全国自考线性代数历年试题（好东西哦） - 图文

全国自考线性代数历年真卷

全国2010年1月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1

表示方阵A的逆矩阵，R（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

xyz2x2y2z1.设行列式403?1,则行列式401?( )

1113111A.

23 B.1

C.2

D.83 2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1

=( ) A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1 C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4），如果|A|=2，则|-2A|=( ) A.-32 B.-4 C.4 D.32

4.设方阵A满足A5

=E，则必有( ) A.A=E B.A=-E C.|A|=1 D.|A|=-1 5.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则( ) A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关

6.设A是4×6矩阵，R（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ?4?527.设A=???5?73??，则以下向量中是A的特征向量的是( )

??6?94??A.（1，1，1）T

B.（1，1，3）T C.（1，1，0）T D.（1，0，-3）T

?1?11?8.设矩阵A=??13?1??的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

3 = (

)

??111??A.4

B.5 C.6 D.7

9.三元二次型f (x1，x2，x3)=x2221?4x1x2?6x1x3?4x2?12x2x3?9x3的矩阵为( )

2005年10月自考线性代数试题答案

)

1

?123??143?A.??246?B.?

??

?046????369???369???126??123?C.??246??

D.??240???069????

?3129??10.设矩阵A=??12?

?3a?是正定矩阵，则a满足( ) ?

A.a<2 B.a=2 C.a=6 D.a>6

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 12311.行列式459=_________.

671312.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________. ??5200?13.设A=?2100???-1?0021?，则A=_________. ?0011??14.设α=（1，1，-1），β=（-2，1，0），γ=（-1，-2，1），则3α-β+5γ=_________. 15.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________. ?16.设线性方程组?a11??1a1????x1??x???1??2???1?有无穷多个解，则a=_________.

??11a????x3?????2??17.设A是m×n实矩阵，若R（ATA）=5，则R（A）=_________.

18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________. 19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

20.二次型f(x221,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 13?1221．计算行列式D=1?53?4021?1.

?513?3?2?22.设A=?31??4?52??，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.

??5?73??23.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个最大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该最大线性无关组的线性组合.

2005年10月自考线性代数试题答案

2

?x1?x2?2x4?0?24.求齐次线性方程组?4x1?x2?x3?x4?0的基础解系及其结构解.

?3x?x?x?0123??32?2??-1

0?1025.设矩阵A=?，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵. ????42?3??22226.已知二次型f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2，求参数c.

四、证明题（本大题6分）

27．设方阵A与方阵B相似，证明：对任意正整数m，Am与Bm相似.

全国2009年10月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，

r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

121.已知行列式153?2=0，则数a =( ) 25aB.-2 D.3

A.-3 C.2

2.下列矩阵中不是初等矩阵的为( ) ．．

?100???A.?010? ?101????100???110C.?? ?101???3.已知2阶矩阵A =??A.??C.???100???B.?010? ??101????100???020D.?? ?001????ab?-1

?的行列式|A|=-1，则（A*）=( ) ??cd?B.????a?b?? ???c?d?b?? ??a??d?b?? ???ca??ab?? ??cd???d?cD.??4.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C -1=( ) A.AB C.A-1B-1

2005年10月自考线性代数试题答案

B.BA D.B-1A-1

3

5.设A为2阶矩阵，若|3A|=3，则|2A|=( ) A.

12 B.1

C.43 D.2

6.向量组?1，?2，…，?s（s≥2）的秩不为零的充分必要条件是( ) A.?1，?2，…，?s中没有线性相关的部分组 B.?1，?2，…，?s中至少有一个非零向量 C.?1，?2，…，?s全是非零向量

D.?1，?2，…，?s全是零向量

7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( A.r(A)=n B.r(A)=m C.r(A)

D.r(A)

D.2E-A

?001?9.设矩阵A=??010??，则二次型xTAx的规范形为( )

??100??A.z2?z2?z2123 B.?z2?z2212?z3 C.z222D.z21?z2?z3 z221?2?z3 10.4元二次型f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x4+2x2x3+2x3x4的秩为( ) A.1

B.2

C.3 D.4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1c1a1a1?b1a1?b1?c111.已知行列式a2b2c2=1,则a2a2?b2a2?b2?c2=______________. a3b3c3a3a3?b3a3?b3?c312已知矩阵方程XA=B，其中A=?10????1?1??21??，B=????10??，则X=___________. ?13.已知矩阵A=（1，2，-1），B=（2，-1，1），且C=ATB，则C2=__________.

?14.设矩阵A=?100??220??1?1??，则?A??=_____________.

?333???2?

2005年10月自考线性代数试题答案

) 4

T

15.设向量组αα2=（0，1，0）T，且β1?αα2,β2?α2，则向量组β1,β2 1=（1，0，0），1?的秩为____________.

16.已知向量组α）T，α2=（2，2，2）T,α3=（3，2，a）T线性相关，则数a=________. 1=（1，2，3，17.已知向量α=（3，k,2）T与β=（1，1，k）T正交，则数k=_______.

21??1?1??01?，若该方程组无解，则a的取值为_________. 18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0a?1?00a?10???19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_______.

22220.已知3元二次型f(x1,x2,x3)=（1-a）x1+x2+(a+3)x3正定，则数a的最大取值范围是_______.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

x?1?11?11x?11?121.计算行列式D=的值.

1?1x?1?11?11x?122.设矩阵A=???21???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|. ?12???x1?x2?2x3?3?23.已知线性方程互组 ?x1?ax2?x3?2

?x?x?ax?223?1（1）讨论当a为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解；

（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

TTT

24.设向量组α=（1，4，1，0），=（2，1，-1，-3），=（1，0，-3，-1）， αα123α4=（0，2，-6，3）T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

?1b1??000?????25.已知矩阵A=?ba1?与B=?010?相似，求数a,b的值.

?111??004?????26.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3，求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.

四、证明题（本大题6分）

27.设矩阵A满足A2=E，且A的特征值全为1，证明A=E.

全国2009年7月自考线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行

列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

2005年10月自考线性代数试题答案

5

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A，B，C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A．（A+B）T=AT+BT B．|AB|=|A||B| C．A（B+C）=BA+CA D．（AB）T=BTAT aa2a2a2．已知a11a12a132a11a12a13a21a22a23=3，那么a31a3222123=（ ） 33?a31?222a32?2a33A．-24 B．-12 C．-6

D．12

3．若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（ ） A．A=

1*|A|A

B．|A|=0 C．（A2）-1=（A-1）2

D．（3A）-1=3A-1

4．若A=??31?2??152??，B=????4213??，C=??21???02?1??3?12??，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（A．ABC B．ACTBT C．CBA

D．CTBTAT

5．设有向量组A：α1α,2,α3,α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（

）

A．α1，α3线性无关

B．α1，α2，α3，α4线性无关

C．α1，α2，α3，α4线性相关

D．α2，α3，α4线性无关

6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A．A为可逆阵

B．齐次方程组Ax=0有非零解 C．齐次方程组Ax=0只有零解

D．非齐次方程组Ax=b必有解

7．已知方阵A与对角阵B=????020?0200??相似，则A2=（ ）

?0?2??A．-64E B．-E C．4E

D．64E

8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A．??100??0?10?

B．

1??1?00?1??2?101110??1? ?0???213??263??C．???cossin??cossin??????? D．??06?3??63???210? ?26?3?3??

2005年10月自考线性代数试题答案

6

）9．二次型f=xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A．A可逆

B．|A|>0

C．A的特征值之和大于0

D．A的特征值全部大于0

10．设矩阵A=??k?00k?02??正定，则（ ）

?0?24??A．k＞0 B．k≥0 C．k＞1

D．k≥1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=__________. 12．若2110k3211=0，则k=__________.

13．若ad≠bc，A=??ab??cd??，则A-1=__________.

14．已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=__________.

15．向量组α1=（1，1，0，2），α2=（1，0，1，0），α3=（0，1，-1，2）的秩为__________. 16．两个向量α=（a,1,-1）和β=（b,-2,2）线性相关的充要条件是__________. 17．方程组??x1?x2?0?x2?x的基础解系为__________.

3?018．向量α=（3，2，t,1）β=(t,-1,2,1)正交，则t=__________.

19．若矩阵A=??10??04??与矩阵B=??3b??ax??相似，则x=__________.

20．二次型f(x1,x2,x3)=x2221?2x2?3x3?x1x2?3x1x3对应的对称矩阵是__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算三阶行列式1111214164.

22．已知A=??23??10??，B=???3?1???21??，C=??0?11??120??，D=??120??101??，矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X.

23．设向量组为α1=（2，0，-1，3）

α2=（3，-2，1，-1） α3=（-5，6，-5，9） α4=（4，-4，3，-5）

求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组. 24．求λ取何值时，齐次方程组

??(??4)x1?3x2?0?4x1?x3?0 ???5x1??x2?x3?0有非零解？并在有非零解时求出方程组的结构式通解.

2005年10月自考线性代数试题答案

7

?1?6?3?25．设矩阵A=?0?5?3?，求矩阵A的全部特征值和特征向量.

?4??06?22226．用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=4x1?3x2?3x3?2x2x3为标准形，并求所用的正交矩阵P.

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．若n阶方阵A的各列元素之和均为2，证明n维向量x=(1,1,…,1)T为AT的特征向量，并且相应的特征值为2.

2009年7月自考线性代数试题答案

课程代码：02198

2005年10月自考线性代数试题答案

8

2005年10月自考线性代数试题答案

9

2005年10月自考线性代数试题答案

10

全国2009年4月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，A表示方阵A的行列

式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

2005年10月自考线性代数试题答案

11

0?110?1中元素a21的代数余子式A21=（ ） 1．3阶行列式aij?1?110A．-2 C．-1

B．-1 D．2

2．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ） A．A-1C-1 C．AC

B．C-1A-1 D．CA

?010???

3．设3阶矩阵A=?001?，则A2的秩为（ ）

?000???

A．0 C．2

?a114．设矩阵A=??a?21a12??a21?a11??，B=?aa22?11??B．1 D．3

a22?a12??01??10????，P=，P=1?2???11??，则必有（ ） a12?10?????A．P1P2A=B C．AP1P2=B

B．P2P1A=B D．AP2P1=B

5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（ ） A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（ ） A．1 C．3

B．2 D．4

7．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A．α1, α2, α1+α

2

1

B．α1, α2, α1-αD．α1-α

2

C．α1+α2, α2+α3, α3+α2，α2-α3，α3-α1

8．设A为3阶矩阵，且2A?3E=0，则A必有一个特征值为（ ）

3 22C．

3A．-2 33D．

2B．-

0??20??9．设实对称矩阵A=?0?42?，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ）

?02?1???

2005年10月自考线性代数试题答案

12

222A．z1+z2+z3 22C．z1+z2

222B．z1+z2-z3 22D．z1-z2

10．设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，则矩阵A可取为（ ） ??21?A．??1?2??

???1?2?C．???21??

???2?1?B．???12??

???12?D．??21??

??二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=___________。 a1112.已知3阶行列式2a213a312a124a226a323a13a116a23=6，则a219a33a31a12a22a32a13a23=___________。 a33?12?2

?13.设A=?，则A-2A+E=___________。 ??10????12?

14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=??34??，则A=___________。

???001?

??

15.设3阶矩阵A=?022?，则A-1=___________。

?333???

16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关，则数a=___________。 ?x1?x2?017.3元齐次线性方程组??x?x?0的基础解系中所含解向量的个数为___________。

3?218.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则B?E=___________。

19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，则数k=___________。 20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=___________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

111111?a1?a1111121.计算4阶行列式

11?a1?a1.

?32??01?*

???22.设2阶矩阵A=?，P=，矩阵B满足关系式PB=AP，计算行列式B. ?21??11?????23.求向量组α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.

2005年10月自考线性代数试题答案

13

?ax1?x2?x3?0?24.设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0,

?x?x?ax?03?12（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解. ?201???25.设矩阵B=?313?，

?405???（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；

（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵∧和可逆矩阵P，使P-1BP=∧.

22226.设3元二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x2+x3-2x1x2-2x2x3，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.

四、证明题（本大题6分） ?a1?27.设矩阵A=?0?0?

0a200??0?，其中a1,a2,a3互不相同，证明：与A可交换的矩阵只能为对角矩阵. a3??全国2009年1月自考线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为n阶方阵，若A3=O，则必有（ ） A. A=O B.A2=O C. AT=O

D.|A|=0

2.设A，B都是n阶方阵，且|A|=3，|B|=-1,则|ATB-1|=（ ）

1B.-3

A.-3

1C. 3 D.3

3.设A为5×4矩阵，若秩(A)=4，则秩(5AT)为（ ） A.2

B.3

C.4 D.5

4.设向量α=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（ ）

2005年10月自考线性代数试题答案

14

11A.3α B.5α

11C.9α D.25α

225.二次型f(x1,x2)=5x1?3x2的规范形是（ ）

A.y1-y2 B. -y1-y2

21C.-y

2+y22222

21D. y2+y2

6.设A为5阶方阵，若秩(A)=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A.2 C.4

B.3 D.5

7.向量空间W={(0,x,y,z) |x+y=0}的维数是（ ） A.1 C.3

B.2 D.4

?12???43????，则矩阵A的伴随矩阵A*=（ ） 8.设矩阵A=?32???41??? A.??34???21???? C.

?3?2????41??? B. ??3?4????21???? D. ?1??0?0??0?120011301??1?1??3??9.设矩阵A=A.1 B.2 C.3 D.4

，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ）

10.设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（II）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A.若（I）线性无关，则（II）线性无关 B.若（I）线性无关，则（II）线性相关 C.若（II）线性无关，则（I）线性无关 D.若（II）线性无关，则（I）线性相关

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

2005年10月自考线性代数试题答案

15

??21???40?11．设A=（3，1，0），B=????35??，则AB=_______. 12．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_____. 13.设A，B为6阶方阵，且秩（A）=6，秩（B）=4，则秩（AB）=______.

114.已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则3A=______.

15.二次型f(x1,x2,x3,x4)=x22221?3x2?2x3?x4的正惯性指数为______.

16．设A为3阶方阵，若|AT|=2，则|-3A|=______.

17．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_____. 18．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为

??1002?1??010?1?2????0024?6??，则该方程组的结构式通解为____.

19．设B为方阵，且|B|=3，则|B4|=_____.

??120?

?370?20．设矩阵A=???

001?

?，则A-1=______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

53333533335321．计算行列式D=

3335.

22.求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.

??x1?x2?x3?x4?0?x1?2x2?4x3?4x4?023．求齐次线性方程组

??2x1?3x2?5x3?5x4?0的一个基础解系.

??110???0?1???1?12???001?,24.设A=?2??01??B=??10??，又AX=B，求矩阵X.

25.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=

x221?5x2?3x23?4x1x2?6x1x3为标准形，并判别其正定性. ??123??023?26.求方阵A=???003??的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：向量组α1+2α3，α2-α3，α1+2α2线性相关.

2005年10月自考线性代数试题答案

16

全国2008年10月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

?11??10?????0?1??11??????，则AB-BA=( ) 1.已知矩阵A=，B=

0??1?11?????0?1????2?1?? ? B.?A.??10???01??? C.??00???00??? D.??11A?33，则|A|=( )

2.设A为3阶方阵，且A.-9 B.-3 C.-1 D.9

3.设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有( ) A.A=B B.A=-B C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2

4.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确的是( ) A.AB-1=B-1A

B.B-1A=A-1B

C.A-1B-1=B-1A-1 D.A-1B=BA-1

5.设向量α1=（a1, b1, c1），α2=(a2, b2, c2)，β1=（a1, b1, c1, d1）,β2=(a2, b2, c2, d2)，下列命题中正确的是( )

A.若α1，α2线性相关，则必有β1，β2线性相关 B.若α1，α2线性无关，则必有β1，β2线性无关 C.若β1，β2线性相关，则必有α1，α2线性无关 D.若β1，β2线性无关，则必有α1，α2线性相关

6.设m×n矩阵A的秩r（A）=n-3(n>3)，α,β,γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为( ) A.α,β,α+β

B.β,γ，γ-β

D.α,α+β,α+β+γ

17

C.α-β,β-γγ-α

2005年10月自考线性代数试题答案

?1??2??????2?,?3???1??1?7.已知????是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为( )

?5?31???211???? A.（5，-3，-1） B.

?12?1????12?3???12?2????531??2?17??? ??C. D.?8.设A为n（n≥2）阶矩阵，且A2=E，则必有( ) A.A的行列式等于1 B.A的逆矩阵等于E C.A的秩等于n D.A的特征值均为1

?001?

??010???100?

?，则A的特征值为( ) 9.设矩阵A=?

A.1，1，0 C.1，1，1

B.-1，1，1 D.1，-1，-1

0??10???0?10??00?1??相似，则A2=( ) 10.已知矩阵A与对角矩阵D=?A.A B.D C.E D.-E

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格上填上正确答案。错填、不填均无分。

?201??042????,B???11?3??357??????，则ATB=__________. 11.设矩阵A=

a2231012.已知行列式

1?11=0，则数a=__________.

?1??0??2????????0??1??1?α1???,α2???,α3??05t?2????????2??0??4???????的秩为2，则数t=__________. 13.已知向量组

114.设向量α=（2，-1，2，1），则α的长度为__________.

15.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为__________.

2005年10月自考线性代数试题答案

18

16.设方程组

?x1?2x2?0??2x1?kx2?0有非零解，则数k=__________.

17.已知向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a，5，-7）正交，则数a=__________. 18.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r (A)=__________. 19.已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|=__________.

4??12??22?1???4?13??对应的二次型f =__________. 20.矩阵A=?三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1120314221.计算行列式D=

3?1?10120?5的值.

?14??20??31??????,B?,C???12???11??0?1????????，矩阵X满足AXB=C，求解X. 22.已知A=

?10?2????000???204??，求可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P-1AP=Λ. 23.设矩阵A=?24.设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性.

?x1?x2??x3??2??x1??x2?x3??2??x?x?x???323?125.已知线性方程组，

（1）讨论?为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.

（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

222ax?ax?ax?2x1x2?2x1x3?2x2x3，12326.设二次型f (x1, x2, x3)=确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.

四、证明题（本大题6分）

?a1b1??a2b1?ab?31a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3?a3b3??，证明存在数k，使A2=kA.

27.已知矩阵A=

全国自考2008年7月线性代数试卷

课程代码：02198

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

2005年10月自考线性代数试题答案

19

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi（i=1，2，3）为A的列向量，且|A|=2，则 |B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=( ) A.-2 B.0 C.2 D.6

??x1?x2.若方程组?2?0?kx1?x2?0有非零解，则k=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

3.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是( ) A.|AB|=|A||B| B.（AB）-1=B-1A-1 C.（A+B）-1=A-1+B-1

D.（AB）T=BTAT

4.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=( )

1A.4

B.1

C.2 D.4

5.已知向量组A：α1，α2，α3，α4中α2，α3，α4线性相关，那么( A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示

D.α3，α4线性无关

6.向量组α1，α2，…αs的秩为r，且r＜s，则( ) A.α1，α2，…αs线性无关

B.α1，α2，…αs中任意r个向量线性无关 C.α1，α2，…αs中任意r+1个向量线性相关 D.α1，α2，…αs中任意r-1个向量线性无关 7.若A与B相似，则( ) A.A，B都和同一对角矩阵相似 B.A，B有相同的特征向量

C.A-λE=B-λE D.|A|=|B|

8.设α1，α2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则( ) A.η+α1是Ax=0的解

B.η+（α1-α2）是Ax=0的解

C.α1+α2是Ax=b的解 D.α1-α2是Ax=b的解 9.下列矩阵为正交矩阵的是( )

1??100???1?1?3?010?A.?1?2?? B.???001??

2005年10月自考线性代数试题答案

) 20

22．用克莱姆规则解方程组 x3?28?2x1?x2???5x1?2x2?2x3?66 ?10x5x2?4x3?1371?23．设向量组α1=（1，-1，2，4）；α2=（0，3，1，2）；α3=（3，0，7，14）；α4=（1，-1，2，0）；α5=（2，1，

5，6）.问{α1，α2，α4}是否是其一个最大线性无关组？说明理由。 ?2x1?4x2?5x3?3x4?0?24．求齐次线性方程组?3x1?6x2?4x3?2x4?0的一个基础解系。

?4x?8x?17x?11x?0234?1?42?5??64?925．求矩阵A=???的特征值与全部特征向量。

??53?7??26．化二次型（用配方法）

22f=x1?2x22?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准型，并求所用的变换矩阵。

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．若向量α1，α2，α3线性无关，问α1+α2，α2+α3，α3+α1的线性相关性，并证明之。 28．设A，B为n阶方阵，满足A+B=AB （1）证明A-E为可逆矩阵。 ?1?30???（2）若B=?210?，求矩阵A。

?002???

全国2006年4月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1231．行列式234的值为（ ）

345A．2 C．0

B．1 D．-1

2．设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则必有（ ） A．ACB=E C．BAC=E

2005年10月自考线性代数试题答案

B．CBA=E D．BCA=E

46

3．设n阶方阵A中有n2-n个以上元素为零，则A的值（ ） A．大于零 B．等于零 C．小于零

D．不能确定

4．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且A=2，B=-1，则A?B=（ ） A．4 B．2 C．1

D．-4

?5．线性方程组?x1?x2???x2?x3?2? 有解的充分必要条件是α=（ ）

??x3?x1?1A．-1 B．-

13 C．

13 D．1

6．设A为m×n矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件是（ ） A．m=n

B．Ax=0只有零解

C．向量b可由A的列向量组线性表出

D．A的列向量组线性无关，而增广矩阵A的列向量组线性相关

7．设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（A．0 B．1 C．2

D．3

??022?8．设矩阵A=?2???1002???2?，则A为（ ） 2??022??A．对称矩阵 B．反对称矩阵 C．正交矩阵

D．正定矩阵

9．下列二次型中为规范形的是（ ）

A．-y21?y22 B．-y21?y22 C．-y2?y213 D．y23y221?2?5y3

10．已知A是n阶实对称矩阵，A2=A，秩（A）=n，则xTAx是（ ） A．正定二次型 B．负定二次型 C．半正定二次型

D．不定二次型

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

2005年10月自考线性代数试题答案

）47

请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

12311．行列式012中（2，3）元素的代数余子式A23的值为______.

?42?512．设A是4阶方阵，A=-2，则?A*=________.

?0?0?

13．设矩阵A=?

?0??4

0

0300200

1?0??-1

?，则A=________. 0?0??

14．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为________.

15．设向量组α1，α2，…，αs线性无关，且可以由向量组β1，β2，…，βt线性表出，则s与t的大小关系为_______. 16．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A（3α1-5α2+2α3）=______.

17．设α，β是n元非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，秩（A）=n-1，那么方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的全部解为_____.

?111??x1??0???????18．已知方程组?123??x2???0?有非零解，则t= .

?23t??x??0????3????1?20??200?????

19．设矩阵A=??2?20?与B=?0y0?相似，则y=_______.

?0?004?04?????

?12?20．设矩阵A=??，则与其相似的对角矩阵有________.

43??三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

311121．计算行列式

1311的值.

11311113?423???22．设A=?110?，且矩阵X满足AX=A+2X，求X.

??123????112???

23．设A=?224?，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.

?336???

?x1?x2?x3?x4?0?24.求线性方程组?x1?x2?x3?3x4?0 的通解，并用其基础解系表示.

?x?x?2x?3x?0234?1

2005年10月自考线性代数试题答案

48

??1?20???25．求矩阵A=?230?的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由.

?202???2226．已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x22?ax.3?2x2x3的矩阵A的一个特征值为1，求α并写出该二次型的标准形.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关. 28．设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

2005年10月自考线性代数试题答案

49

2005年10月自考线性代数试题答案

50

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