3﹣1＞0 f（3）=ln4﹣2＜0，故f（2）f（3）＜0，

根据函数的零点的判定定理，函数在（2，3）上有零点， 故选C．

点评： 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．

8．（5分）数列{an}中，已知a1，a2=2，an+2=an+1﹣an（n∈N），则a2011=（） A． 1 B． ﹣1 C． ﹣2 D．2

考点： 数列的函数特性．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 由题中的递推公式可以求出数列的各项，通过归纳、猜想，得出正确结果． 解答： 解：在数列an中，a1=1，a2=2，an+2=an+1﹣an； 分析可得：a3=a2﹣a1=2﹣1=1，a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1， a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2，a6=a5﹣a4=﹣2+1=﹣1， a7=a6﹣a5=﹣1+2=1，a8=a7﹣a6=1﹣（﹣1）=2，… 由以上知：数列每六项后会出现相同的循环， 所以a2011=a1=1． 故选：A．

点评： 本题地考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意递推思想的合理运用．

*

9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b+c﹣a），则角B等于（）

A． 30° B． 45° C． 60° D．90°

考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 计算题．

分析： 先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．

解答： 解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC?sinC

222

∴sinC=1，C=90°． ∴S=ab=（b+c﹣a），

解得a=b，因此∠B=45°． 故选B．

点评： 本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．

10．（5分）如图，在△ABC中，设的中点为P，若

=，

=，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR

2

2

2

=m+n，则m+n=（）

A．

B． 1

C．

D．

考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用．

分析： 由向量的基本运算可表示出解答： 解：由题意可得===

=

=

=

=

，可得m和n的值，可得答案．

=∴∴又∵

==

+

， ， =

，

=m+n，∴m=，n=

∴m+n= 故选：A

点评： 本题考查平面向量基本定理，表示出

二、填空题：（每小题5分，共25分） 11．（5分）

的值是﹣．

是解决问题的关键，属中档题．

考点： 诱导公式的作用． 专题： 计算题．

分析： 根据诱导公式sin（﹣α）=﹣sinα，我们可将找到进而根据特殊角三角函数值，得到答案． 解答： 解：故答案为：﹣

=

=﹣

与的关系，

点评： 本题考查的知识点是诱导公式的作用，其中根据诱导公式sin（﹣α）=﹣sinα，将求

12．（5分）△ABC中，若边b=

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．

的值转化为求特殊角的三角函数问题，是解答本题的关键．

，边c=，角B=120°，则角C=30°．

分析： 由大边对大角可得C＜B．再由正弦定理求得sinC=，可得C的值． 解答： 解：△ABC中，若边b=再由正弦定理可得

=

，边c=

，角B=120°，由大边对大角可得C＜B． =

，

，即

求得sinC=，∴C=30°， 故答案为：30°．

点评： 本题主要考查余弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．

13．（5分）已知向量，满足||=1，||=2，|﹣|=2，则|+|=

考点： 向量的模． 专题： 计算题．

．

分析： 将|﹣|平方，可求出?的值，进一步可求出，|+|的平方，从而可求出，|+|的值．

解答： 解：由题意：|﹣|=所以2?=1， 则：|+|=所以|+|=

2

2

=4，

=6，

故答案为：

点评： 本题考查向量的模的求解，属基本运算、基本题型的考查．向量的模的问题，一般平方处理．

14．（5分）若x＞0，y＞0，且

考点： 基本不等式． 专题： 计算题．

，则x+y的最小值是16．

分析： x+y等于x+y乘以解答： 解：∵∴当且仅当

=

时，取等号．

，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．

故答案为16．

点评： 本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式．考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．

15．（5分）在数列{an}中，如果对任意n∈N都有等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题： （1）等差比数列的公差比一定不为0； （2）等差数列一定是等差比数列；

（3）若an=﹣3+2，则数列{an}是等差比数列；

（4）若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为（1）（3）（4）．

考点： 数列的应用． 专题： 新定义．

*

（k为常数），则称{an}为

n

分析： （1）举例说明：公差比为0，an+2﹣an+1=0，数列{an}为常数列，所以的分母为0，无意义；（2）等差数列为常数列时，不是等差比数列；（3）由an=﹣3+2

n

=

=3是公差比为3的等差比数列；（4）an=a1?q

n﹣1

，

代入可知命题正确，综合可得答案．

解答： 解：（1）若公差比为0，则an+2﹣an+1=0，故{an}为常数列，从而分母为0，无意义，所以公差比一定不为零；

（2）当等差数列为常数列时，不能满足题意； （3）an=﹣3+2

n

的

==3是公差比为3的等差比数列；

（4）an=a1?q

n﹣1

，代入=q命题正确，所以，正确命题为（1）（3）（4）．

故答案为（1）（3）（4）

点评： 本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假

三．解答题：本大题满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）设函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=义域为集合N．求： （1）集合M，N；

（2）集合M∩N，M∪N．

考点： 交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法；对数函数的定义域． 专题： 计算题．

的定

分析： （1）对数的真数大于0求出集合M；开偶次方的被开方数非负且分母不等于0，求出集合N；

（2）直接利用集合的运算求出集合M∪N，M∩N即可． 解答： 解：（1）

；

（2）由（1）可知M∩N={x|x≥3}， M∪N={x|x＜1或x＞1.5}．

点评： 本题考查对数函数、根式函数的定义域，交集、并集及其运算；是基础题．

17．（12分）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+bn=1． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{bn}是等比数列．

考点： 等比关系的确定；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）利用等差数列的通项公式即可得出；

（2）当n=1时，b1=T1；当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1可得bn与bn﹣1的关系，再利用等比数列的定义即可证明．

解答： （1）解：设{an}的公差为d，∵a2=6，a5=18；则∴an=2+4（n﹣1）=4n﹣2． （2）证明：当n=1时，b1=T1，由当n≥2时，∵∴∴

．化为，

．

． ，得，

；

，解得

∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式、利用“当n=1时，b1=T1；当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1”可得bn与bn﹣1的关系、等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

18．（12分）已知=（2cosx，sinx），=（sin（x+

），cosx﹣

sinx），f（x）=?

（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调递减区间．

考点： 正弦函数的单调性；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．

专题： 计算题；三角函数的图像与性质．

分析： （1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，化简函数，即可求出函数f（x）的最小正周期；

（2）利用正弦函数的单调递减区间，求函数f（x）的单调递减区间． 解答： 解：（1）∵=（2cosx，sinx），=（sin（x+∴f（x）=?=2cosxsin（x+=2sin（2x+

），

=π； ）+sinx（cosx﹣

），cosx﹣

sinx）， cos2x

sinx）=sin2x+

∴函数f（x）的最小正周期T=（2）由2x+

∈，可得x∈（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．

点评： 本题考查向量的数量积公式、辅助角公式，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．

19．（12分）已知：△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a+c﹣b=ac， （1）求cos2B的值；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．

222

分析： （1）△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosB=，再利用二倍角公式求得cos2B的值．

（2）由cosB=，可得sinB=可得△ABC的面积S=

，再根据a+c=b+ac=4+ac，利用基本不等式求得ac≤，

2

2

2

?sinB的最大值．

2

2

2

解答： 解：（1）△ABC中，a+c﹣b=ac，则由余弦定理求得cosB=， ∴cos2B=2cosB﹣1=﹣． （2）由cosB=，可得sinB=

2

2

22

．

∵b=2，∴a+c=b+ac=4+ac≥2ac，求得ac≤（a=c时取等号）． 故△ABC面积S=

?sinB≤

，故S的最大值为

．

点评： 本题主要考查余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

20．（13分）某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元． （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

考点： 函数模型的选择与应用；函数单调性的判断与证明；函数最值的应用；一元二次不等式的应用．

专题： 应用题；函数思想；数学模型法．

分析： （1）每天所支付的费用是每x天购买粉的费用与保存面粉的费用及每次支付运费和的平均数，故可以设x天购买一次面粉，将平均数表示成x的函数，根据所得的函数的具体形式求其最小值即可．

（2）每天费用计算的方式与（1）相同，故设隔x天购买一次面粉，将每天的费用表示成x的函数，由于此时等号成立的条件不具备，故本题最值需要通过函数的单调性来探究．本题中函数的单调性的证明用定义法证明，获知其单调性后利用单调性求出最小值，然后用函数的最小值与（1）中的最小值对比，若比其小，则可利用此优惠条件，否则仍采用原来方案．

解答： 解：（1）设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为3=9x（x+1）．

设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=+6×1800 =

+9x+10809≥2

+10809

=10989． 当且仅当9x=

，即x=10时取等号，

即该厂应每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则 y2=+6×1800×0.90 =

+9x+9729（x≥35）．

（x≥35），

令f（x）=x+x2＞x1≥35，则

f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+

）

=

∵x2＞x1≥35，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，100﹣x1x2＜0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）， 即f（x）=x+

，当x≥35时为增函数．

∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2＜10989．∴该厂应该接受此优惠条件．

点评： 本题考点是函数模型的选择与应用，考查根据实际问题选择函数模型的能力，以及根据具体的函数模型求最值，利用计算出的数据指导解决实际问题，此类问题的一般步骤是：先依据实际问题建立函数模型，再依据相关函数模型进行代数计算，得出运算结果，最后将运算结果应用到实际问题中去．本题在求解函数的最值时在（1）中用的是基本不等式求最值，在（2）中用的函数的单调性定义证明函数单调性，利用单调性求最值．在求解最值时要根据函数具体的形式选择求最值的方法．

21．（14分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1﹣x）=； （1）求f（），f（）+f（

）（n∈N）的值；

）+f（1），那么数列{an}是等

*

*

（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（）+f（）+…+f（差数列吗？试证之；

n﹣1

（3）在（2）的条件下，设bn=4an﹣1，cn=bnq（q≠0，n∈N）求数列{cn}的前n项和Tn．

考点： 数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和． 专题： 综合题；等差数列与等比数列．

分析： （1）令x=，则f（）=，令x=，则f（）+f（（2）倒序相加求和，即可求出数列{an}的通项；

（3）分类讨论，利用错位相减法，即可求数列{cn}的前n项和Tn． 解答： 解：（1）令x=，则f（）=， 令x=，则f（）+f（

）=；

）+f（1），

）=；

（2）∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（∴an=f（1）+f（∴2an=∴an=

， ，

）+…+f（）+f（0），

∴数列{an}是等差数列；

n﹣1

（3）bn=4an﹣1=n，∴cn=nq． q=1时，Tn=

2

；

n﹣1

∴Tn=1+2q+3q++…+nq，

23n

∴qTn=q+2q+3q++…+nq，

∴（1﹣q）Tn=1+q+q++…+q∴Tn=

﹣

2n﹣1

﹣nq，

n

．

点评： 本题考查数列与函数的综合，考查倒序相加求和、考查错位相减法，属于中档题．

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