2021九年级中考数学猜想、探究与证明解析及练习题

2021九年级中考数学猜想、探究与证明解析及练习题猜想、探究与证明题型是全国各地中考的热门题型，由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以往往作为中考试卷中的压轴题出现，主要用于考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

与三角形有关的猜想与探究

【经典导例】

【例】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状．(按角分类)

(1)当△ABC三边长分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6、8、11时，△ABC为________三角形；

(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形；

(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．

【解析】(1)由勾股定理的逆定理可知，6，8，10是一组勾股数，最长边10所对的角是直角，而9<10，11>10，所以当△ABC的三边长分别为6，8，9时，最长边9所对的角应小于直角；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，最长边11所对的角大于90°；(2)由勾股定理的逆定理可知，当c2＝a2＋b2时，△ABC是直角三角形．此时，∠C＝90°，则当c2<a2＋b2时，c边所对的角小于90°，当c2>a2＋b2时，c边所对的角大于90°；(3)根据题意先求出c 边长的取值范围，然后分三种情况讨论：①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形，再具体求出c的取值范围．x§k§b 1

【学生解答】解：(1)锐角；钝角；(2)>；<；(3)∵b－a<c<b＋a，∴2<c<6，①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当2<c<2时，△ABC是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，即c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，△ABC是直角三角形；③a2＋b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．

1．问题引入：

(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A ＝α，则∠BOC ＝__90°＋2α__(用α表示)；如图②，∠CBO ＝31∠ABC ，∠BCO ＝31

∠ACB ，∠A ＝α，则∠BOC ＝__120°＋3α__(用α表示)；

(2)如图③，∠CBO ＝31∠DBC ，∠BCO ＝31∠ECB ，∠A

＝α，请猜想∠BOC ＝________(用 α表示)，并说明理由．

类比研究：

(3)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO ＝ n 1∠DBC ，∠BCO ＝n 1 ∠ECB ，∠A ＝α，请猜想∠BOC ＝________．

解：(2)120°－3α.理由如下：∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－31

(∠DBC ＋∠ECB)＝180°－31(180°＋α)＝120°－3α；(3)n n －1·180°－n α.

2．

(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠

DCE ，若∠A ＝60°(如图①)．求证：EB ＝AD ；

(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；

(3)若将(1)中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其他条件不变，则AD EB 的值是多少？(直接写出结论， 不要求写解答过程)

证明：(1)过D 点作DF ∥BC 交AC 于点F ，则AD ＝DF ，∴∠FDC ＝∠ECD.又∵∠DEC ＝∠ECD ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，又∠DBE ＝∠DFC ＝120°，∴△DBE ≌△CFD ，∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD ；(2)EB ＝AD 成立．理由如下：过D 点作DF ∥BC 交AC 的延长线于点F ，则AD ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD.又∵∠DEC ＝∠ECD ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，又∠DBE ＝∠DFC ＝60°，∴△DBE ≌△CFD ，∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD ；(3)AE BD

＝.

3．【问题探究】

(1)如图①，在锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由；

【深入探究】

(2)如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝7 cm ，BC ＝3 cm ，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长；

(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．

解：(1)BD ＝CE. 理由如下：∵∠BAE ＝∠CAD, ∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD, 又∵AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD, ∴BD ＝

CE;

(2)如图①，在△ABC 的外部，以点A 为直角顶点作等腰直角△BAE ，使∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，连接EA ，EB ，EC. ∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°， ∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD, ∴△EAC ≌△BAD(SAS )，∴BD ＝CE. ∵AE ＝AB ＝7, ∴BE ＝＝7，∠AEB ＝∠ABE ＝45°， 又∵∠ABC ＝45°， ∴∠ABC ＋∠ABE ＝45°＋45°＝90°， ∴EC ＝＝＝， ∴BD ＝CE ＝ cm ，∴BD 的长是 cm ；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kjk1.html