讲义(1)平面直角坐标系知识点介绍

《平面直角坐标系》

1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

要求：画平面直角坐标系时，轴x、y轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

2．各个象限内点的特征:

第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0； 第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0； 第三象限：（－，－）点P（x，y），则

第四象限：（＋，－）点P（x，y），则

四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）

在x轴上：（x，0）点P（x，y），则y＝0；

在x轴的正半轴：（＋，0）点P（x，y），则x＞0，y＝0； 在x轴的负半轴：（－，0）点P（x，y），则x＜0，y＝0； 在y轴上：（0，y）点P（x，y），则x＝0；

在y轴的正半轴：（0，＋）点P（x，y），则x＝0，y＞0；

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在y轴的负半轴：（0，－）点P（x，y），则x＝0，y＜0； 坐标原点：（0，0）点P（x， y），则x＝0，y＝0；

例1：已知点M(m2?4m?11,n?5)，则点M在平面直角坐标系中的什么位置？

3. 点到坐标轴的距离：

点P（x，y）到x轴的距离为|y|， 到y轴的距离为|x|。 到坐标原点的距离为

x2?y2（由勾股定理可得）

例2：已知：A(4,3)，B(1,1)，C(3,0)，求三角形ABC的面积.

例3：已知：A(1?2a,4a?5)，且点A到两坐标轴的距离相等，求A点坐标． 4．中点与两点间的距离： 已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)

22两点AB距离为：AB＝(x1?x2)?(y1?y2)

中点P的坐标为：(x1?x2y1?y2,) 22第 2 页 共 7 页

例4：已知：A(4,3)，B(1,1)，C(3,0)，求三角形ABC的面积.

例题5：如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ________

5．点的对称：

点P(m，n)，关于x轴的对称点坐标是(m，－n)， 关于y轴的对称点坐标是(－m，n) 关于原点的对称点坐标是(－m，－n)

例题6：点A（－1，2）关于y轴的对称点坐标是 ；点A关于原点的对称点的坐标是 。点A关于x轴对称的点的坐标为

例7：在平面直角坐标系中，已知：A(1,2)，B(4,4),在x轴上确定点C，使得

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AC?BC最小．

6．平行线：

平行于x轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ，P(m,n)Q(p,n) 平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ，P(m,n)Q(m,p) 例8：已知点A(m?5,1)，点B(4,m?1)，且直线AB//y轴，则m的值为多少？ 7．象限角的平分线：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：P(m,m) 点P(a，b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b， a) 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：P(m,?m) 点P(a，b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(－b，－a)

例9：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出点P的位置.

例10：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中表示出点P的位置.

例11：在平面直角坐标系中，已知点P(x,y)横、纵坐标满足y?|x?1|，在平面直角坐标系中表示出点P的位置.

8．点的平移：

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在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（ x－a，y）； 将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 平移口诀：“左＋右－、上＋下－”

例题12：将点P（－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，y），则xy＝___________

练习试题

1. 下列各点中，在第二象限的点是【 】

A. （2，3） B. （2，－ 3） C. （－2，－3） D. （－2，3） 2. 将点A（－4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是【 】 A. （－1，2） B. （－1，5） C. （－4，－1） D. （－4，5） 3. 如果点M（a－1，a+1）在x轴上，则a的值为【 】 A. a＝1 B. a＝－1 C. a>0 D. a的值不能确定

4. 点P的横坐标是－3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是【 】 A. （5，－3）或（－5，－3） B. （－3，5）或（－3，－5） C. （－3，5） D. （－3，－5）

5. 若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在【 】 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为【 】

A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （－1，－1） 7. 点M（a，a－1）不可能在【 】

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 到x轴的距离等于2的点组成的图形是【 】 A. 过点（0，2）且与x轴平行的直线 B. 过点（2，0）且与y轴平行的直线

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