三年级奥数5-0鸡兔同笼问题例题及答案

三年级奥数 鸡兔同笼 例题及答案

三年级奥数5-0鸡兔同笼问题例题及答案

一、鸡兔同笼

这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47?35?12（只）．显然，鸡的只数就是35?12?23（只）了．

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．

解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍

在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法

板块一、两个对象的“鸡兔同笼”

【例 1】 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【解析】 假设46只都是兔，一共应有4?46?184只脚，这和已知的128只脚相比多了184?128?56只脚，

这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4?2?2（只）脚，那么56只脚是我们把56?2?28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46?28?18（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．

【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：

点点家养的鸡和兔各有多少只？

【解析】 方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一

样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94?2?47(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，剩下的就是兔子头数，47?35?12(只)，所以有12只兔子，有35?12?23(只)鸡．

方法二：假设35只都是兔子，那么就有35?4?140(只)脚，比94只脚多了140?94?46(只)．每

只鸡比兔子少4?2?2(只)脚，那么共有鸡46?2?23(只)

方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚2?35?70(只)，比94只脚少了94?70?24(只)

脚，每只鸡比兔子少4?2?2(只)脚，那么共有兔子24?2?12(只)．

方法一可以归结为：总脚数?2?总头数?兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别

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为4和2，而且4是2的2倍．

方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式： 鸡数?(兔脚数?总头数?总脚数)?(兔脚数?鸡脚数)

方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式： 兔数?(总脚数?鸡脚数?总头数)?(兔脚数?鸡脚数)

【巩固】 鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试

计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？

【解析】 ⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有4?45?180(条)腿，比实际多算

180?100?80(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80?2?40(只)鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45?40?5(只)兔子．

注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的

腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．

⑵“金鸡独立”法（砍足法）：

假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只

用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100?2?50(条)腿，比头数多50?45?5，所以有5只兔子，另外40只是鸡．

【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？ 【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36?2?18，假设鸵鸟和

大象一样也有4只脚，则应该有(4?18?)72只脚，多了(72?52?)20只脚，由假设引起的差值：

，大象数为18?10?8（头）． 4?2?2，则鸵鸟数为20?2?10（只）

【巩固】 鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？ 【解析】 有兔(94?35?2)?(4?2)?12 (只)，有鸡35?12?23 (只)．

【例 2】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多

少只？

【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208?20?2?168

(只)．这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：2?4?6(只)，所以梅花鹿的只数是：168?6?28(只)，从而鸵鸟的只数是：28?20?48(只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的）

【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？ 【解析】 已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有

2?36?72（只）脚，可知现在剩下792?72?720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有720?6?120（只），鸡有120?36?156（只）．

【巩固】 鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？ 【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是

已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题． （方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56?2?28（只）鸡．这样一来，鸡、兔共有107?28?135（只），这时鸡脚、兔脚一样多．

已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和

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倍问题有：

兔有：135?(2?1)?45（只）

鸡有：135?45?28?62（只）或者107?45?62（只）

（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107?4?428（只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：

．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的428?56?372（只）

总数差就会减少4?2?6（只）． 鸡的只数：372?6?62（只） 兔的只数：107?62?45（只）

【巩固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只? 【解析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，

而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200?20?180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4?2?6(只)，而180?6?30，因此有兔子30只，鸡100?30?70(只).

【巩固】 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？ 【解析】 假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120只，

而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120?60?60(只)．现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4?2?6(只)，而60?6?10，因此有兔子10只，鸡60?10?50(只)．

【巩固】 鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 【解析】 这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样

多，那么现在它们的足数一共有：274?2?26?222（只），每一对鸡、兔共有足：2?4?6（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222?6?37（对），则鸡有 37?26?63（只）．

【巩固】 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只 ？ 【解析】 解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡

的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是100-38=62(只).

当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法.

解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是

4×50-2×50=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只).

【例 3】 在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个

轮子，那么三轮摩托车有多少辆？

【分析】 假设都是三轮摩托车，应有3?41?123(个)轮子，少了127?123?4(个)轮子．每把一辆汽车假

设为三轮摩托车，会减少4?3?1(个)轮子．汽车有4?1?4(辆)；从而求出三轮摩托车有41?4?37(辆)．或者假设都是汽车，应有4?41?164(个)轮子，多了164?127?37(个)轮子；

所以摩托车有37?(4?3)?37(辆)．

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【巩固】 体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，

问老师买上衣和裤子各多少件？

【解析】 假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(24?21?439)?(24?19)?13（件），

上衣：21?13?8（件）．

【巩固】 小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了3分钟，然后两人各做了5分钟，一共做仰卧起坐136次．已

知每分钟小建比小雷平均多做4次，那么小建比小雷多做了多少次？

【解析】 假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了

4?（3?5）?32(次)，由此可知小雷每分钟做了（136?32）?（3?5?5）?8(次)，进而可以分别求出小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差． 假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多， 两人做仰卧起坐的总次数就减少：4?（3?5）?32(次) 小雷每分钟做：（136?32）?（3?5?5）?8(次)；小建每分钟做：8?4?12(次) 小建一共做：12?（3?5）?96(次)；小雷一共做：8?5?40(次) 小建比小雷多做：96?40?56(次)

【例 4】 （中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗

粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？

【解析】 我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一百个和尚喝三百碗粥，

一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥．

然后仍然用假设法：

假设都是小和尚，只能喝1?100?100（碗）粥，有一个大和尚被当成小和尚会少9?1?8（碗）

粥，一共少了300?100?200（碗）粥．所以大和尚有200?8?25（个）；小和尚有100?25?75（个）．

【巩固】 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？ 【解析】 本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看

作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300?140?160（个）．现在以小和尚去换

大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3?1?2（个），因为160?2?80，故小和尚有80人，大和尚有100?80?20（人）．

同样，也可以假设100人都是小和尚，这里不再作说明．

【巩固】 100个和尚160个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？ 【解析】 本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看

作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300?160?140(个)．现在以小和尚去换大

和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3?1?2(个)，因为140?2?70，故小和尚有70人，大和尚有100?70?30 (人)．

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试．

【解析】 从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚

用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？

【解析】 假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58?38?20（个）桶

呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2?1?1（个）桶，所以有20?1?20（人）在挑水，拾水的扁担数是38?20?18（根），抬水的人数是18?2?36（人）．

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【例 5】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这

批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？

【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100?20?120（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费20?250?5000（元）．这样比实际多得5000?4400?600（元）．

就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花

瓶．根据以上分析，可得损坏了． （20?250?4400）（?100?20）?5（个）

【巩固】 乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每

打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打破了几只花瓶？

【解析】 假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1?100?100（元）．实际上只得到

92元，少得100?92?8（元）．搬运站每打破一只花瓶要损失1?1?2（元）． 因此共打破花瓶8?2?4（只）．

【巩固】 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,

破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只

【解析】 如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是

(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).

【例 6】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得

脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中 发。 20分，

【分析】 乙得分为，如果乙每发都打中可以得20?10?200（分），脱靶一发少（208?64）?2?72（分）

；乙脱靶，所以乙打中10?4?6（发）。 20?12?32（分）（200?72）?32?4（发）

【巩固】 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他

做对了多少道题？

【解析】 做错(5?20?79 ) ?(5?2)?3 (道)，因此，做对的20?3?17 (道)．

【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得

了60分，他做对了几道题？

【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题

要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道．

【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒

扣2分.刘钢得了86分，问他做对了几道题？

【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢20道题全对，可得分5?20?100（分），但他实

际上只得86分，少了100?86?14（分），因此他没做或做错了一些题．由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少5?2?7（分）．14分中含有多少个7，就是刘钢没做或做错多少道题．所以，刘钢没做或做错题为14?7?2（道），做对题为20?2?18（道）．

【巩固】 (第八届“祖冲之杯”数学邀请赛填空题)

一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做对 题，做错 题，没做 题．

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三年级奥数 鸡兔同笼 例题及答案

【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索． 小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分．

78?4?19，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4?19?76(分)；

再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4?21?1?4?80(分)，超过了78分，

所以小明至多做对20道题目；

综上，可以断定小明做对了20道题． 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题．

假设剩下5题全部没做，那么小明应得4?20?80(分)．

但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做． 所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题．

【巩固】 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名

同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.

【解析】 三人共得87?74?9?170(分)，比满分10?10?3?300(分)少300?170?130(分)

因此三个人共做错：130?(10?3)?10(道)题，

共答对了30?10?20(道)题

【巩固】 某次考试有52人参加，共考5道题，每题做错人数的统计表如下图．

题号 做错人数 一 4 二 6 三 10 四 20 五 39 还知道每人都至少做对1道题，做对1道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多．那么做对4道题的人数是多少？

【解析】 总共答对了：52?5?做对2、3、4道题的人总共有：52?7?6?39（4?6?10?20?30）?190道题，

人，这39人总共答对了：190?7?1?5?6?153道题．可假设做对2道题的有1人，假设出错量：[2?1?3?1?（39?2）?4?153]?（4?2?2?3）?0，所以假设正确，对二、三道题的各1人，对4道

题的37人．

难点：给的是做错题的表，而条件给的是做对的条件。

【例 7】 (小学数学奥林匹克初赛试题)孙阿姨有贰元人民币和伍元人民币共62张，合计226元，孙阿姨

这两种人民币各有多少张？

【解析】 假设这62张人民币全是贰元的，共计2?62?124(元)，比实际的钱数少了226?124?102(元)．

这是因为伍元的全部假设成贰元的，一张就少了5?2?3(元)，那么可知伍元的共有102?3?34 (张)，贰元的有：62?34?28(张)

【巩固】 小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？ 【解析】 二元五角＝250分；1角＝10分；2角＝20分.

假设都是10分邮票：10?17?170（分），比实际少了：250?170?80（分），每张邮票相差钱数：

，有二角邮票：80?10?8（张），有一角邮票张：17?8?9（张）． 20?10?10（分）

【巩固】 有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张? 【解析】 该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数17张，但两种不同面值的人民币张数相差多

少难以确定，怎么办?再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办?我们可用“假设法”思考．假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17=85(元)，比实际的49元多出85-49=36(元)，多的原因是把l元的人民币假设为5元的人民币了，用数量关系式表示为：

根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数．

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解法①：(5×17-49)÷(5-1)=9(张) 17-9=8(张)

验算：1×9+5×8=49(元)

也可以假设17张人民币全是1元的，便可 有另一解法． 解法②：(49-1×17)÷(5-1)-8(张) 17-8=9(张)

【巩固】 小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2

分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱？

【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多

3分，所以5分币有84?，2分币有28?22?50（个），5?28?2?50?1?36? （5?2）?28（个）

． 140?100?36?276（分）

【巩固】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两

种邮票各买了多少张

【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(张),

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张).

解二:譬如,假设有20张4分,根据条件\分比4分多40张\那么应有60张8分.以\分\作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.

比680少,因此还要增加邮票.为了保持\差\是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).

【巩固】 四年级的同学们去春游，按团体购票120张，共432元，其中单程票每张2元，往返票4元，

那么单程票和往返票相差多少张？

【解析】 假设全部买的是往返票，那么共需4?120?480（元），比实际多花了48元，这48元是因为把每

张单程票假设成往返票多出的，每张单程票看成往返票则增加2元，可知48元中有几个2元就有几张单程票，即单程票有24张，相差72张．

【巩固】 李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打15页，张亮每天打10页，他们一连打了25天，平均每

天打12页，问李明、张亮各打了多少天？

【解析】 从总数入手，由题意可知他们一共打了25?12?300(页)．假设25天都是李明打的，那么打的页

数是：15?25(页)，比实际打的多375?300(页)，而李明每天比张亮多打：?375?75(页)，所以张亮打的天数是：75?5?15(天)，李明打的天数是：25?15?10(天) 15?10?5

【解析】 某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，

那么其中有多少间大宿舍？

【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住4?30?120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每

间多住6?4?2（人），所以大宿舍有． （168?120）?2?24（间）

【巩固】 （2000年北京市“迎春杯”决赛）使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要

兑水40千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50千克，要配药水1400千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？

【解析】 假设50千克都是乙种农药，那么需要兑水40?50?2000（千克）．但题目要求配药水1400千克，

即实际兑水1400?50?1350（千克）．多用了2000?1350?650（千克）水，又已知使用乙种农药

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每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40?20?20（千克），所以推知，在混合农药中甲种农药有650?20?32.5（千克）．

【例 8】 小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只.白鸡的只数是黄鸡的2倍，白

鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只?

【解析】 该题包含黄鸡、黑鸡、白鸡只数间的比较关系．抓住“标准量”，清楚两两量间数量关系，

问题就迎刃而解．

为明了题意，可借助线段示意图，如下：

“黄鸡比黑鸡多13只”即，黑鸡比黄鸡少13只；

“黄鸡比白鸡少18只”即，白鸡比黄鸡多18只． (1)黄鸡多少只? 18÷(2-1)=18(只) (2)白鸡多少只? 18×2=36(只) ‘ (3)黑鸡多少只? 18-13=5(只)

(4)白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只? 18+36+5=59(只) 综合算式：18÷(2-1)×(1+2+1)-13=59(只)

【巩固】 现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20

千克，问大小桶各多少个?

【解析】 分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，则共装油(4?50)?200千克，而这小桶所装油则为0．这

样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(200?80)?180千克，若在50个大桶中把

一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(4?2)?6千克，那么该把多少个大桶换成小桶

才符合题意呢?

解：(4?50?20)?(4?2)

?180?6?30(个)(小桶) 50?30?20(个) (大桶)

分析与解答二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20?(4?2)?10个，现在共有50个桶，在剩下的(50?10?2)?30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(4?2)?2倍，那么在这30个桶中，应该有[30?(1?2)]?10个大桶，(30?10)?20个小桶；所以

可求出50个桶中，有大小桶各多少个． 解：20?(4?2)?10(个)

(50?10?2)?(1?2)?10(个) (大桶)

10?10?20(个) (大桶共有) 50?20?30(个) (小桶共有)

【巩固】 三(1)班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，

飞行棋要4人下一副，则飞行棋和跳棋各有几副？

【解析】 假设只有飞行棋，那么一共有14?4?56（名）同学参与活动，多出56?40?16（名）同学，多

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一副象棋，就会少4?2?2（名）同学，可知一共有16?2?8（副）象棋，14?8?6（副）飞行棋．

【巩固】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每辆小卡车多装

4吨，那么这批钢材有多少吨？

【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4?36?144 (吨)．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45?36?9(辆)小卡车．这样每辆小卡车能装144?9?16(吨)．由此可求出这批钢材有720吨．

【巩固】 王老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问

大船、小船各租几条？

【解析】 我们分步来考虑：

①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6?10? 60（人）．

②假设后的总人数比实际人数多了60?(41?1)?18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人．

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18?2?9（条）小船当成大船．所以有9条小船，

1条大船．

列式为： [6?10?(41?1)]?(6?4)?18?2?9(条）10?9?1（条）

【巩固】 松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采14个．它一连几天采了112个松果，

平均每天采14个．问这几天中有几个雨天？

【解析】 首先要根据已知条件计算一共采了多少天，再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算．

因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112?14?8（天）．假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20?8?160（个），比实际采的多了160?112?48（个），因雨天比晴天少采20?14?6（个），所以共有雨天48?6?8（天）．

【巩固】 小松鼠采松果，晴天每天可以采10个，雨天每天只能采6个．它一连几天采了80个松果，平均

每天采8个．那么其中有几天是雨天呢？

【解析】 小松鼠一共采了80?8?10（天），假设每天都是晴天，那么一共可以采10?10?100（个），而实

际上少采了100?80?20（个），少1天晴天，就少采10?6?4（个），所以一共有雨天：20?4?5（天）．

【例 9】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，

如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？

【解析】 每个三口之家可以少花30?40?40?32?3?14（元），每个二口之家可以少花40?40?64?16（元），如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14?8?112（元），所以这8个家庭中有

（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4?2?（人）． （120?112）?（16?14）?4（8?4）?3?20

【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15

道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得5?24?120(分).那么第二次只做对30?24?6(题)得

分是8?6?2?(15?6)?30(分).两次相差120?30?90(分).比题目中条件相差10分，多了80分.

说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5?1?6(分)，而第二次答

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对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8?2?10分.两者两差数就可减少6?10?16(分).(90?10)?(6?10)?5(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30?19?11(题).第一次得分5?19?1?(24?9)?90.第二次得分8?11?2?(15?11)?80.

法二：答对30题，也就是两次共答错24?15?30?9(题).第一次答错一题，要从满分中扣去5?1?6(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8?2?10(分).答错题互换一下，两次得分要相差6?10?16 (分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6?9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6?9?10. 因此，第二次答错题数是(6?9?10)?(6?10)?4(题). 第一次答错9?4?5(题).

第一次得分5?(24?5)?1?5?90(分). 第二次得分8?(15?4)?2?4?80 (分).

【例 10】 大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一

只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克．一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃．在这个猴群中，共有小猴子多少只？

【分析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔．但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消

失．一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12千克，那样猴群只能采摘4400?35?2?12?3560(千克)；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采3560?8?445(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘15?35?525(千克)，比实际多采了525?445?80(千克)．而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15?11?4(千克)．因此可以求出小猴子有：80?4?20(只)．

【例 11】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是

弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年？

【解析】 4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把

兄的年龄看作\鸡\头数,弟的年龄看作\兔\头数.25是\总头数\是\总脚数\根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁).

因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.

【例 12】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,

因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？

【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时

打30÷10=3(份).

现在把甲打字的时间看成\兔\头数,乙打字的时间看成\鸡\头数,总头数是7.\兔\的脚数是5,\鸡\的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成\鸡兔同笼\问题了. 根据前面的公式

\兔\数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, \鸡\数=7-4.5 =2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

板块二、多个对象的“鸡兔同笼”

【例 13】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻蜓6条

腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？

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三年级奥数 鸡兔同笼 例题及答案

【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6?18?108(条)，所差118?108?10(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有(118?108)?(8?6)?5(只)蜘蛛.这样剩下的18?5?13(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入

手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1?13?13(对)，比实际数少 20?13???7(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7?(2?1)?7(只).

【巩固】 食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其

中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？

【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：2570?1970?600元，

所以卖出：600?20?30千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共100?30?70千克，相当于将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．

关键：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。

【例 14】 (希望杯培训题)

在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共22道．选择题和填空题每题4分，解答题每题10分．这次考试总分是100分，其中选择题和解答题的分值比填空题多4分，这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？

【解析】 选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试的22道题全是解答题，则总分应是：

22?10?220(分)，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：（220?100）?（10?4）?20 (道)，解答题有：22?20?2(道)．选择题比填空题少：2?10?4?16(分)，选择题有：（100?2?10?16）?2?4?8(道)，填空题有：20?8?12(道)．

【例 15】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只．已知犀牛有4只脚、1

只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角，孔雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？

【解析】 这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观

察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”． 假设26只都是孔雀，那么就有脚：26?2?52（只），比实际的少：80?52?28（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4?2?2（只）．所以，孔雀有26?28?2?12（只），犀牛和羚羊总共有26?12?14（只）． 假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14?1?14（只），比实际的少：20?14?6（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：

，所以，羚羊的只数：6?1?6（只），犀牛的只数：14?6?8（只）． 2?1?1（只）

［小结］这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同

笼”问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．

【巩固】 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的

有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？

【解析】 对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人).

他们共做对181-1×7-5×6=144(道).

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由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).

【巩固】 有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的

两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123．问黄色卡片有多少张？

【解析】 开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡片，那么数字之

和为：2?100?200，比实际的少：234?200?34．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会增加：3?2?1．那么，黄色和绿色卡片之和：34?1?34（张），红色卡片有：100?34?66（张）． 翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2．红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：123?1?66?57．如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字之和为：比实际的少：57?34?23．每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：2?1?1，1?34?34，

所以，绿色卡片有：23?1?23（张），黄色卡片有：34?23?11（张）．

【例11】 箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红

球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么箱子里原有红球多少只？

【解析】 假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球

数应该刚好是白球数的3倍多2．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个．按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3?3?2?11(只)．但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共取了42?6?7(次)．所以可以知道原来有红球7?15?53?158(只)．

【例 16】 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了

55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

【解析】 因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整

数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买10个中球,15个小球.

【例 17】 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,

平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米

【解析】 把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上

坡和下坡合并成\一种\路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的\鸡兔同笼\问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是6÷2=3(小时).

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米). 又是一个\鸡兔同笼\问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小时).

行走路程是3×4=12(千米). 下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千

米).

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【例 18】 某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.

共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？

【解析】 假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人）

1000/50=20，也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4（人）。 因为多出的是90人，而：90=19*2+4*13.

即：要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。 所以，二等奖有13个人。

【例 19】 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人

6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？

【解析】 由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).

还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元).

还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成\鸡兔同笼\了:

总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.

【例 20】 一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚

猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）．如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有几只？

【解析】 把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起，则是4头12脚，即1头3脚，同三脚猫是一样的，所

以可以假设都是1头3脚，则有3×58=174只脚，但只有160只脚，差了174-160=14只脚，替换：14÷2=7只，故有7只独角兽。

【例 21】 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅

笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？

【解析】 从条件\铅笔数量是圆珠笔的4倍\这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成

一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用\鸡兔同笼\公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220÷(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支).

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