微积分在经济中的应用

本文主要讨论幂级数、边际分析、弹性分析等数学模型在经济中的应用。

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商业研究值。又因为 R q= q R 3=3= 9所以 ()p,() p 6 .

-=刘凌霞[摘潍坊学院

p 3=2。则广量为 3时利润最大，最大利润二为 3,产品的价格为 2。 3

弹性分析也是经济分析中常用的一种方法主要用于对生产、供给、需求等问 题的研究。对于函数 y f )如果 fX=(, X 存在

要]本文主要讨论幂级数、边际分析、弹性分析等数学模型在经济中的应用。 边际收益边际利润需求弹性价格弹性

则称为l=/ ) ' 函数Y fx的弹性函数。f 0:( r= ()() X函数的弹性是指当白变量变化百分之一时函数变化的百分数。点 X的点弹性记 处

[关键词]幂级数边际成本

数学学科是当今社会最为重要和最为算此人每月还款额是多少 7 基础的学科它不仅为自然科学、工程技术以及社会科学提供了有力的工具而且随着现代科学技术和社会的发展不断产解 n 0× 1=10由公式 ( )得=1 . 2 2 804 2 x 0 0× 1 o04 2 0% 0 f’ 0 0)、 504 46 2 80 2 7 8 7

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示在 X X处当 X生 1的改变时函数=产%

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需求量是指在一定条件下，消费者有生新的高科技 .成为现代经济技术的关键在用数学方法解决实际问题时，往往支付能力并愿意购买的商品量。消费者对部分。微积分作为数学的一个分支，在经需要找出经济变量之间的函数关系，建立某种商品的需求量是由多种因素决定的济科学、管理科学中也有着广泛的应用，教学模型总成本函数、总收益函数和总 商品的价格是影响需求量的一个主要因 随着计算机技术及其它高科技的普及和发利润函数是常用的经济函数。边际概念是素，但还有许多其他因素，如消费者的收展它在经济及其管理中的重要性日渐突经济学中的一个重要概念，一般指经

济函 入增减、其他代用品的价格、社会消费水出并且越来越多的渗透到经济领域。 数的变化率。利用导数研究经济变量的边平等都会影响需求量，我们只考虑价格因在经济日益发展的今天，微积分的地际变化的方法称为边际分析方法。下面我素的影响则需求量是价格的函数。把对位也与日俱增 .贷款、养老金、医保等金们用该方法研究这几种函数。 某商品的需求量看成商品价格的函数即 融问题越来越多地进入普通人的生活。随某产品的总成本是指生产一定数量的需求函数为/ P ).由于需求函数为减函数 (着住房的私有化个人住房抵押贷款成了 产品所需全部经济资源的投入费用的总 Q )于是，p=fp ( ) (为负数 .在经济学中规人们生活中的重要一项。下面用级数的知额一般由固定成本和可变成本两部分组定用正数来表示需求弹性则由需求函数识来讨论个人住房贷款中人们常选的按月 成。边际成本即为总成本的变化率，它表 Q )义需求弹性为 q)=fp定 ( i=~, )。 p (

这说明此人每月需还款 8 1 6元。 4 6

示产量增加一个单位时所增加的成本更需求弹性 s )衡量需求的相对变动对价 (可 设贷款额为 B月还款为 m贷款后确切地说边际成本就是总成本函数关于格相对变动的反应程度。若供给函数为， 第 k月时欠款余额为 B则由第 k个 个月到产量的导数 .设某产品产量为单位时所需同样定义供给弹性为却 ) ( P 。= q () 第 K个月中，除月还款 m外还有什么因+1 总成本为 C C( )则边际成本为 C。 q。下面我们从数学角度来探讨一下边际还款方式的月还款额。 素参与 7无疑是月息设月利率为则 B=(+ )¨ 1 rB一m, k=0I…,2,即

【) I () 2

总收益是指出售一定数量产品所得到的全收益与需求弹性的关系。总收益是商品价部收益。边际收益是指总收益的变化率，格与销售量的乘积 (定销售量等于需求 假

B

=(+ )一， k=l 1 rB m, 2

由 ( )式减去 ( )式得递推公式 1 2 I

它表示多销售一个单位产品所增加的销售量 )即 收入。设某产品的销售量为 q时的收益函 ,,】 () 数为 R=R( .则该产品的边际收益为 R q)

R=p=p r O f

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B (+ ) k= 1,( B ), k=,… ( ) l 2 3

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则 ( )式变为 3A=(+ ) I,k=1… 1 rA, 2 ( 5() 61 _ _

于是有A=(+, A, k,… 1 ) I =l 2

( q)。总利润可以看作总收益与总成本之由此可知当sp<1时有 R ()>0 R 差设 L表示产量为 X个单位时的总￣ i R递增即价格上涨总收益增加 .此商品 J l M ( )示销售量为 q时的总收益函数 C( )为缺乏弹性商品：当 d ) q表 X P>1时有 R<0, 为总成本函数 .则 L R q一 X。一般情况递减即价格上涨 .总收益减少，此商品= () C()下产量 X总是大于销售量 q.为了讨论方为富有弹性商品 .因此，当s ) (=1时 R 0 p 便，我们设产量等于销售量则总利润为 L 此时 R取得最大值。在经济学中，此商品 () R () c q,那么边际利润为。企业是单位弹性商品。 q=。q一 () 家经营的目的是以最小的投入获得最大的随着金融市场和现代企业制度的建利润，怎样才能获得最大利润便成了核心立 .微积分越来越多地渗透到会计、审计、 问题。下面举例说明如何取得最大利润。 财务管理、市场营销、财政、税务、金融、 例 2设总收益函数和总成本函数分工商管理等各个经济领域。经济定货量模 别为 R ) 3一q和 ( ( ) q q q 6 == 2 3?’’= 8 q=( q +。

由 ( )式和 ( )式可知 4 6:+ } ( ) l一1, 1 _ l ( _¨: ( 1+ B"l r l d】 l. .

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从而得到BI+) , 1 [+

) 1 0, ( r],, 1 1 2 ( 7)

设第个月已还清贷款，则 B=0 ,代入 n( )式得 7哪 ” n 1 _I

求产量为多少时利润最大 7最大利润

( 8)

和产品的价格分别是多少 7 解总利润函数为( ) ( (() 3 q 3 ( 8+ 5 q= q) =( 2 q ) q q q 3 q+6 ) q十5’ 3 6 q q

型、经济生产量模型、敏感分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范正如马克思所言“门学科成功地运用教学工一具的程度是衡量其发展阶段的标志。”参考文献：

因此 .若某人贷款 B月利率为 r共 贷款 n个月则每月需还贷款公式为 ( 8)式。此式也适用于购车贷款等的按月还款。下面举例说明 (式的应用。 8)

边际利润为L () 3‘ O q=一 q+Iq一3 r d一3r—I、 3 )一

[]建豪刘克宁易风华辛萍芳： 1徐 经济应用数学 .高等教育出版社，2 3 9 0年 0月幕 1版

令 L q=得 q 3= ( ()0 , 舍去 )因 L q,

q= 6+1则 L 3=-8 )一 q 0 )<0,所以 q =3例 1某人贷款 8万元用于购买汽车 [] 2顾静相钟宜傅修文：济数学 经 3)设贷款月利率为贷款期限为 1 0年试计时总利润 L(=3取得极大值也就是最大基础 .高等教育出版社，2 0 0年 7月第 1 0版

“商场现代化》2 0 8月 ( 0 6年下旬刊 )总第 4 7 7期

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