流体力学第三章讲义

Chapter 3 流体运动的基本方程组

本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。

§3.1系统和控制体

系统（sys）指给定流体质点组成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。

控制体（CV）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（CS）。控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。 物质体元即流体微团。

物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。

物质线元可以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。时间线就是物质线。（三者如同面团、薄饼和面条） §3.2雷诺输运定理

设f?r,t?代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），t时刻某流体团（即系统）占据空间?，取该空间为控制体。t时刻该流体团的总f为

??I?t???f?r,t?d?。

? （3-1）

此I也是t时刻控制体内的总f。设t??t时刻（?t?0）该系统运动到如图所示位置，占据空间??，此时系统的总f为

?I?t??t???f?r,t??t?d?。

?? （3-2）

该系统总f的随体导数

I?t??t??I?t?DI?t??lim。

?t?0Dt?t （3-3）

将空间?II分为与空间?I重合的部分?2和其余部分?1，空间?I去除?2后剩余部分记为?3，于是

????1????3，

进而

（3-4）

I?t??t??I?1?t??t??I??t??t??I?3?t??t?，

可得

（3-5）

I??t??t??I??t??t??I?3?t??t??I??t?DI?t??lim1

?t?0Dt?tI?3?t??t?I?1?t??t?I??t??t??I??t??lim?lim?lim， ?t?0?t?0?t?0?t?t?t其中第一项

1

（3-6）

I??t??t??I??t???I?t?。

?t?0?t?tlim （3-7）

注意到I??t??t?是?t时间内从控制体??t?内经由其右半控制面S1（?2和?1的公共表面）流出的f，

1因而有

???I?1?t??t???t?f?r,t?V?ds

S1 （3-8）

记控制体??t?的左半控制面记为S3，?2和?3的公共表面为S2，法向如图。?3内的总f在?t时间内经由S2流入空间??t??t?，因而有

?limt?0I?3?t??t??I?3?t???t?f?r?,t?V??ds?S。

2控制体?3内总f的增加率等于其控制面上f通量的负值，即

??f?d?????fV??ds?。 3?tS?2?Ss由于等号左边体积分（O??3??O??t?比等号右边面积分低一阶，忽略后可得

???fV??ds??????fV??ds?，

S2Ss于是

?limt?0I?3?t??t????t?f?r?,t?V??ds?S.

3将式（3-7）、（3-8）和（3-12）一起代入式（3-6），得到

DDtI?t??????t???t?f??? S???fV?ds， 1?S3或表示为

DDt?sysfd????t?CVfd?????fV??ds?。 CS对于矢量物理量，同样有

DDt?sysa??????t?????CVa????CSaV??S。（3-15）

方程（3-14）和（3-15即Reynold输运方程，其物理意义：

系统在t时刻总f的变化率=该时刻系统所占控制体内总f随时间的变化率（局地导数） +该时刻通过控制面的f通量 例3.1 （1）若f?12?v2，则 系统动能在t时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内动能随时间的变化率

+该时刻通过控制面的动能通量

=作用在系统上的外力的功率

（3-9）

3-10）

3-11）

3-12）

3-13）

3-14）

2

（（（（（（2）若f??则

系统质量在t时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内质量随时间的变化率

+该时刻通过控制面的质量通量

因为系统质量不变，所以有

控制体内质量随时间的变化率+控制面上的质量通量=0 （3）若a??V则

系统动量在t时刻的变化率=该时刻系统所占控制体内总动量随时间的变化率（局地导数） +该时刻通过控制面的动量通量

=系统所受合外力

式（3-8）和（3-12）也可通过如下的考虑得到。如图所示，控制体??t?表面上的物质面元dA1经?t

?????，对应的微小流体柱d???V?dA1经由dA?进入空间?2，于是空间?1可以看成由空间时间后移动到dA1。同理可以分析得到式（3-8）。 S3上的各面元对应的微小流体柱组成，因此有式（3-12）附：雷诺输运方程的严格数学导出

dd???????????syssysdtdtd?d?????????sysdtsysdt?d????????divV??CVdtCV???d????????V?d?CVdt????????????V???????V?d?CV??t??????????????V??d?CV??t???????d????V?dsCV?tCS??????d????V?dsCS ?tCV

§3.3质量连续性方程

质量守恒假设认为系统的质量恒定不变。对于很多流动问题，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计，质量守恒假设是良好的近似。在此假设下，对系统?有统所占控制体为CV，对应控制面CS，根据雷诺输运定理，有

d?d??0。设t时刻该系??dt?????V?ds?0。（3-16） ?CV?td?????CS此即质量连续性方程的积分形式。由奥高公式得

???CS?V?ds???CV????(?V)d?，（3-17）

3

于是有

?????（3-18） ???(?V)?d??0。???t?CV?考虑到?的任意性，应有

??????(?V)?0，（3-19） ?t即

?d?????V?0 （3-20） dt此即质量守恒方程的微分形式 各项意义分析： 1）

d???d??0；不可压缩流动?0；均质流体的不——流体微团密度随时间的变化率；定常流动

dt?tdt可压缩流动??const.。

2）由

d?m1d?1d????0（?m为微团的质量）知??（??为该微团t时刻体积），从而知??v=dt?dt??dt流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。

?d??0，故有 ??V?0。 dt?????v?ds???vd?v由奥高公式有?，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有???????ds?0。

3）不可压缩流体

???不可压缩流动满足的方程??V?0或???V?ds?0是对速度场的一个约

CSCSCVCS束。

例3.2 （1）定常流场中取一段流管，则由

??v????ds?0易知：

CS?1V1S1??2V2S2；

如为均质不可压缩流动，则

V1S1?V2S2。

（2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）

取两同心球面围成的控制体，则有

4?r2V(r,t)?m(t)，

可见V(r)?r，其中m(t)代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。

例3.3 均质不可压缩流体（密度为?）从圆管（半径为R）入口端以速度V0流入管内，经过一定距离

?2??r?2?后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即V?Vm?1????。通常称这种流动为圆管的入口流。试

???R???求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度Vm。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：

???界面??V?dS?0， 由于管壁无渗透故上式

4

可写为

V0?R2??V2?rdr，

0R可得Vm?2V0。

5

§3.4微分形式的动量方程

流体团所受合外力 = 该流体团的质量 ? 其加速度

一、方程的导出

在直角坐标系下推导微分形式的动量定理。t时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，

?该流体微团t时刻所占控制体CV，其边界CS。该流体微团所受体力合力为?Fd?，面力合力为

????p???x????x?CSndS?px??x?2,y,z???sx?p?x??x?2,y,z???sx??p??y????y?y??x,y?2,z???sx?p?y??x,y?2,z???sy

??p???x,y,z??x?2???sx??p??z??x,y,z??z?z2???sz??p??x????x?x??x?2,y,z???sx?px??x?2,y,z???sx??p??y???2???s??y?y?x,y?,zx?py??x,y?2,z???sy

??p??,y,z??x?2???sx??p??z?z?xz??x,y,z?2???sz???p??x?py?p?x????y???z?z??。

于是有

????dV???p??p?dt?F????x?x???y?y????pz?z??，

即

???dV??F???px???py???pzdt?x?y?z。 分量形式：

???du??Fx??pxx??pyx?pzx?dt?x?y??z????dv??F?pxy?pyy?pzy ?dty??x??y??z。 ??dw?pyx????dt??F??pxxpzxz?x??y??z式（3-23）也可表示为

?dV??dt??F???P， 其中??P是单位体积流体团所受合面力。 二、几种特殊形式 1）N—S方程

将本构方程

（3-22）

（3-23）

（3-24）

（3-25）

6

????V?P??pI?2??S?I?

3??代入式（3-25）即得N—S方程：

??dV??p1????V?? dt?F???????2??S?I??。

??3??当流场温度变化不大时，?近似为常数，故有

dV???p???dt?F?????2V?3?(??V)。

又，若流体不可压缩，方程化为

dV?dt?F???p????2V?。 2）欧拉方程

若流体粘性可略——理想流体，方程简化为欧拉方程

dV???pdt?F??。 3）兰姆—葛罗米柯形式的动量方程

利用公式a???b??c???b??a??c???c??a??b??可以证明

????V2rotV?V?V??V??2，

代入式（3-25）得

????V?V2?????t??2?rotV?V???F???P。

??4）地转参照系下的动量方程

绝对速度等于相对速度V??r与牵连速度Ve之和

V???a?Vr?Ve，

牵连速度等于地心平动速度加上参照系绕地心的转动速度，

V????e?Vo???r，

其中??为地球自传角速度。 绝对加速度

a??a??a??are?ac，

其中a?r代表相对加速度，牵连加速度

??a??dVod?????edt?dt?r??????r?，

科氏加速度

（3-27）

（3-28）

（3-29）

（3-30）

（3-31）

（3-32）

（3-33）

（3-34）

（3-35）

（3-36）

7

???ac?2???Vr?。

将式（3-35）代入动量方程得

（3-37）

?dVr?1???F???P?ae?ac。 dt? （3-38）

??dVod??0。 ?0，一般情况下可以忽略地球公转速度的变化和自转角速度的变化，认为

dtdt例3.4 一完全浸没在理想不可压缩流体内部的球按规律R?R(t)膨胀，不计体力，试确定球面上的流体压力。设无穷远处流体速度为零，压强为p0。

解：流体作球对称膨胀运动，V??v?rer，流体运动的定解问题为

????V??0?dV???dt???p? ??r??, V??0, p?p0??r?R(t), V??R?(t)e?r由连续性方程可得

?(r2vr)?r?0 或

4?r2vr(r,t)?4?R2R?(t)

可得

v(r,t)?R2rr2R?(t)

由动量方程可得

?vr?v?vr1?p?tr?r????r， 对上式积分

???vr???v2?p0?pR?tdr??rR?r??2??dr???， 将速度表达式代入积分得

p(R,t)?p????3?0?RR???2R?2??。

附球坐标系????re?1??1??r?r??e??rsin???e?。

8

例3.5 设有不可压缩重流体盛在直立圆柱形容器内，以等角速?绕圆柱轴线稳定旋转。若已知流体静止时液面高h，圆柱半径a，不计大气压强，求1）液体内部压强分布；2）自由表面形状；3）容器底部所受总压力。 解：该流动定常，

??t?0。流体像刚体定轴转动一样运动，满足 V??v????e??r?e?, ???0。

流体不可压缩满足

??V??0。

容易证明此时P??pI，因而流动遵守欧拉方程

dV?dt?F???p?。 将欧拉方程在柱坐标系下展开（或利用质点圆周运动的知识），得到

?v2??1?p???r??r ??0??g?1?p???z将v??r?代入并积分得

p??222rw?C1(z)

和

p?C2(r)??gz。

故有

p?12? r2?2??gz?c。 自由表面z=zf?r?上p?pa，因此

12? r2?2??gzf?c?pa， 即

2zf(r)??22gr?c?, c??c?pa?g 可知自由表面为回转抛物面。由不可压缩流体的质量守恒关系得

? a2h??a02? rzf(r)dr

2由此可确定常数c??h??24ga，最后得到

z??22g(r2?12a2)?h

9

和

1a222p(r,z)???(r?)?? g(h?z)。

22例3.6 若流体静止，1）N-S 方程化成什么形式？2）利用此时的N-S方程推导阿基米德定律（Archimeder） 答：1）?F??p。

????若仅受重力这唯一体力，F??gk则?p???gk，对均质不可压

缩流体即p???gz?C。

2）如图物体浸没在静止流体中，作用于物体上的合面力为

????pnd?s??p?d??g?k?d?? ? gk????????S??（其中利用了吴书公式18，p20）

§3.5 能量方程 一、能量方程

在流动过程中，流体内部各流体团之间以及流体与外界间存在能量交换，流体宏观运动机械能和其他形式的能量（内能、热能、辐射能）之间也会发生转换。能量方程描述流体中能量交换和转换的规律。流体内能包含分子热运动动能和分子间相互作用势能，本文中流体的能量包含内能和动能。记单位质量流体的内能为U，则流体团（系统）的总能量为

?V2?E????U??d?。

sys2?? （3-39）

根据能量守恒定律，系统能量的变化率等于外力对系统做功的功率加上从系统边界传入的热能，或者如

果有的话，再加上系统单位时间从外界吸收的辐射能等其他形式的能量。 取t时刻流体团所占空间为控制体，外力对系统做功功率为

W?CV??F?Vd???????CS??pn?Vds。

（3-40）

在第一章讲流体的输运性质时，我们定义了热流强度矢量。如果流体温度在三维空间中分布不均匀，热流强度矢量与温度分布的关系为

?I??k?T。

此即傅里叶（Fourier）热传导定律的一般形式。热流强度方向与温度梯度方向相反，其大小等于通过法向为??T方向的单位面积面元上的热通量。t时刻从系统表面流入的热通量即控制面上的热通量的负值，其表达式为

???Q???I?ds?k?T?ds。 ?????CSCS （3-41）

设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q 则系统单位时间从外界吸收的辐射能为

?CV?qd?。综上可得能量方程积分形式

???dV2?????U?d???F?Vd??p?Vds?k?T?ds???qd?。 ???CV???CSn???CSCVdt?sys?2?（3-42）

将上式右边的两个面积分变换成体积分：

???

CS??????pn?Vds??V?P?nds?V?P?ds?????????????CSCSCS??V???P??dsCV?????V?P?d?，

10

?2(x?ut2)u2(?x?u

a2a2注：也可从Vut)?vb2y?0。 2???V固出发，利用V??F?ui??F得到上面结果。

流nn例3.9 两无限大平行平板间有两层不同密度、不同粘性的不可压缩流体。已知上层流体厚度、密度和粘性系数分别为

h1、?1和?1，下层流体厚度、密度和粘性系数分别为h2、?2和?2。设水平方向无压力差，上平板以速度V0匀速运

动，

（1）写出边界条件；

（2）当流动达到定常流动状态时，写出两层流体满足的N-S方程表达式。

解：如图建立坐标系，边界条件：

z?0，u1?0

z?h?u11，u1?u2，?1?z???u22?z，p1?p2 z?h1?h2，u2?u0

（2）N?S方程：

??0???p2?2u2??p1?2u1?x??2?z2?0???x??1??z2上层??0???p?2，下层??0???p1??y

???y??0???2g??p2??z??0????p11g??z 16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kke7.html