湖北省华中师大一附中2012届高三上学期期中检测数学（理）试题

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22~23题为选考题，其他题为必考题．考试用时120分钟．请把试题答案填写在答题卡相应的位置上．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．由直线y?x与曲线y?x2所围图形的面积S? （ ）

A．

5112 B． C． D． 66332．设a?log12，b?log13211，c?()0.3，则a，b，c大小关系为 （ ） 32A．a?c?b B．a?b?c C．b?a?c D． b?c?a 3．设集合M?{x|()121?x?1}，N?{x||x?1|?2}，则N?(eRM)? （ ）

A． (1,??) B．[1,3) C．[?1,1] D．[?1,3) 4．sin(?6??)?12?)的值为 （ ） ，则cos(??33

C．

A．

11 B．? 3322 3

D．?22 35．函数y?ln(cosx)（??2?x??2）的大致图像是 （ ）

6．函数f(x)?()?cosx在区间［0，2?］上的零点个数为 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．已知直线x?2及x?4与函数y?log2x的图像的交点分别为A、B，与函数y?lgx的图像的交点分别为C、D，则直线AB与CD （ ）

A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限

C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第三象限

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?log2(1?x) (x?0)，则f(2011)?

?f(x?1)?f(x?2) (x?0)A．1 B． ?1 C． log26 D．2 （ ）

??9．函数f(x)?sin(?x??)（??0,|?|?）的最小正周期是?，若其图像向左平移个单位后得到的

268．定义在R上的函数f(x)满足f(x)??函数为奇函数，则函数f(x)的图像 （ ）

A．关于点(?12,0)对称 5?对称 12B．关于点(5?,0)对称 12C．关于直线x?D．关于直线x??12对称

g(x)?ax?2(a?0)，10．已知函数f(x)?x2?2x，若?x1??[2,]1则实数a的取值范围是 （ ）

A．(0,] B．[,3]

，使得f(x1)?g(x2)，?x2?[?1,2]，

1212

C．(0,3] D．[3,??)

11．下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图像，其中一定错误的是 （ ）

12．已知函数f(x)?21?，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数g(x)?[f(x)]?[f(?x)]的值x2?12B． {1,0,?1} C．{0,?1} D．{0}

x域为 （ ）

A．{0,?2}

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第

23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若函数f(x)?mx?x?5在[?2,??)上是增函数，则实数m的取值范围是 ．

2?321x?2sin2x（?x??）的最小值是 ．

2433xx4xy2215．若不等式(?y)?(?y)?k对任意正实数x、y恒成立，则实数k的取值范围是 ．

993sinx16．已知函数f(x)?．

x3（Ⅰ）下列三种说法：①f(x)是偶函数；②f(x)?1；③当x?? 时，f(x)取得极小值. 其中正确

214．函数f(x)?3sin的说法有____________；（写出所有正确说法的序号）

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（Ⅱ）满足f(n?n??)?f(?)的正整数n的最小值为___________. 666

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45?方向，此人向北偏西75?方向前进30km到达D处，看到A在他的北偏东45?方向，B在北偏东75?方向，试求这两座建筑物之间的距离．

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）设a、b、c为正数，且a?b?c?6，求证：a?1?b?2?c?3?6；

an?bna?bn?() ． （Ⅱ）设a、b为正数，n?N，求证：

22

19．（本小题满分12分）

某城市计划在如图所示的空地ABCD上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，宣传该城市未来十年计划、目标等相关政策．已知四边形ABCD是边长为30米的正方形，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9米，3米，且MN:NE?16:9，线段MN必过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设AN?x米，液晶广告屏幕MNEF的面积为S平方米． （Ⅰ）求S关于x的函数关系式及其定义域；

（Ⅱ）当x为何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

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20．（本小题满分12分）

12x?ax?b，用max{a,b}表示a、b中的较大者，若2f(x)?max{f1(x),f2(x)}，且f(0)?6，f(?4)?4． （Ⅰ）求实数a、b的值及函数f(x)的解析式；

1（Ⅱ）已知m?(1,2)，若x?[,m]时，不等式f(2x?4)?2x恒成立，求m的最大值．

2已知函数f1(x)?x2?ax?b?2，f2(x)? 21．（本小题满分12分）

2已知二次函数f(x)?ax?bx?1及函数g(x)?ln(ex)，函数F(x)?f(x)?g(x)在x?1处取得极值． （Ⅰ）求a、b所满足的关系式；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得对（Ⅰ）中任意的实数a，直线y?kx与函数f(x)在x?[1,2]上的图像恒有公共点？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AB是?O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是?O的割线，过点G作AB的垂线，分别交AC、AD延长线于点E、F，过点G作?O的切线，切点为H． （Ⅰ）证明：C、D、F、E四点共圆； （Ⅱ）若GH?2，求GE?GF的值．

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23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??x?tcos? ，在极坐标系中（与(t为参数,?为倾斜角）y?2?tsin??直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴），圆C的方程为

??4sin(???3（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l与与圆C交于点A、B，求弦AB的中点P的轨迹方程．

)．

华中师大一附中2011—2012学年度上学期高三期中检测

数学（理科）试题参考答案 题号 答案 13．[0,]

4

1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 C 10 D 11 C 12 C 1（Ⅰ）①② ；（Ⅱ）9 14．3?1 15．[2,??) 16．

在?ADC中，由正弦定理得：AC?DCsin?ADC30sin60???35， ……8分

sin?DACsin45? 第 5 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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在?ABC中，由余弦定理得：

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?(35)2?(10)2?2?35?10?cos45??25?AB?5 ………11分

答：这两座建筑物之间的距离为5km． ……………12分 18．（本小题满分12分） 证明: （Ⅰ）?a、b、c为正数，且a?b?c?6，由柯西不等式有：

a?1?b?2?c?3?(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2 ?(1?1?1)(a?1?b?2?a?3)?3?12?6，

当且仅当??a?b?c?6 ，即a?3，b?2，c?1时等号成立，

a?1?b?2?c?3??a?1?b?2?c?3?6． ……………6分

ak?bka?bk?()，则当n?k?1时， ②假设当n?k(k?N)时不等式成立，即

22ak?1?bk?1ak?bkak?1?bk?1a?bkak?1?bk?1?a、b是正数，???k?()?k，

22a?bk2a?bkak?1?bk?1a?b2(ak?1?bk?1)?(a?b)(ak?bk)ak?1?bk?1?akb?abk ?k???kkkkka?b22(a?b)2(a?b)ak?1?bk?1a?b(a?b)(ak?bk)?， ??0， ?ka?bk22(ak?bk)ak?1?bk?1a?bkak?1?bk?1a?bk?1??()?k?()

22a?bk2所以当n?k?1时不等式也成立，

an?bna?bn?()成立． ……………12分 综合①②得当a、b为正数，n?N时，

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?a、b是正数?2(an?1?bn?1)?(an?1?bn?1?abn?anb)?(a?b)(an?bn)?0，

?f(n?1)?1，又?f(n)?0，?f(n?1)?f(n)，?n?N时，f(n)?f(0)?1， f(n)an?bna?bn?()成立． 即当a、b为正数，n?N时，

2219．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意在?AMN中，

9MP3NP93?,??1， ，??xMNAMMNxAM?AM?3x ……………2分 x?92229x2， ……………3分 ?MN=AM?AN?x?2(x?9)?0?AM?30， 0?x?30，?10?x?30， ……………5分

929x2?S?[x?]，其定义域为[10,30]． ……………6分 216(x?9)929x2（Ⅱ）设S?f(x)?[x?](10?x?30)，则

16(x?9)2918x(x?9)2?9x2?2(x?9)92x[(x?9)3?81], ………8分 f?(x)?[2x?]??4316(x?9)16(x?9)令f?(x)?0得：x?9?333， ……………10分

?10?x?9?333时，f?(x)?0；9?333?x?30时，f?(x)?0， ?x?9?333时，S取得最小值，

答：当x?9?333米时，液晶广告屏幕的面积最小． ……………12分

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?x2?4x?4, x??2或x?2?． ……………6分 ?f(x)??12?x?4x?6, ?2?x?2 ?2?(x?2)2, x??2或x?2 ?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)??1， 2?(x?4)?2, ?2?x?2 ?2解法一：

1?1?m?2，x?[,m]，??3?2x?4?2m?4?0?2， ……8分

2122当x?[,1]时，2x?4?[?3,?2]，f(2x?4)?(2x?4?2)?4x?8x?4，

25911?f(2x?4)?2x?4x2?10x?4?4(x?)2??4??10??4?0恒成立，

44421即x?[,1]时，f(2x?4)?2x恒成立， ……………10分

212当x?(1,m]时，2x?4?(?2,2m?4]?(?2,2)，f(2x?4)?(2x?4?4)?2

215?2x2?2，?f(2x?4)?2x?2x2?2x?2?2(x?)2?，

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要使f(2x?4)?2x对x?(1,m]恒成立，则须2m?2m?2?0，即1?51?5 ?m?22?1?m?2，?1?m?1?51?5，?m的最大值为． ……………12分

22解法二：?1?m?2，??2?2m?4?0?2，

1?x?[,m]时，f(2x?4)?2x恒成立，?f(2m?4)?2m，

211?51?5?(2m?4?4)2?2?2m，可得：m2?m?1?0，?， …9分 ?m?22211?5，则x?[,m]时，

22?(2x?4?2)2?2x,?3?2x?4??2 ? f(2x?4)?2x??12?(2x?4?4)?2?2x,?2?2x?4?5?3?211?4(x?)(x?2),?x?1 ?22? ???2(x2?x?1),1?x?1?5??21?5 恒有f(2x?4)?2x?0，?m的最大值为． ……………12分

2取m?

（Ⅱ）由题意得方程kx?ax?(1?2a)x?1在x?[1,2]时总有解，所以

2ax2?(1?2a)x?11k??ax??1?2a在x?[1,2]时总有解， ……………6分

xx11?1?2a，则h?(x)?a?2,x?[1,2]， ……………7分 xx1111①当a?且a?0，a??时，h?(x)?a?2?0，h(x)?ax??1?2a在x?[1,2]时单调递减，

42xx33?h(x)min?h(2)?，h(x)max?h(1)?2?a，?k?[,2?a]； …8分

221111)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，②当?a?1时，令h?(x)?a?2?0得：x?，?x?[1,4xaa1x?(,2]时，h?(x)?0，h(x)单调递增，

a设h(x)?ax??h(x)min?h(31)?2a?1?2a，h(x)max?max{h(1),h(2)}?max{,2?a}，

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113?a?，则2?a?，?k?[2a?1?2a,2?a]， 422133若?a?1，则2?a?，?k?[2a?1?2a,]； ………9分 22211③当a?1时，h?(x)?a?2?0，h(x)?ax??1?2a在x?[1,2]时单调递增，

xx33?h(x)min?h(1)?2?a，h(x)max?h(2)?，?k?[2?a,]； ……………10分

223111设集合A?{k|?k?2?a,a?}，B?{k|2a?1?2a?k?2?a,?a?}，

2442313C?{k|2a?1?2a?k?,?a?1}，D?{k|2?a?k?,a?1}，

222所以要使直线y?kx与函数f(x)在x?[1,2]上的图像恒有公共点，则实数k的取值范围为：

33A?B?C?D?{}，所以存在实数k满足题意，其取值范围为{}． …12分

22（注：直接讨论直线y?kx与抛物线y?ax2?(1?2a)x?1的位置关系求解，可参考上述评分标准评分）

若

22．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由??4sin(??

?3)得：

?cos?sin)?2sin??23cos?， ……………2分

33即：?2?2?sin??23?cos?，由x??cos?，y??sin?得：

??4(sin?cos??x2?y2?2y?23x，因而圆C的直角坐标方程为：(x?3)2?(y?1)2?4……4分 （Ⅱ）设点P(x,y)，点A、B、P对应的参数分别为t1、t2、t，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐

标方程得：(tcos??3)2?(1?tsin?)2?4， 整理得：t2?(23cos??2sin?)t?0，?t?t1?t2??(3cos??sin?)，……6分 2?3132cos2??sin2?? ?x?tcos???3cos??sin?cos????222， ???y?2?tsin??2?3sin?cos??sin2???3sin2??1cos2??3??222??3x??cos(2??)??62，消去参数?得：(x?3)2?(y?3)2?1， ……8分 即??22?y??sin(2???)?3 62又因为直线l和圆C交于A、B两点，所以??(23cos??2sin?)2?0， ?? 第 10 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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2?tan???3，???[0,?)，????，?x?0，y?2，

3323所以弦AB的中点P的轨迹方程为(x?． …10分 )?(y?)2?1（去掉点(0,2)）

22（注：把直线方程转化为普通方程，利用解析几何中求轨迹方程的方法求解，可参考上述评分标准评分）

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2?tan???3，???[0,?)，????，?x?0，y?2，

3323所以弦AB的中点P的轨迹方程为(x?． …10分 )?(y?)2?1（去掉点(0,2)）

22（注：把直线方程转化为普通方程，利用解析几何中求轨迹方程的方法求解，可参考上述评分标准评分）

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