一级倒立摆控制的极点配置方法

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一级倒立摆控制的极点配置方法

摘要

倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。

本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。实现了倒立摆控制系统的仿真。仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。

关键词: 倒立摆，数学建模，极点配置

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THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLE

INVERTED PENDULUM

Abstract

Inverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot.

Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of \ During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit.

Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement

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目 录

摘要 ................................................................. I Abstract ............................................................ II 1绪论 ............................................................... 1 1.1倒立摆系统简介 ..................................................................................................... 1 1.2倒立摆的控制规律 ................................................................................................. 2 1.3对倒立摆系统研究的意义 ..................................................................................... 3 1.4倒立摆的发展状况 ................................................................................................. 4 1.5论文的主要工作 ..................................................................................................... 5 2直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模 ................................. 7 2.1微分方程的推导 ..................................................................................................... 7 3状态空间极点配置 .................................................. 10 3.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式 ............................................................... 10 3.1.1状态反馈 ......................................................................................................... 10 3.1.2输出反馈 ......................................................................................................... 11 3.2关于两种反馈的讨论 ........................................................................................... 12 3.3状态反馈的优越性 ............................................................................................... 14 3.4极点配置的提出 ................................................................................................... 14 3.4.1期望极点的选择 ............................................................................................. 14 3.4.2极点配置需要注意的问题 ............................................................................. 15 3.5理论分析 ............................................................................................................... 15 3.6极点配置的方法问题 ........................................................................................... 16 3.7根据极点配置法确定反馈系数 ........................................................................... 18 4一级倒立摆系统模块仿真 ............................................ 21 结 论 .............................................................. 23 致 谢 .............................................................. 24 参考文献 ............................................................ 25 附录A (外文文献) ................................................... 26 附录B (中文翻译) ................................................... 33

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1绪论

1.1倒立摆系统简介

倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。

图1.1一级倒立摆装置简图

由图1.1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。控制方法也是多

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种，可以通过模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。 1.2倒立摆的控制规律

当前，倒立摆的控制规律可总结如下:

1、Pm控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是设计出PID控制器实现其控制。

2、状态反馈H?控制[1]，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和Kalnian滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。

3、利用云模型[2-3]实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。

4、神经网络控制，已经得到证明，神经网缴（NeuralN etwork NN)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性;也可将Q学习算法[4]和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。

5、遗传算法(Genetic Algorithms, GA)，高晓智[a]在Michine的倒立摆控制Boxes方案的基础上，利用GA对每个BOX中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题。

6、自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。

7、模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。

8、使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。

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9、采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA学习的NN控制器兼有NN的广泛映射能力和GA快速收敛以及增强式学习等性能。 1.3对倒立摆系统研究的意义

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的典型物理模型。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有机的终合应用。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高新技术的研究具有重要的实践意义。目前，对倒立摆的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控领域研究的热门课题之一。

在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以及跟踪问题等。倒立摆的典型性在于作为一个装置，成本低廉，结构简单，形象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制;作为一个被控对象，又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强祸合的快速性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。

对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都

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和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫早发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属这类问题。因此付倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。 1.4倒立摆的发展状况

倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器。国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的称定。随着徽机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的租定。此外，由于智能控制理论的兴起，相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定。

早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。

直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广范的研究[5-7]，虽然在许多方面都取得了较满意的效果，但其控制方法过多的依赖于线性化后的数学模型，故对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。

在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能力，并且用模糊控制理论控制一级倒立摆取得了非常满意的效果，由于模糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用适合的方法处理二级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制二级倒立摆的中心问题之一。清华大学的张乃尧先生等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的控制器。当控制器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数指数增加，不仅使模糊控制器的设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。张乃尧先生

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对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好的解决了上述问题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对其他模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。作者拟通过传统的控布鲤论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优和重复试验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数;采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻。

神经网络控制倒立摆的研究，自90年代初开始得以快速的发展。而早在1963年，Widrow和Smith就开始将神经网络应用于倒摆小车系统的控制。神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨大的潜力。今天有许多学者正致力于引用神经网络控制一级或二级倒立摆的研究。另外还有许多其他的控制方法用于倒立摆的控制。

近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等都存在有类似于倒摆的稳定控制问题.倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆系统。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，倒摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)。早在60年代，人们就开始了对倒立摆系统控制的研究。1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来。人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力。因而受到了普遍的重视。 1.5论文的主要工作

1、第一章简介倒立摆,对其结构、发展、控制规律和意义进行阐述。 2、为了对被控对象有一个较充分的认识，第二章应用牛顿力学中的第二定理建立了一级倒立摆系统的数学模型，并在平衡点进行了系统线性化的处理，得到了系统的线性化模型。

3、目前己有多种控制方法实现了一级倒立摆的稳定控制，第三章介绍状态反馈极点配置的控制方法，首先根据建立的状态方程设计状态反馈控制器，

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然后根据状态反馈控制器将系统的极点配置进行介绍，分析，并给出极点配置的方法和反馈系数的确定过程。

4、第四章进行仿真实验，根据仿真获得的结果进行极点的最优化选择。极点距离原点的距离越远系统的控制速度越快。

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2 直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模

系统建模可分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系列的输入—输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入—状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

2.1微分方程的推导

图2.1

我们不妨做以下假设

M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

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I 摆杆的惯量 F 加在小车上的力 X 小车的位置

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直

向下）

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

??F?bx??N M?x由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

d2N?m2(x?lsin? )dt

??cos??ml??2sin? ??ml?x即: N?m?把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

??cos??ml??sin??F (1.1) ??bx??ml?x(M?m)?为力推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

d2P?mg?m2(lcos?)

dt??sin??ml??cos? 即： P?mg ??ml?力矩平衡方程如下：

?? ?plsin??Nlcos??I?注意：此方程中力矩的方向， ?????,cos???cos?,sin???sin?, 故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

???mglsin???ml??cos? （1.2） (I?ml2)?x之间的夹角)，假设?与1设?????(?是摆杆与垂直向上方向（单位是弧度）相比很小，即?<<1，即可以进行近似处理：

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cos???1, sin????,(d?2)?0. dt用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

2?????mgl??ml?x?(I?ml)? (1.3) ??????ml??ux?(M?m)?以上式子就是建立的数学模型方程式。

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3 状态空间极点配置

经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关于被控对象的较精确模型。现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足工程师提出的瞬态性能指标。前面我们已经得到了倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。 3.1状态反馈及输出反馈的两种基本形式

用状态向量的线性反馈构成的闭环系统,成为状态反馈系统.状态反馈使用了系统状态变量的线性组合，作为反馈变量来配置系统的极点，将系统的闭环极点转移到期望的位置上，从而满足系统的性能要求。根据选用状态变量的多少，可分为全状态反馈和部分状态反馈。

全状态反馈使用了全部状态变量的线性组合来构成反馈系统，而部分状态反馈只是使用一部分状态的线性组合来构成反馈系统。

控制系统最基本的形式是由受控系统和反馈控制规律所构成的反馈系统。在古典控制理论中，习惯于采用输出反馈；而在现代控制理论中，通常采用状态反馈。这就构成了反馈的两种基本形式。 3.1.1状态反馈

图3.1 状态反馈方块图

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对受控系统?0?(A,B,C,D),用状态向量的线性反馈V*?KX构成的闭环系统，称为状态反馈系统。

受控系统?0?(A,B,C,D)的方程为

??AX?BV?X ?y?CX?DV?线性反馈规律为

V?u?KX

因此，通过状态反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为

??(A?BK)X?Bu?X （3.1） ??y?(C?DK)X?Du一般D=0，式（3.1）可简化为

??(A?BK)X?Bu?X （3.2） ?y?CX?常表示为?k?(A?BK,B,C)。其传递函数矩阵为

W（?C(sI?A?BK)?1B （3.3）Ks）3.1.2输出反馈

对受控系统?0?(A,B,C,D),用输出向量的线性反馈V*?Hy?HCX构成的闭环控制系统，称为输出反馈系统。

图3.2 输出反馈方块图

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当D=0时，线性反馈规律为

??AX?B(u?Hy) X所以通过输出反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为

??(A?BHC)X?Bu?X （3.4） ?y?CX?常表示为?K?((A?BHC),B,C)。而其传递函数矩阵为

WH?C(sI?A?BHC)?1B （3.5）

可以导出闭环传递函数矩阵WH(s)和开环传递函数矩阵W0(s)之间的关系为

WH(s)?W0(s)[I?HW0(s)]?1 （3.6）

3.2关于两种反馈的讨论

1、两种形式反馈的重要特点是，反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。

2、两种反馈闭环系统均能保持反馈引入前的能控性，而对于反馈闭环系统的能观测性则不然。对于状态反馈形式，闭环以后不一定保持原系统的能观测性；对于反馈形式，闭环以后必定能保持原系统的能观测性。

3、在工程实现的某些方面，两种反馈形式常常遇到一定的困难，因此，在某些情况下还需将它们推广成一般的形式。

实现状态反馈的一个基本前提是，状态变量x1,x2,?,xn必须是物理上可量测的。当状态变量不可量测时，设法由输出y和控制V把系统的状态X构造出来，即采用观测器来获得状态的观测量，以实现状态反馈。这样便得到此基本形式更一般的方块图，如图3.3所示。

图3.3中，X为X的重构值，两者不恒等，但是渐近相等的，观测器也是一个线性系统，其阶数一般小于受控系统的阶数。所以带观测器的状态反馈系统，其阶数等于受控系统和观测器阶数的和，即受控系统的状态变量和观测器的状态变量组成了闭环系统的状态变量。

?

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图3. 3 带观测器的状态反馈系统

输出反馈虽然在获得信息上并不存在困难，但可以证明输出反馈的基本形式不能满足任意给定的动态性能指标要求，包括使系统稳定的必要性。为此，通常引入补偿器，即古典控制理论中广泛采用的校正网络，以克服上述局限性。

图3. 4 带补偿器的输出反馈系统

图3.4为输出反馈的更一般形式。同样，一般补偿器的阶数将低于受控系统的阶数，所以闭环系统的阶数为两者阶数之和，即闭环系统的状态变量是由受控系统的状态变量和补偿器的状态变量组成的。

4、将两种反馈进行比较不难得出，输出反馈的一个突出优点的工程上构成方便。但事实证明，状态反馈与输出反馈比较，具有更好的特性，而且随着观测器理论和卡尔曼理论的发展，状态反馈的物理实现问题也已基本解决，因此总体上说，状态反馈有更大的适应性。当然对具体系统而言，要从实际情况出发，进行具体分析与选择。

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3.3状态反馈的优越性

在状态空间中，状态反馈的优越性在于可将系统的状态和输入综和起来组成系统的控制信号，从而可以完全确定系统的未来行为，得到较好的控制效果。在工程上，状态反馈可应用现代控制理论，设计各种最优控制系统，如最短时间控制系统、最小能量控制系统、线性二次型最优控制系统。对于有随机扰动的系统，可通过对状态的估计，设计最优控制系统，同时可对变化的系统模型进行自适应控制。

3.4极点配置的提出

动力学的各种特性或各种品质指标在很大程度上是由系统的极点决定的,因此系统综合指标的形式之一可以取为S平面上给出的一组所希望的极点。所谓极点配置问题，就是通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统（A?BK）的特征根，恰好处于所希望的一组极点的位置上。因为希望的极点具有任意性，所以极点的配置也应当做到具有任意性。事实上，古典控制理论中采用的综合法，无论是根轨迹法还是频率法，本质上也是一种极点配置问题。

从极点配置问题的定义可知，对希望极点的选取，实际上是确定综合目标的问题，也是首先要考虑的复杂的问题。 3.4.1期望极点的选择

选取极点时所遵循的原则如下：

对于一个n维控制系统，可以而且必须给定n个希望的极点。

所希望的极点可以为实数或复数，但是当以复数形式给出时，必须共轭复数对形式出现，即物理上是可实现的。

选取所希望极点的位置，需要研究它们对系统品质的影响，以及它们与零点分布状况的关系，从工程实际的角度加以选取。

在所希望极点的选取中，还必须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求，即应当具有较强的抑制干扰的能力，以及较低的对系统参数变动的灵敏度。

在综合时，需要解决极点配置的理论问题与方法问题。

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3.4.2极点配置需要注意的问题

使用极点配置方法时，要注意的问题： （1）系统完全状态可控是求解的充分必要条件。

（2）应把闭环系统的期望特性转化为Z平面上的极点位置。

（3）理论上，选择反馈增益可使系统有任意快的时间响应。加大反馈增益可提 高系统的频带，加快系统的响应。但过大的反馈增益，在有一定误差信号时，导致控制信号的无限增大，这在工程上无法实现。因而必须考虑反馈增益的物理实现可能性。

（4）当系统的阶次较高时，可用Ackerman公式，通过计算机求解。 3.5理论分析

?,?解代数方程,得到解如下: x方程组(1.3)对?ml(M?m)gml???????u22?I(M?m)?MmlI(M?m)?Mml?? m2l2gI?ml2?????x??u22?I(M?m)?MmlI(M?m)?Mml?以上式是两元联立二阶常微分方程,如果取状态变量为:

?x1?????x?????2x??????，

?x3??x????????x4???x???即摆干的角度和速度以及小车的位置和速度四个状态变量．则系统的状态方程为：

?1?x2?x?mgl(M?m)?ml?x?2?x?u1I(M?m)?Mml2I(M?m)?Mml2? ??x?x4?3??m2l2gI?ml2?4?x?u?x212I(M?m)?MmlI(M?m)?Mml?将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程

??Ax?Bu x

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?是四维的状态向量，而系统矩阵Ａ和输入矩阵Ｂ为下列形式 x?0?a系统矩阵A???0??b10000000?0?0??c?0??输入矩阵B???

?0?1????0??d?其中参数 a,b,c,d为下列表达式确定的常数。

a?ml(M?m)gml c??I(M?m)?Mml2I(M?m)?Mm2lm2l2gI?ml2 d? b??I(M?m)?Mml2I(M?m)?Mm2l选择摆杆的倾斜角度?和小车的水平位置x作为倒立摆杆/小车系统的输出，则输出方程为

?x1???????1000??x2?y???????x??Cx x0010????3???x4?所谓状态反馈，就是用状态向量与一个系统矩阵的积作为控制向量

u?Kx

控制力u是一个加给小车水平方向的力u，状态变量有四个，所以反馈系数是一个1?4阶的矩阵

K?[K1K2K3K4]

则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数k1,k2,k3,k4乘积之和的形式表示

u?k1x1?k2x2?k3x3?k4x4

???k??k??kx?kx12343.6极点配置的方法问题

综合指标为：

输出超调量 ?p?5%；超调时间 tp?0.5s； 系统频宽 ?b?10； 跟

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踪误差 ep?0（对阶跃），ev?0.2(对速度)。 1. 确定希望的极点

显然,希望的极点n=3,选其中一对为主导极点s1和s2,另一个为远极点,并且认为系统的性能主要是由主导极点决定的,远极点只有微小的影响。

根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。

?p?e???1??2

tp???n1??2

?b??n*(1?2?2?2?4?2?4?4)

式中?和?n为此二阶系统的阻尼比和自振频率。 可以导出：

① 由?p?e???1??2?5%,可得???1??2?3.14,从而有??12?0.707，于是

选??0.707.

② 由tp?0.5s得

??n1???n?2???n12?0.5

?0.5?0.707?9

③ 由?b?10和已选的??样便定出了主导极点

12得?n?10,和②的结果比较可取?n?10。这

s1,2????n?j?n1??2

远极点应选择得使它和原点的距离远大于5|s1|，现取|s3|=10|s1

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因此确定的希望极点为

?s1??7.07?j7.07??s2??7.07?j7.07?s,s??10034?

注：其中主导极点决定系统的性能,远极点只有微小的影响，根据系统的综合指标关系式可以先定出主导极点，远极点应选择得使它和原点的距离远大于5倍的主极点与原点的距离。

当将特征根指定为下列两组数时

?1,?2,?3,?4??7.07?7.07j,?100

极点配置法是以线性系统为对象设计状态反馈控制器，使闭坏控制系统的特征根（极点）分布在指定位置的控制器设计方法。 3.7根据极点配置法确定反馈系数

系统方程为

2?????mgl??ml?x?(I?ml)? ???????(M?m)x?ml??u假定倒立摆杆/小车系统的参数如下：

摆干的质量m=0.07kg 长 度2l=0.4m

ml2转动惯量 I?

3小车的质量M=1.32kg 重力加速度g=10m/s2

得到系统矩阵A和输入矩阵B为

?0?38.1825A???0???0.3847100000000?0????2.803?70?? B??? ??1?0???0?0.7477??矩阵A的特征值是方程Is?A?0的根：

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s?1???38.1825sIs?A???00???0.38470因此，该系统的特征根s1~s4分别为

00?00???0 s?1??0s?s1,s2,s3,s4?0,0,6.18,?6.18

特征根之一s3的实部是正值，所以该系统是不稳定的，由此可知：u?0时，倒立摆系统是不稳定的系统。对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直且使小车处于基准位置，即达到稳定状态。

在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的系统的特征根，以矩阵

(A?BK)的特征值给出。系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的

左半平面。

矩阵(A?BK)特征值是方程式Is?(A?BK)?0的根：

?s?0??0??00s0000s00??0?a0????0??0??s??b100000000??0??c?0???????k11??0????0??d?k2k3k4??0这是s的四次代数方程式，可表示为

s4?(ck2?dk4)s3?(a?ck1?dk3)s2?(ad?bc)k4s?(ad?bc)k3?0 适当选择反馈系数k1,k2,k3,k4,系数的特征值可以取得所希望的值。 把四个特征根?1,?2,?3,?4设为四次代数方程式的根，则有

s4?(?1??2??3??4)s3?(?1?2??2?3??3?4??4?1??1?3???4)s2?(?1?2?3??2?3?4??1?3?4??4?1?2)s??1?2?3?4?0

比较两式有下列联立方程式

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ck2?dk4??1??2??3??4?(a?ck1?dk3)??1?2??2?3??3?4??4?1??1?3??2?4?(ad?bc)k4??1?2?3??2?3?4??1?3?4??4?1?2(ad?bc)k3??1?2?3?4根据给出的实数和公轭复数的?1,?2,?3,?4，则联立方程式的右边全部为实数。

据此可求解出实数k1,k2,k3,k4.

利用方程式可列出关于k1,k2,k3,k4的方程组：

?2.8037k2?0.7477k4??6?38.1925?2.8037k1?0.7477k3?18?27.4766k4??3027.4766k3?25求解后得

k1?20.2846k2?2.4316

k3?0.9099k4?1.0918即施加在小车水平方向的控制力u：

u?20.2846??2.4316??0.9099x?1.0918x?N?

上述给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡

?,x及x?都可稳定在零的状态。这就意味着即使在初状态，即所有的状态变量?,?始状态或因存在外扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置。

相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值，一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但响应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。

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4 一级倒立摆系统模块仿真

1）用鼠标双击计算机桌面上的Matlab图标，启动Matlab，在指令区运行指令simulink或双击Matlab的工具栏中图标（Simulink Library Browser）均可启动Simulink模块库浏览器：然后左击浏览器的工具栏中图表（create a new mode），新建一个simulink模型窗。

2）从Simulink模块库浏览器的菜单Simulink的子菜单Signals&Systems下选Subsystem拖到Simulink模型窗的编辑窗口中，将所有的模块连接起来。

3）最后利用Simulink的Mask功能把子系统进行封装，得到一级倒立摆系统模块。

图4.1 SIMULINK仿真模型

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图4.2小车位移的仿真曲线

图4.3小车角度的仿真曲线

仿真结果分析

从仿真曲线上来看，控制量都在合理范围，系统基本在两秒回到了平衡位置。仿真证明：状态反馈极点配置方法可以稳定一级倒立摆系统，而且响应速度快，可以用于倒立摆的实物系统控制。

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结 论

通过毕业设计的学习，我们可以看到，运用状态反馈极点配置的方法控制一级倒立摆是完全可行的。它可以将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统，将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足工程师提出的瞬态性能指标。设计的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态

?,x及x?都可稳定在零的状态。这的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变量?,?就意味着即使在初始状态或因存在外扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置。

相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值，一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但响应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。往往我们在满足系统要求的情况下，离原点尽量近一点。

运用状态反馈极点配置的方法控制一级倒立摆是一个很好的方法，简单易懂，运用方便，在很多方面都起到了很大的作用。

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致 谢

这次毕业设计圆满的结束了，在这次毕业设计中我学到了许多知识，受益匪浅，而在这个过程中，给我最大帮助的就是李小华老师和沈鹏老师，他们在百忙之中给我们上课，指导。他们不仅在学术上给我以启迪和帮助，而且还在治学作风上用他们的实际行动告诉我，知识来不得半点虚假，要脚踏实地得去做，才能有所收获。要不断探索，才能有新的成果。所以从他们身上，我不仅学到了知识还得到了做人的道理。我还要感谢我的父母，是他们给了我这次学习的机会，让我的梦想得以实现。另外，还有很多同学也在各个方面给予我支持，在这里我要向大家说声感谢。

最后让我再次感谢：李小华老师，我的父母和帮助过我的沈鹏，张德海，齐欣，刘永刚等同学。

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参考文献

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pendulum with dry friction. IEEE Control Systems Magazine[J], 1993, 13(4):44-50.

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nerworks[J].IEEE Control System Magazine, 1989, 9(3):31-37.

[3] 王建辉，杨大鹏，顾树生.带有自调整因子和积分校正环节的双环模糊控制

系统的研究[J].沈阳工业大学学报，1998, 20 (1):11-14. [4] 王耀南.智能控制系统[J].湖南:湖南大学出版社，1996.

[5] Bryson, AE., Luenberger, DGThe Synthesis of Regulator Logic Using

State-Varieble Control[A], Proceeding of the IEEE, 1970,58(11):1803-1811. [6] Mora S, Nishihara H, Furuta I, Control of unstable mechanical system control of

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observers to control of a double inverted pendulum[A]. Proc JACC Stanford，1972，857-865.

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附录A (外文文献)

Introduction to the Design and Simulation of Controlled Systems

There are two general approaches to developing controller designs - the classical method and the modern method. Some of the Case Studies in Section VI have already introduced the classical approach which includes PID controllers, lead-lag compensators, etc.. The classical design method relies on the root locus technique (Case Study C for example) and/or the various frequency response representations of LTI systems (Bode, Nyquist, and Nichols plots) to assist in the selection of the free variables introduced within the controller transfer function. The tuning of these control variables is usually performed via an educated or guided trial-and-error approach, and the creativity and experience of the designer plays an important role in the overall design process. The classical design method is usually restricted to single-input-single-output (SISO) systems.

Modern control theory employs a more formal mathematical approach for the design of control systems. Matrix methods are usually applied which allows the treatment of multiple-input-multiple-output (MIMO) systems. The objective of the design can often be stated precisely in quantitative terms in the form of a performance index, and the control variables are determined via application of a rigorous set of mathematical procedures. The trial-and-error aspect of the classical design method is considerably reduced and, in some cases, eliminated completely.

This section of notes introduces the subject of controller design using modern control methods. In particular, state feedback control, with and without a full state observer, is introduced and illustrated with some numerical examples. The idea of a simple classical proportional controller is also revisited and the combination of classical and modern control is used to help explain what is really happening with state control.

The development of these subjects is broken into two parts. The first challenge

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deals with the design of the control system. The root locus method is used to obtain the appropriate controller gain for the simple proportional controller and the pole placement method is used to obtain the gain matrix with the state control formulation (a similar method is used to obtain the observer gains). Once the design parameters are known, our focus then turns to addressing the actual simulation of the system with preset control parameters. In the simulation mode we address both linear and nonlinear systems (note that the controller design step is usually performed with a linear model of the system).

Finally, a sequence of Matlab examples is given for the so-called ‘inverted pendulum’ problem. This system is highly unstable and a robust control system is required for stable performance. Additionally, since the dynamics of the inverted pendulum is governed by a set of nonlinear equations, we can also explore the impact of using linear models to design a controller for a nonlinear system.

一 Design of Control Systems

A linear model of the plant or system of interest is usually used in the design of control systems. For linear time invariant (LTI) systems the state space formulation of the plant model is given by

where we have assumed that the output of the plant is not a direct function of the input (i.e.). This can also be represented in terms of transfer functions, or

A block diagram of the LTI model of the plant is shown in Fig. a

Figure a

Classical Proportional Control (SISO)

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As an example of classical control consider the simple closed loop system shown in Fig. b. For a SISO system, the plant transfer function, G(s), is simply the scalar representation of eqn. and this is embedded within the plant block in Fig. b. The feedback loop contains the sensor transfer function, H(s), and the controller block simply contains the scalar gain,rd is the setpoint or desired response of the closed loop system.

Figure b

State Feedback Control (SISO)

The primary disadvantage of the classical control strategy given above is that there is only a single free variable, that can be adjusted. However, for an Nth order system, there are N eigenvalues of the open loop state matrix or N poles of the open loop system transfer function given by

If the design goal for the controlled system is to move these N poles to more appropriate locations, it certainly makes sense that additional degrees of freedom (i.e. more free variables) should allow more freedom in placing the closed loop poles as desired. In particular, if there were N control variables for an Nth order system, we conceivably could arbitrarily place all the poles of the system in any desired location.

With this discussion in mind, instead of feeding back a single output variable, let’s feed back the full state vector,, multiplied by a matrix of gains,, where the s subscript refers to state feedback.is known as the state feedback gain matrix.

For the case of a SISO plant, the manipulated variable becomes

where the state feedback gain matrix is simply a row vector of length N, or

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Pole Placement

The easiest strategy for implementing state feedback control is via the so-called pole placement technique. The basic idea is to specify the desired location of all N poles in the closed loop system, and then determine the N elements of the state gain matrix to achieve these poles. If the system is fully state controllable, the equality of the closed loop characteristic equation and the characteristic equation formed from the specified pole locations gives a linearly independent system of N equations and N unknowns. Solution of this system of equations gives the required elements of the gain matrix.

For small systems the pole placement method can be implemented via hand calculation. The procedure (whether implemented by hand or in an automated fashion within a computer code) is as follows: 1. Check that the rank of the controllability matrix is N. 2. Specify the desired poles of the closed loop system,

.

3. With the desired poles given, one can develop the desired characteristic equation,

.

4. Finally one develops the characteristic equation for the closed loop system, which is given by, and equates the coefficients of like powers of s from the desired characteristic equation. This gives N equations for the N unknown elements of.

An illustration of this procedure for a low order system is given in Example 7.1. For higher order systems, one usually uses a different algorithm (see your textbook by Ogata) that can be automated within a more efficient overall computational scheme. In Matlab, for example, the place command is used to automatically determine the required feedback gain matrix using the pole placement

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method. A Matlab example that incorporates this example is given later in this section of notes (after we discuss the State Observer).

Time Domain Simulation of Controlled Systems

The previous subsection addressed the process of obtaining the proper controller design parameters using examples of both classical and state feedback control. The focus was on the time domain representation, where the eigenvalues of the closed loop state matrix determines the transient response of the closed loop system. The goal of the controller design problem is to choose the controller gains such that the dominant eigenvalues of the closed loop state matrix correspond to the desired pole locations.

Once the controller design parameters have been determined, the emphasis shifts towards simulation of the closed loop system. In the design mode, the plant model is usually a linear representation of the real system. However, in the simulation mode, one usually tries to simulate the plant dynamics as accurately as possible. This often requires the simulation of a time varying or nonlinear system.

In this subsection, we focus on the simulation problem assuming that the controller gains have already been determined. In keeping with the examples in the previous subsection, we also restrict the current analysis to SISO systems. The equations for the closed loop dynamics are written for both linear and nonlinear plant models. The plant models used in the subsequent development are:

State Feedback Control (with preset feedback and observer gains) A block diagram for state feedback control with a full state observer is given in Fig. 7.10. This diagram is very similar to that given in Fig. 7.6, except this model has an additional steady state gain block containing a normalizing gain, Nr. This gain is determined so that the steady state error vanishes.

Again, we can look at the simulation equations for this system for both linear and nonlinear plant models and preset controller gains (i.e. have known values). For this control scheme, the control law can be written as

The closed loop dynamics for this system contains both the actual plant states, and the estimated plant states. Thus, we have a total of 2N unknowns (N plant states

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and N estimated states). With a linear plant model, the fully coupled dynamics for this system are written as [given previously as eqns.

As before, if the plant simulation uses a nonlinear plant representation, the complete simulation must be performed with a standard ODE solver. For state feedback with a nonlinear plant model, the user-defined function file called by the ODE solver would include the following algorithm and equations (for known state vector,at time t):

A Detailed Example - The Inverted Pendulum

As a more realistic example of the design and simulation of controlled systems we now focus on the development and analysis of an inverted pendulum mounted on a motor driven cart. A sketch of this system is shown in Fig. (from your text by Ogata). Realistically, this simple mechanical system is representative of a class of attitude control problems whose goal is to maintain the desired vertically oriented position at all times.

Our goal is to illustrate some of the techniques introduced earlier in this section, with specific focus on the state feedback methodology. Since the inverted pendulum is a nonlinear system, we first develop the basic balance equations for the system, put these nonlinear equations into standard state form, and then generate a linearized model of the nonlinear \A simplistic approach to classical control of this system is attempted with the end result showing rather ineffective performance. To achieve better control and a more desirable closed loop response, state feedback control is implemented, with considerable improvement in the response of the system due to a setpoint change associated with the cart’s position.

Several variants of this state controlled system are illustrated in a series of Matlab simulations. The system with and without a state observer is compared and the use of a linear versus nonlinear plant model is highlighted. Finally, a wind disturbance input is added to the mathematical model, and the effect of this additional random force on system performance is addressed. This series of applications implements and illustrates many of the topics discussed in the early part

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of this section. The Matlab examples should give the reader a better understanding of the design and simulation methods discussed earlier, and they also provide the student with a set of functional tools that can easily be modified to fit other situations of interest.

Basic Equations (Inverted Pendulum)

Given an inverted pendulum mounted on a motor driven cart as shown in b, the defining nonlinear equations can be derived as follows. First we assume that the rod is massless and that the cart mass and the point mass at the upper end of the inverted pendulum are denoted as M and m, respectively. There is an externally x-directed force on the cart, and a gravity force acts on the point mass at all times. The coordinate system chosen is defined in , where x(t) represents the cart position and is the tilt angle referenced to the vertically upward direction.

A force balance in the x-direction gives that the mass times acceleration of the cart plus the mass times the x-directed acceleration of the point mass must equal the external force on the system.

where the time-dependent center of gravity of the point mass is given by the coordinates. For the point mass assumed here, the location of the center of gravity of the pendulum mass is simply

In a similar manner, we perform a torque balance on the system, where torque is the product of the perpendicular component of the force and the distance to the pivot point (lever arm length,). In this case, the torque on the mass due to the acceleration force is balanced by the torque on the mass due to the gravity force. The force components are identified in Fig.b and the resultant balance can be written as

Therefore the defining equations for this system are given by eqns. These equations definitely represent a nonlinear system which is relatively complicated from a mathematical viewpoint. However, since the goal of this particular system is to keep the inverted pendulum upright around, one might consider linearization about the upright equilibrium point. We will do this later and actually compare the linear and nonlinear dynamics of the system, but first, we need to put the nonlinear equations into standard state space form.

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附录B (中文翻译) 介绍控制系统的设计和仿真

一般有两种方式控制设计开发的方法与现代古典方法. 一些方面研究第

六节已经推出经典的方式,其中包括PID控制、铅浮力差等等. 经典设计方法根轨迹依靠技术和不同频率的反应。交涉LTI系统(交易、Nyquist、Nichols块),帮助自由选择控制变数内转移的作用. 这些调整控制的变数,是平时的教育和引导,经反复试验的方法和经验,创造性地设计了具有重要作用,整体设计过程. 经典设计方法通常只限于单投入单产出(SISO)系统。

采用现代控制理论采用比较正规的数学方法设计控制系统.。矩阵通常适合这种方法进行运算,使多投入多产出(MIMO)系统。目标设计往往可以说,正是在数量上的一个性能指标, 通过运用控制变量确定了一套严格的数学程序。在反复试验的设计方面, 传统的方法是大大减少, 在某些情况下, 完全取消。

本节说明了问题的控制设计采用现代控制理论。尤其是空间反馈控制, 并没有一个全面的空间观察, 被提出来了并给出一些数字和实例。一个简单的想法也是古典比例控制, 而古典的控制理论和现代控制理论通常被用来解释什么在状态空间控制中发生了。

这些课题研究的发展被发展成两个部分。第一个挑战涉及控制系统的设计。根本的办法是争取获得适当的控制比例完成合理的控制，还有就是配置期望极点，它被用来获取将杆用来完成状态空间反馈的控制(类似方式来获得收益观察)。一但已知设计参数已知, 那么我们的注意力转向解决实际模拟系统的控制参数预设。在模型处理过程中，我们必须处理好模式模拟系统的非线性和线性的关系(注:平时控制设计与步骤是在为了完成一个线性系统的模型)。

终于, 一连串的仿真例子是为一个所谓倒立摆的问题做准备的。这个系统是一个很不稳定,而且需要一个强有力的控制系统使其性能稳定。另外,由于动态的潮流相反,倒立摆系统是由一组非线性方程组组成,还可以探讨采用线性模式的影响,设计了一个非线性控制系统。

这三大主题都被发展为一系列分主题，如下:

控制系统设计

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线性系统模块或特殊系统通常控系统的设计，为线性时间不变(LTI)状态空间模块给出。

如果我们假设模块的输出不是函数的直接输入。这也将是在转换函数的职能，或者方框图a所示是一个LTI模型

图a

古典比例控制(SISO)

作为一个简单的例子, 考虑经典控制系统封闭性的特殊表现.。对SISO系统, 把把模块的功能函数, 只是量的代表性, 这是功能模块特有载传感器反馈回的功能转移,KC.。setpoint或理想的路是封闭性系统的反应。

图b

状态反馈控制(SISO)

经典控制的主要缺点是由于只有单一自由浮动,KC,可以调整.。然而, 此时的固定系统,有公开的状态空间系统函数给出。

如果设计目标是控制系统把这些极点分配到适当的地点, 当然是有道理的, 更多的自由程度(即更自由变数)应该让更多的自由置于封闭循环杆到位.。尤其是如果n为控制变量, 此时系统, 我们可以任意设想把所有的极点分配到

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应有的位置。从这个讨论的问题出发, 而不是单一的回馈简单的函数输出, 让我们全部反馈空间变量, 乘以矩阵收益,而这里国是空间subscript反馈。被称为状态空间反馈表。对这样一个SISO模块, 函数变成为

极点配置

最容易实现状态空间反馈控制是通过极点配置方法。基本思想是明确的把n个极点分配到理想地点在n维闭环控制系统,然后通过调整n维状态空间实现极点的合理配置。如果状态空间是完全可控系统、稳定的，闭环系统的特征方程的特征方程形成具有特定地点直线杆独立式系统, n未知数。为解决这个方程组获得所需的要素组合。

小系统极点配置经计算方法可以实施程序(不论是自动执行的方式,或在计算机代码)如下：

1、确定矩阵的维数为n。 2、预先设计闭环系统的极点。

3、根据理想的极点,可以预期的发展特征方程。

4、最后一个因素是为发展性闭环系统, 这是由于系数和相类似的理想的极点均衡的特点。为使这一公式n不明因素。

这说明, 以较低的程序中有系统的例子a对上级系统,通常使用不同算法(见教科书贵绪方), 可以更有效地在自动计算总计划。在Matlab中, 例如用于自动地指挥决定要使用反馈表杆获得安置方式。MATLAB的例子, 把这个例子说明,在本节稍后(在我们讨论状态观测器)。

二 时域范围仿真控制系统

在讨论过程中第一次获得妥善控制参数设计采用典型的例子包括状态反馈控制。重点是时间分配方面, 在eigenvalues 的闭环性决定了空间矩阵的封闭循环体系。控制目标是设计问题,选择控制增益这种封闭的eigenvalues主导空间的理想与矩阵的极点配置。

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一旦控制设计参数已确定的重点转向封闭系统。在设计模式,模块模式,通常是线性的实际控制系统。然而,在模块模式,通常要一模块动态模拟尽可能准确。这个时候往往需要的各种模拟或非线性系统。

在本节,我们着重解决模拟假设已经确定控制增益。根据以往的例子小节的限制, 我们目前还Siso分析系统。为封闭循环式的动态线性和非线性都写有模块模式，该空间使用的模型后发展。

状态反馈控制

一个空间的反馈控制方框图全面观察中有特殊状况, 因为在爆炸中除本模式已稳步增空间整体增益的实现得到遏制，这一决定得到使空间逐步取消错误(见参考意见调整取得零误差SS)。

再次, 我们可以看看这个系统仿真模型对非线性和线性模型厂, 预定控制增益(即已知值)。

这一系统的封闭循环的实质包含状态反馈。因此, 我们总共2n数(NN空间估计,系统内部)。与线性模型厂, 充分结合本系统的动态笔试,因为以前在eqns。

同以往一样,如果用非线性模拟设备厂任职, 必须进行彻底的模拟与标准词神乎其技。国有厂回馈与非线性模型，用户档案功能界定所谓的神乎其技词算法,包括下列公式(已知向量在时间t)。

三 一个具体的倒立摆实例

作为一个较为实际的例子，仿真控制系统设计是我们现在的发展重点,并分析了反向倒立摆驱动车装上了汽车。从现实来看, 这代表一个简单的机械系统的控制问题的态度类目标是随时保持理想的垂直位置。

我们的目标是在这一节中先介绍一些技术说明, 特别注重状态空间反馈方法。因为倒立摆是非线性系统, 我们首先制定了基本平衡的系统模型, 将这些非线性方程形式化为状态空间标准形式, 然后产生非线性模式块的线性模块。极点公开表示系统极不稳定。一个简单的系统控制方法就是根据系统表现出来的结果进行调解。为更好地控制和闭环较好的反应, 空间实施反馈控制,大大提高了系统的反应, 因与CARTsetpoint改变位置。

这几个不同的状态空间控制系统模拟了一系列MATLAB。没有一个空间的制度, 以及利用观察比较线性与非线性模型块是突出。最后, 加上干扰投入数学

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模型, 并进一步影响这个成绩处理系统随机力量。这一系列的应用工具和专题讨论了许多初这。MATLAB的实例应该让读者更好地了解设计和模拟方法讨论过, 而且还提供学生一套实用工具,可以很容易地修改,以适应形势的其他增益。

因为换了装一个驱动马达车的倒立摆,定可以得出如下非线性方程。我们先假定是massless棒, CART观点和在金字塔上层的潮流是指为M和m.。国外有十大主导力量的CART、U(T)、重力点的大规模武力行动时刻。选择的坐标系定是X(T)车的倾斜角度和位置的参考方向垂直向上。

一支均衡的方向为:大众传播, 加快了传播时代的车加X光点指示加速大众必须在平等的外部力量体系。

以同样的方式, 我们进行了系统的平衡扭矩,扭矩是部分产品的垂直距离和力量的关键点(杠杆手臂长)。在这种情况下, 由于大规模的扭矩加速力量均衡的扭矩的大众由于重力的力量。部分已确定的特殊部队。

因此, 制定这个系统的平衡。这绝对是一个非线性方程系统, 从比较复杂的数学观点。但是, 由于这项制度的目的是为了保持倒立摆直立, 可考虑对正直linearization平衡点。我们这样做,其实比较后, 线性系统的非线性动力学, 但首先, 我们必须把非线性方程的空间形式为空间标准型。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kjw7.html