趣味数学147：“数码与9的魔术”节选

选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》

第八章 数码与9的魔术（节选）

数码9的奇异性质常被魔术家与术数家利用，是一些戏法的基础。如，有一个等式2A99561＝[3×(523＋A)]2，要求在60秒内求出数码A。乍一看似乎根本不可能，可是，如果发现等式右边含有因数32＝9，根据“弃九法”，等式左边应该能被9整除。除A以外，2A99561其余数码之和是2＋9＋9＋5＋6＋1＝32，32－3×9＝5，也可以3＋2＝5，所以，A＝4，也就立即可以算出了。

所谓“弃九法”，就是说，求一个数的数字和时，如果超过9，可以弃去9或9的倍数，直到小于9为止，也可以反复求数字和，结果相同。而一个数除以9的余数，与这个数用弃九法得到的数字和相同。

用弃九法，可以检验四则运算是否正确。 如，4671＋2198＋7422＋5611＋1105＝21007。 这些加数的弃九数字和是：

4＋6＋7＋1＝18，18－2×9＝0，或者1＋8＝9,9－9＝0； 2＋1＋9＋8＝20，20－2×9＝2，或者2＋0＝2； 7＋4＋2＋2＝15，15－9＝6，或者1＋5＝6； 5＋6＋1＋1＝13，13－9＝4，或者1＋3＝4； 1＋1＋0＋5＝7。

这些加数的弃九数字和相加，得0＋2＋6＋4＋7＝19，19－18＝1；而21007的弃九数字和是2＋1＋0＋0＋7＝10，10－9＝1，二者相等，说明计算正确。

再如，5327×649＝3457223。

两个因数的弃九数字和分别是：5＋3＋2＋7＝17，1＋7＝8；6＋4＋9＝19，19－18＝1。两个因数弃九后的数字和相乘，得8×1＝8；而3457223的弃九数字和是3＋4＋5＋7＋2＋2＋3＝26，2＋6＝8，二者相等，说明计算正确。

有一种类似的戏法：

“随便你写出一个很大的数，从中抹掉一个数码，我再填入一个数字，就能使这个大数能被9整除。”

例如：所写的数是53219645*2789，因为已知数码的弃九数字和是5＋3＋2＋1＋9＋6＋4＋5＋2＋7＋8＋9＝61，6＋1＝7，于是，填入的数码应该是9－7＝2。

* * *

下面是一个数字宝塔：

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 123456×9＋7＝1111111 1234567×9＋8＝11111111 12345678×9＋9＝111111111 123456789×9＋10＝1111111111

如果把等式左边的一般项（第n项）写作

(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋?＋n)×(10－1)＋(n＋1)。 上述现象的秘密就显而易见了。因为，在把括号乘出并化简后，即得： (10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋?＋n)×(10－1)＋(n＋1)

＝(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋?＋n)×10－(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3

＋?＋n)＋(n＋1)

＝10n＋2×10n－1＋3×10n－2＋?＋10n－10n－1－2×10n－2－3×10n－3－?－n)＋(n＋1)

＝10n＋10n－1＋10n－2＋?＋10n＋1

用普通的写法，就是1重复出现(n＋1)次。 下面是另外一些神奇的数字宝塔：

9×9＋7＝88 99×9＋6＝888 999×9＋5＝8888 9999×9＋4＝88888 99999×9＋3＝888888 999999×9＋2＝8888888 9999999×9＋1＝88888888 99999999×9＋0＝888888888

1×8＋1＝9

12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 12345×8＋5＝98765 123456×8＋6＝987654 1234567×8＋7＝9876543 12345678×8＋8＝98765432 123456789×8＋9＝987654321

1×1＝1 11×11＝121 111×111＝12321 1111×1111＝1234321 11111×11111＝123454321 111111×111111＝12345654321 1111111×1111111＝1234567654321 11111111×11111111＝123456787654321 111111111×111111111＝12345678987654321

7×7＝49 67×67＝4489 667×667＝444889 6667×6667＝44448889 66667×66667＝4444488889 666667×666667＝444444888889 6666667×6666667＝44444448888889

?? 4×4＝16 34×34＝1156 334×334＝111556 3334×3334＝11115556

33334×33334＝1111155556

?? 9×9＝81 99×99＝9801 999×999＝998001 9999×9999＝99980001 99999×99999＝9999800001 999999×999999＝999998000001 9999999×9999999＝99999980000001

?? 7×9＝63 77×99＝7623 777×999＝77663 7777×9999＝7776663 77777×99999＝777766663 777777×999999＝77777666663

?? 1×7＋3＝10 14×7＋2＝100 142×7＋6＝1000 1428×7＋4＝10000 14285×7＋5＝100000 142857×7＋1＝1000000 1428571×7＋3＝10000000 14285714×7＋2＝100000000 142857142×7＋6＝1000000000 1428571428×7＋4＝10000000000 14285714285×7＋5＝100000000000 142857142857×7＋1＝1000000000000

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下面是两个奇妙的数型：

987654321× 9＝ 8888888889 987654321×18＝17777777778 987654321×27＝26666666667 987654321×36＝35555555556 987654321×45＝44444444445 987654321×54＝53333333334 987654321×63＝62222222223 987654321×72＝71111111112 987654321×81＝80000000001

12345679× 9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝444444444 12345679×45＝555555555 12345679×54＝666666666 12345679×63＝777777777 12345679×72＝888888888 12345679×81＝999999999

利用最后一个数型的数量关系，可以表演一个戏法：

先写下12345679，然后，请对方挑一个他喜欢的数字。你心算出他选定的数与9的乘积，把它写出来。让对方把两个数乘起来。

很快，戏剧性的结果出现了，得数就是一连串他所喜欢的数字。比如，他选定的数字是4，你就写出36，结果，12345679×36＝444444444。

另一个奇妙的数型与37有关：

3×37＝111，而1＋1＋1＝3 6×37＝222，而2＋2＋2＝6 9×37＝333，而3＋3＋3＝9 12×37＝444，而4＋4＋4＝12 15×37＝555，而5＋5＋5＝15 18×37＝666，而6＋6＋6＝18

21×37＝777，而7＋7＋7＝21 24×37＝888，而8＋8＋8＝24 27×37＝999，而9＋9＋9＝27

再介绍一个奇妙的数型：

7×15873＝111111 14×15873＝222222 21×15873＝333333 28×15873＝444444 35×15873＝555555 42×15873＝666666 49×15873＝777777 56×15873＝888888 63×15873＝999999

另外，

一个三位数，乘7，再乘11，再乘13，只需将是这个三位数连写两遍； 一个四位数，乘73，再乘137，只需将这个四位数连写两遍； 一个五位数，乘11，再乘9091，只需将这个五位数连写两遍。

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数9还有一个神奇的性质：除去2和5以外，任意一个质数都能整除由一连串9组成的数。

用N表示除了2、5以外的质数。用n表示能被质数N整除的，由一串9组成的数中，数字9的个数。下面是100以内的质数和另外一些较大的质数，整除由一连串9组成的数的情况：

N n N n N n 3 1 47 46 269 268 7 6 53 13 271 5 11 2 59 58 4647 7 13 6 61 60 4651 4650 17 16 67 33 9091 10 19 18 71 35 9103 9102 23 22 73 8

29 28 79 13 31 15 83 41 37 3 89 44 41 5 97 96 43 21 101 4

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下面的算式中，9个数码全都出现：

12×483＝5796 42×138＝5796 18×297＝5346 27×198＝5346 39×186＝7254 48×159＝7632 28×157＝4396 4×1738＝6952 4×1963＝7852 下面算式的两边，9个数码全都出现：

51249876×3＝153749628 16583742×9＝149253678 32547891×6＝195287346

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用5去乘142857时，只要把7从最后一位移到最左边，即可得出乘积714285。

数3529411764705882乘上2再除以3，也只要把末位的2移到最左边去，即可得出正确结果。

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数码与9的魔术内容丰富，变化莫测，具有无穷的魅力，正等待着热爱它的人们去发掘，去享用！

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