2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

2009年全国高中数学联赛模拟试题答案

2009年清北学堂杯·全国高中数学联赛集训模拟试题

班级 姓名 得分

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.已知x (0,1),a,b为给定的正实数,则

ab

的最小值为( A )

x1 x

(A)

2

2 (C)a

b x2

2.已知集合A=

n

n

x 2n 1,且x 7m 1,m、n N

，则A中各元素的和为（ ）

6

(A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990

解：答案：C． A6=x64 x 128,且x 7m 1,m N，当m=10时，x=71． 当m=18时，x=127．∴A6中各元素的和为

(71 127) 9

891．

2

1 1

f(x) x cosx bsinx 6

a 12 3. 已知函数 （a、b为常数，且a 1），fg(llog81000) 8

，则f(lglg2)的值是（ ）

(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与a、b有关的数 解：答案：Ｂ．∵g(x)

1 1

cosx bsinx为奇函数，f(lglog81000) 8， x

2a 1

lglog81000 lglog210 lglg2．∴g(lglog81000) g( lglg2) g(lglg2)＝２，

∴f(lglg2)＝g(lglg2)＋６＝－２＋６＝４． 4. 满足y

x 3 x 2007的正整数数对（x，y）（ ）

（A） 只有一对（B）恰有有两对（C）至少有三对（D）不存在

解：（B） 设a x 3,b x 2007，其中

2

2

a，b均为自然数，则y=a+b，

b2 a2 (b a)(b a) 2004 22 3 167。因为b+a与b-a有相同的奇偶性，且 b a 1002 b a 334 a 500 a 164b+a>b-a,所以 或 解得 或

b a 2b a 6b 502b 170

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x2y2

5. 设F1，F2是椭圆 1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，

94

则三角形 PF1F2的面积等于(A)．

(A)4 (B)13 (C) 42 (D) 132

解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而2＋4＝(2)，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4． 6. 已知x,y,z R,且

2

2

2

123yz

1,则x 的最小值是( D ) xyz23

(A)5 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7.如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( )

(A)62π (B)63π (C)64π (D)65π

解析：设ABCD为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60由圆内接四边形对角互补得∠C=180º－∠A

连结BD，在△ABD与△BCD中,由余弦定理,得:

BD2 AB2 AD2 2AB ADcos A＝CB2 CD2 2CB CDcos C

2222

即25 60 2 25 60cos A＝39 52 2 39 52 cos A

解得cos∠A=0∴∠A=90º，故BD为圆的直径

22

BD 25 60 65∴圆的周长为65π ∴

xyzt8.已知整数x、y、z、t满足x y z t，且2 2 2 2 1314，则x y z t

等于 ．

解：答案：24．∵2x 2y 2z 2t 2x(1 2y x 2z x 2t x)，括号内为奇数， 又１３１４＝2 657，∴x 1且2

1

y x

2z x 2t x 656；由于656＝24 41，可得

y-x 4且2z y 2t y 40，∴y 5；同理可得z 8,t 10．∴x y z t＝２４．9.已知数列n项和，则

an 满足a1 2，a2 5，an 2 an 1 an (n N*)， Sn是数列 an 的前

的值是

S2008

解：答案：８．数列 an 的各项依次为２，５，３，－２，－５，－３，２，５，…，呈

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周期性变化，周期为６，因为2008 6＝334 4，∴S2008＝８．

x2y2

x 8 010. 已知椭圆点P在直线l

： 1的左右焦点分别为F1与F2，

164

PF1

上. 当 F1PF2取最大值时，比1.

PF

2

【解】 由平面几何知，要使 F1PF2最大，则过F1,F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于

A( 8 ，则 APF1 AF2P，即 APF1 AF2P，

即

PF1PF2

APAF2

（1） AP AF1 AF2 （2）

2

而F1(

，F2，

A( 8 ，从而有AF1

8，AF2 8 （1），（2

）得

PF1PF2

1。

c(当x 0时)，

f(x) 2

x ax b(当x 0时)，11. 设a、b、c为常数，函数 g(x)为一次函数，若

f(0)＝f(2)，f(1)＝1，且关于x的方程f(x)＝g(x)的根是x=1，x=3，x=-2，则c的值

123

为 ．

解：答案：-5．由f(0)＝f(2)，f(1)＝1求得a=2，b=2，又因为方程f(x)＝g(x)的根是x1=1，x2=3，x3=-2，∴直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故g(x)=2x-1， ∴另一交点为（-2，-5），∴c=-5．

S sin2 1 sin2 2 sin2 n0≤ i≤ 1 2 n n N*

12. 设,,.则的

最大值为 。 解： 9

4

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13. 46个国家派代表参加亚洲数学竞赛，比赛共4题，结果统计如下：第一题对235人；一、二都对59人；一、三都对29人；一、四都对15人。四题全对的3人，有一人只错了第4题。求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4人恰好只做对了第一题。 [解]设集合A={全部选手}，|A1 A3| 29,|A1 A4| 15,|A1 A2 A3 A4| 3。

|A1 A2 A3| | Ai| 3(1人只错第4题),|A1 A2 A4| 3,|A1 A3 A4| 3

i 4

4

|A1 A2 A3| |A1 A2 A4| |A1 A3 A4| | Ai| 6

i 4

4

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又看|A1 A2 A3 A4| |A1 A2 A3 A4| |A1 A2 A3 A4| |A2 A3 A4| ( |Ai|

i 144

1 i j 4

|Ai Aj|

4

1 i j k 4

|Ai Aj Ak| | Ai|)

i 1

4

( |Ai|

i 2

2 i j 4

|Ai Aj| | Ai|)

i 2

|A1| |A1 A2| |A1 A3| |A1 A4| |A1 A2 A3| |A1 A2 A4| |A1 A3 A4| | Ai| 235 59 29 15 6 138

i 14

可是|A1 A2 A3 A4| 139 46 3 1由抽屉原理知46个国家中必存在一个国家，至少4人只做对第一题。

14. MJ0002 如图,四边形ABCD为平行四边形, E

P

∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.

证明：如图,分别过点A、B作ED、EC

的平行线,得交点P,连PE.

BF 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有

＝图2

PA＝ED,PB＝EC.

显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 ∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE. 由∠BAF＝∠BCE,可知

∠BAF＝∠BPE.

有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE.

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.

x4 kx2 1

15. 设k是实数，f(x) 4对任意三个实数a,b,c存在一个以f(a),f(b),f(b)为

x x2 1

三边长的三角形，求k的取值范围 解：①f(x) 0恒成立

x4 kx2 1 0 令t x2

对称轴 t

k 2

k 0,

k 0，min 0 2 k 0

(k 1)x2

② 最小值两倍>最大值 f(x) 1 4 2

x x 1

k 1

f(x) 1

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k 2

(x) 1 x4 x2 1 3x2 mfax(x)故,1<k<4 k 1 fmin

3

k 21

(x) 1 fmin(x)故,- k 1k 1 fmax

32

1

结论：(-,4)

2

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