2014广州二模理科数学试题及详细答案

数学（理科）试题A 第 1 页 共 15 页

试卷类型：A

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

2014.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写

在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液.不按以上要求作答的答案无效.

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.

5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

参考公式：锥体的体积公式是13

V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为

A ．2-

B ．2

C ．2-i

D ．2i

2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ?? ???

的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．

19 D

3．命题“对任意x ∈R ，都有32

x x >”的否定是 A ．存在0x ∈R ，使得3200x x > B ．不存在0x ∈R ，使得3200

x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32

x x ≤ 4. 将函数(

)2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移

6

π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x = A ．是奇函数 B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数，也不是偶函数

5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，

将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是

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图1

俯视图

侧视图

正视图 A ．

16 B ．13 C ．12 D ．38

6．设12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF

的中点在y 轴上，若1230PF F ?

∠=，则椭圆

C 的离心率为 A ．

16 B ．1

3

C

．6 D

．3

7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体

的体积为

A ．6π4+

B ．12π4+

C ．6π12+

D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,

按表1的方式进行

排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若

2014ij a =，则i j +的值为

A ．257

B ．256

C ．254

D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．不等式2

210x x --<的解集为 .

10．已知312n

x x ?

?- ??

?的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .

11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ?的值 为 .

12．设,x y 满足约束条件 220,

840,0,0.x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值

为8，则ab 的最大值为 .

13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ??=??，

数学（理科）试题A 第 3 页 共 15 页 D

C

B

A a 图3重量/克

0.0320.02452515O 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-??=?

为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ

=+??=?为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .

15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12

A E E

B =，连接,DE A

C ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AF

D 的面积为 cm 2.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==

，BD =. (1) 求cos A 的值；

（2）求sin C 的值. 图2

17．（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.

（1）求a 的值；

（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；

（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,

,i n =，

则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内

的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

数学（理科）试题A 第 4 页 共 15 页 F E D

C B A 18．（本小题满分14分）

如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=

，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；

（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.

图4

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20．（本小题满分14分）

已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .

(1) 求曲线E 的方程;

(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两

点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个

定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.

（1）求,a b 的值；

（2）当1x >时，()0k f x x +

<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3

ln 22n n n n n n --+++>+.

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2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中

14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．

1,12??- ???

10．8 11．2

a

12．4 13．222n n -+

141 15．3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，

3

BD =

，

∴222cos 2AB AD BD A AB AD

+-=

??2

22

1112113+-??==??. ……………4分

（2）解：由（1）知，1

cos 3

A =，且0A <<π，

∴sin A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，

∴22AC AD ==.

在△ABC 中，222222121

cos 22123

AB AC BC BC A AB AC +-+-=

==????，………8分

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解得BC = ……………10分 由正弦定理得，

sin sin BC AB A C =， ……………11分

∴1sin sin AB A C BC ??=== ……………12分 17．（本小题满分12分）

(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++?=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分

（2）解：50个样本小球重量的平均值为

0.2100.32200.3300.184024.6X =?+?+?+?=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分

（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ?? ???. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分

()30

346405125P C ξ??=== ???，()2

131448155125P C ξ????==?= ? ?????， ()2231412255125P C ξ????==?= ? ?????，()3

331135125P C ξ??=== ???

. ……………10分 ∴ξ的分布列为：

……………11分

∴6448121301231251251251255

E ξ=?

+?+?+?=. ……………12分 （或者13355E ξ=?=） 18．（本小题满分14分）

（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，

∵EF ∥平面ABCD ，EF ?平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，

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M O H F E D C B A ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=

∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.

在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =

，得FB =

∴EM = ……………3分 在△AME

中，AE =1AM =

，EM =

∴2223AM EM AE +==，

∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ?平面BCF ，BC ?平面BCF ，

∴AB ⊥平面BCF . ……………6分

（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，

取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，

则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.

∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ?平面BCF ，

∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =?平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，

∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD .

∵AO ?平面ABCD ，

∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =?平面EBD ，BD ?平面EBD ，

∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE

中，tan AO AEO EO

∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE

……………14分

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证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，

则OH ∥AB ，112

OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12

EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.

∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ?平面BCF ，

∴FH AB ⊥.

∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =?平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，

∴FH ⊥平面ABCD .

∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ?=，n 0BE ?=，

得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.

令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，

则sin θ=cos ,n AE ?=n AE

n

AE 3

=. ……………11分

∴cos θ==

，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE

……………14分

19．（本小题满分14分）

（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分

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即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ?=+?，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.

∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，

111n n S S n n +-=+. ……………3分 ∴数列n S n ???

???是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011n S n n n

=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分

（2）解法1：∵22log log n n a n b +=，

∴221224n a n n n b n n n --=?=?=?. ……………9分

∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+?+?++-?+?，① ()1231442434144n n n T n n -=+?+?+

+-?+?，② ……………11分 ①-②得0121344444n n

n T n --=++++-?14414n

n n -=-?-()13413n n -?-=. ……………13分 ∴()131419

n n T n ??=-?+??. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，

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∴221224n a n n n b n n n --=?=?=?. ……………9分

∴1231n n n T b b b b b -=+++

++()0122142434144n n n n --=+?+?++-?+?. 由()1

2311n n x x x x x x x x

+-++++=≠-， ……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()1211

1n n nx n x x +-++-. ………12分

令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --??+?+?++-?+?=-?+?

?. ……………13分 ∴ ()131419

n n T n ??=-?+??. ……………14分 20．（本小题满分14分）

（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,

故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分

解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,

得1MF y =+,

1y =+, ……………1分 化简得2

4x y =.

∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分

(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==. 由21,4,

y kx x y =+??=?消去y 得2440x

kx --=，

解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分 直线AB 的斜率2111111124224

AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=

-. ……………4分

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令1y =-，得1822

x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ?

?-- ?+??

. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ?

?-

- ?+??. ……………6分 ∴()()()

121212888222222x x ST x x x x -??=---= ?++++?? ()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k

---===+++. ……………7分 ∴2ST =()

()()

2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分

设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，

则()()()

12012124418822222222x x x x x x x ++??=-+-=- ?++++?? ()()()1212444444222248k k x x x x k k ++=-

=-=-+++. ……………9分 ∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ??+++= ??

?()2241k k +=. ……………10分

展开得()()22222414414k x x y k k k

++++=-=. ……………11分 令0x =，得()2

14y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.

设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，

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由()112,1,y k x y ?-=-?=-?解得122,1.x k y ?=-???=-?

∴点S 的坐标为122,1k ??-- ???. …………3分 由()1212,

4,y k x x y ?-=-?=?消去y ，得2114840x k x k -+-=，

即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414

y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()

211142,441k k k --+. ……………5分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，

则点T 的坐标为222,1k ?

?-- ???

，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，

∴()()

()()()()

2

22

22211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.

∴121k k k +=+. ……………7分

又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122

k k k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ?=， ……………9分 得()()122222110x x y y k k ?

???-+-++++= ???????

， ……………10分 整理得，()224410x x y k

+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分

∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分

21．（本小题满分14分）

（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x

'=+.

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∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2??- ??

?， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ?=-????'=??即1,21,2

b a b ?=-????+=??解得11,2a b ==-. ……………3分 （2）解法1：由（1）得()ln 2

x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2

ln 2

x k x x <-. ……………4分

令()2

ln 2

x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x

-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，

故()()112

g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2

ln 2

x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2??-∞ ???

. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-

. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x

-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x k g x x x x

-+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ?=-.

（ⅰ）当0?<，即12

k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，

数学（理科）试题A 第 14 页 共 15 页

故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.

由于()()110,2ln 21022

k g k g =-

+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x -+>，与题设矛盾. …………5分 （ⅱ）当0?=，即12k =时，则1x >时，()()2222

121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g<=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0?>，即12

k <

时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.

故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x k g x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+222

1ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x -

+<， 得222

1ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2??-∞ ???

. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2

x x x -<， …10分 又ln 0x x >，

从而，21211ln 111

x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，

11111111111112ln 23ln 3

ln 32435211n n n n n n ??????????+++>-+-+-+-+- ? ? ? ? ?--+??????????

数学（理科）试题A 第 15 页 共 15 页

……………12分 111121

n n =+--+ ……………13分 223222n n n n

--=+. ……………14分

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