第十九章四边形

第十九章 四 边 形

【知识概念图表】

知识要点（定义、公理、定理、公式、法则） （一）平行四边形 定义及平行四边形性质 表示法 平行四边形判定 及面积 其他定理 方法指引 平行四边形判定的常用方法有五种，关于“边”的有三条，关于“角”①推论： ①丙组对边分别平（1）定义:丙组对边分别平行平的四边行形叫做四平行四边边形。 形 对角相等； （2）表示：用从“□”和对四个顶点的字母来表看 ③平行四边形的角对角线互相平分； 线边形 ； 半； 的四边形是平行四三边的一④对角线互相平分且等于第第三边，并四边形 ； 形的中位线平行于②平行四边形的等的四边形是平行理 ：三角③一组对边平行相中位线定对边相等； 看 四边形 ； ②三角形①平行四边形的边等的四边形是平行段相等； 从②两组对边分别相具有四边形的一行的四边形是平行切性质外，还有： 四边形； 平行线间的平行线夹在两条的有一条，关于“对角线”的有一条，常用“顺口溜”帮助记忆，即：判定平行四边形，两个条件才能行，两组对边都平行，或证对边都相等，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线是个宝，互相平分也能行，对角相等也有用，两组对角才能成。反之，判定成性质，还是中心对称形，面积计算也简单，底边与高来相乘。

示。 ④平行四边形是从中心对称图形，两角条对角线的交点看 四边形。 就是对称中心。 高。 等的四边形是平行积=底×⑤两组对角分别相边形的面③平行四 方法指引 矩形的判定口诀：任意一个四边形，三个直角（二）特殊的平行四边形 1.矩形 定 义 矩形性质 矩形判定 其他定理及面积 成矩形，对角线等互平分，那它一定是矩形；已知平行四边形，一个有一个角是直①直角三角形斜边(1)定义：有一个角是直角的平行四边矩形叫做矩形 形。 ①矩形的四个角都是直角； 从直角叫矩形，两对角线角的平行四边形是矩形； 角看 有三个角是直角的四边形是矩形； ②矩形既是中心对上的中线等于斜边若相等，理所当然为矩的一半； 形。 矩形的性质：除了具有称图形，也是轴对称平行四边形的一切性质图形，对称中心是对外，还有自己特有的性角线的交点，对称轴从是过对边中点的直②矩形的对角线相等。 对角线看 对角线相等的线； 平行四边形是矩形。 ③矩形面积=长×(2)表示法：“矩形”+“顶点字母”。 质。即四个角都是直角，对角线都相等，还具有“双对称性”。 方法指引 宽。 菱形的判定口诀：任意2.菱形 一个四边形，四边相等定 义 菱(1)定义：形 有一组邻四条边都边等的平行四边称图形，也是轴对称①菱形的从有一组邻边相①菱形既是中心对菱形性质 菱形判定 其他定理及面积 成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形。已知平行四边形，邻边相等叫菱形，两对角线

边相等的平行四边四条边都相等形叫做菱的四边形是菱形。 形； (2)表示②菱形的法：“菱形”对角线互+“顶点字相垂直，并母”。 且每一条对角线平分一组对角。 角线看 直的平行四边角线长的积的一半，形是菱形。 即S=（a×b）÷2 对对角线互相垂有：菱形面积等于对从积计算方法外，还特用平行四边形的面②菱形面积除了可线； 是对角线所在的直相等； 看 形是菱形； 图形，对称中心是对角线的交点，对称轴若垂直，顺理成章为菱形。 菱形的性质：也是除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己特有的性质，即四条边都相等，对角线垂直，且每一条对角线平分一组对角。也具有“双对称性”，面积计算还特有一个公式，即两条对角线的长的积的一半。 3.正方形 正方形定 义 正方形性质 判定 其他定理及面积 方法指引 正方形是一个极其特殊的四边形，它包含了平①正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所(1)定义：四条边都相等，正方四个角都是直角的四边①正方形的四个角都是直角，①有一个角是直角的行四边形、矩形、菱形的所有性质，也同样具有“双对称性”，面积的计算也有两个公式。 它的判定是比较原则性的，即只要能判定它既是一个矩形，又是一个菱形，就可判定它是一个正方形。常用的有两个，即有一个角是直角四条边都相等； 菱形是形 形叫做正方形； ②正方形的两(2)表示法：条对角线相等，“正方形”+“顶点字并且互相垂直平分，每条对角正方形； 在的直线以及过对边中点的直线； ②有一组邻边相等的矩形是②正方形面积等于边长的平方，也等于两条对角线长的积的一半的。

母”。 线平分一组对角 。 正方形。 的菱形是正方形，以及有一组邻边相等的矩形是正方形。 （三）梯形 深度理解 等腰等腰梯形概 念 性质 判定 积计算 梯形定理及面常见辅助线作法 梯形其他①梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线； ①在①梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯梯 形。 ①等腰梯同一形在同一底上底上的两的两个角相个角等； 相等②等腰梯的梯形的两条形是对角线相等腰①梯形中①平移一腰：把梯形位线定理：转化成了一个平行梯形的中四边形和一个三角位线平行形； 于两底，并②作两条高：分成矩且等于两形和两个直角三角底和的一形； 半 ，即L=（a+b）÷2 ③平移一对角线：使②梯形面积=中位线长×高，④延长两腰：构造具即：有公共角的两个相S=L×h ，似三角形； 也等于：⑤过一腰中点作直两对角线转移到同②记写梯形时，用“梯形”+“四个顶点字母”； ③用数学符号记写梯形时，常常要告诉哪两边平行，象告诉直角三角形一样，交待要具体，须告诉哪个角是直角。 方法指引 其实，梯形的面积公式： ②等腰梯形形 定义：两腰相等的梯形③等腰梯叫做等腰梯形是轴对等。 梯形 ； 一个三角形中； “（上底+下底）×高÷②对形。 称图形，角线③直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 过上下底相等的中点的的梯直线是它形是的对称等腰轴。 梯形。 2”，这一个公式就涵盖了特殊四边形和三角形的面积公式，它们的内在联系是，当梯形的某一底缩小为0时，就是一个三角形，其面积公式不就是：“底×高÷2”（上底+下线：构造两个全等三底）×高÷角形。 2.

（四）几种常见几何图形的重心 1.线段的重心就是线段的中点； 2.平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点； 3.三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心； 4.等腰三角形的重心在底边的中垂线上； 5．正多边形的重心就正多边形的中心。 吗？当两底变得一样长时，就变成了一个平行四边形，其面积公式不就是：“底×高”吗？ 【易混易错剖析】

1.对于概念的内涵和外延把握不准，包含关系混淆不清，另外，对于每一个特殊的四边形的性质和判定把握不准确。一是要重视各个概念的定义，因为那是它的本质属性（如下图），由定义我们可以弄清其包含关系，矩形、菱形都包含了正方形，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形；而矩形和菱形又都是特殊的平行四边形，平行四边形包含有矩形和菱形及正方形；平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，包括梯形也是特殊的四边形；二是要抓好“对角线”这条纽带，从图中可以从对角线角度来厘清各概念的联系。（见下图）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形；三是我们必须要高度熟练各个特殊四边形的性质和判定，尤其是判定最容易混淆，有人总结有顺口溜可帮助记忆（见前面总结的概念图表）。

有一个角 是直角 平行四边形 矩形 邻边相等 正方形 有一个角是直角且邻边相等 邻边相等 菱形 有一个角是直角 两组对边 分别平行 四边形 一组对边平行 另一组对边不平行

等腰梯形 两腰相等

梯形

有一个角 是直角 相等 矩形 直角梯形 垂直

相等且互相平分 四边形 互相平分 平行四边形 垂直 相等且互相垂直 正方形

相等 菱形 互相垂直平分 互相垂直平分且相等

典型示例：

选择：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，当其对角线AC和 BD（ ）时，四边形EFGH是正方形。

A. AC⊥BD B. AC=BD C. AC⊥BD且AC=BD D.以上都不对

A E B O H D

G F 易混1图 C 常见错误：选A。 解析点评：

本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定。多边形总是被对角线分割成一些三角形，四边形也不例外，每条对角线都能把它分成两个三角形，那么四边形的四边中点的连线就成了相应三角形的中位线，三角形的中位线是平行于第三边且等于第三边的一半的，所以EFGH的四条边中EH与FG都平行且等于BD的一半的，EF与HG都平行且等于AC的一半的，这样，我们就轻易得到：EH平行且等于FG的，或者EF平行且等于HG的，因而四边形EFGH就是平行四边形，要想使一个平行四边形成为矩形，需要有一个直角，考虑到它的边都与对角线AC、BD有关，根据平行线的性质，只有当AC⊥BD时，平行四边形EFGH才会成为矩形。什么样的矩形才是正方形呢？有一组邻边相等的矩形就是正方形。由于EFGH的四条边中EH与FG都等于BD的一半的，EF与HG都等于AC的一半的，所以只有当两条对角线AC和BD相等时，才有四边形EFGH的邻边相等，因而，当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH才是正方形。故正确答案应选C。 本题启示：

ⅰ把四边形问题转化为三角形问题来加以解决是我们的一贯策略。ⅱ见到三角形或者是四边形的边的中点，要马上想到以下定理：a三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；b直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；c等腰三

角形底边上的中线也是底边上的高，还是顶角的平分线等等。ⅲ对于特殊四边形的判定和性质要相当熟练。平行四边形的判定方法共有哪几条？a从边的角度去判定主要有三条：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；b从角的角度去判定主要是：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；c从对角线的角度去判定主要有：对角线互相平分的四边形是平行四边形等共有五条判定定理。那么平行四边形的性质都有哪些呢？a边的方面：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边分别相等；b角的方面：平行四边形的两组对角分别相等；c对角线方面：平行四边形的两条对角线互相平分。那么矩形都有哪些判定方法呢？主要有两条：a从角的角度去判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；b从对角线的角度去判定：对角线相等的平行四边形是矩形。那么矩形的性质又是什么呢？除了具备平行四边形所有性质外，还有：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。至于菱形的判定主要有三条：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。菱形的性质是除了具备平行四边形所有性质外，还具有：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。对于正方形，常用的判定有二：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。至于正方形的性质就更多，具备了平行四边形，矩形，菱形的所有性质，具体地说：正方形的四个角都是直角；四条边都相等，对边平行且相等；对角线互相平分、相等且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。我们只有对定理熟练了，在使用时才会得心应手。其实诸如此类的问题还真的不少，注意连接任意四边形的四边中点得到的四边形就是平行四边形，那么根据需要再去思考看还需要什么条件就添加什么条件。如： ⅰ顺次连结下列四边形各边的中点，所得的四边形为矩形的是（ ） A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、平行四边形 ⅱ顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形必是（ ）

A、矩形 B、梯形 C、两条对角线互相垂直的四边形 D、两条对角线相等的四边形

其中ⅰ的正确答案应选C；ⅱ的正确答案应选D；

2.将四边形的内容与三角三边关系定理，与直角三角形性质，与等边三角形性质，分类讨论问题等相结合时，往往由于缺乏技能而出现错误。 典型示例：

①选择：平行四边形的一边长为5cm，则它的两条对角线长可以是（ ） A、4cm, 6cm B、4cm, 3cm C、2cm, 12cm D、4cm, 8cm

②填空：已知平行四边形一内角为60，与之相邻的两边为2cm和3cm，则其面积为 _ _cm。

③填空：矩形ABCD的对角线交于点O．一条边长为1，△OAB是正三角形，则这个矩形的周长为______．

④填空：已知梯形上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则另一腰a的范围是_ _； 常见错误：

①选A、B、C的都有； ②没填结果的多，也有填6cm.

③只填一个答案的较多。填：2?23或只填：2?④填：1?a?13或2?a?15。 解析点评：

①如图，由于平行四边形的对角线是互相平分的，那么两条对角线长的一半与这条边长要能满足三角形三边关系定理才行。显然A两个量的一半分别是2cm和3cm，那么与5cm显然是有问题的，因为2+3=5，所以A不对；B两个量的一半分别是2cm和1.5cm，同样与5cm也是不能满足三边关系定理的；C两个量的一半分别是1cm和6cm，与5cm显然

23； 32

2

0

也是有问题的，因为6-5=1，不能满足三边关系定理；那么D选项如何呢？两个量的一半分别是2cm和4cm，它们与5cm，显然较短的两边之和2+4=6>5，所以只有D才是正确的。

本题启示：四边形的问题往往要转化为三角形的问题加以解决，当然要善于联系平行四边形的相关性质。

5 ①图

②本题其实有两种情况，但是却只有一种结果。如图，从平行四边形的一个顶点向对边作垂线，构造直角三角形，由直角三角形的边角关系可得前一个图形的高为3cm，后

一个图形的高为

332cm，由三角形的面积计算公式可得：它们的面积都是33cm.因22而正确的答案应是33cm.

本题启示：要善于构造直角三角形，将特殊角转移在直角三角形中，利用解直角三角形的知识和平行四边形的面积计算公式求解。

2cm 600 3cm 3cm

②图

600

2cm

③本题要注意也是有两种可能性情况，由于长为1的边不确定，因而要分类讨论。如图，ⅰ当AB=1时，因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=900，又因为△OAB是正三角形，

BCBC?，所以BC=3，又矩形的对边AB1ABAB0?相等，所以其周长为：2?23；ⅱ当BC=1时，同样的道理，可得tan30?，BC1所以∠BAC=600，在Rt△ABC中，tan60?0所以AB?323，因而此时矩形的周长就为：2?，综合上述两种情况可得：这个矩

3323。而不能只填一种情况。 3形的周长就应该为：2?23或2?本题启示：在四边形中，当告诉的条件不够明确时，应该进行分类讨论。另外，要善于运用矩形的相关性质及解直角三角形的相关知识，使问题得到解决。 A

D

A

D

1 B

O C ③图

B

O 1

C

④本题主要考查梯形中常用辅助线的作法及三角形三边关系定理。如图，只需要过上底的一端作一腰的平行线即可，将梯形分割成了一个平行四边形和一个三角形，显然这个三角形的一边为7，另一边为2，第三边为a，由三边关系定理得：5?a?9。

6 7 6 8 ④图

8－6=2

7 a

本题启示：ⅰ往往将梯形的问题转化为平行四边形和三角形的问题加以解决；ⅱ在梯形中常常要作辅助线来创造条件解决问题，常用辅助线的作法有：a.平移一腰：把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形；b.作两条高：分成矩形和两个直角三角形；c.平移

一对角线：使两对角线转移到同一个三角形中；d.延长两腰：构造具有公共角的两个相似三角形；e.过一腰中点作直线：构造两个全等三角形。

3.图形变换与四边形结合的问题，学生往往不会作。由于学生对于图形变换和四边形的性质和判定理解得不是很透彻，往往不会解答或避其捷径而求远，走了弯路费了时间，解答过程还不理想。 典型示例：

如图所示，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，将Rt△ABC绕点B沿逆顺时针方向旋转60?得到△BDE，再将Rt△ABC沿着AC所在直线翻转180?得到△ACF,连接AD． 求证：四边形ADBF是菱形；

A

0

0

D E B C

易混3图

F

常见错误：证明：∵△BDE是由Rt△ABC绕点B沿逆顺时针方向旋转60?后得到的，又△ACF是由Rt△ABC沿着AC所在直线翻转180?后面而得到的，∴AF=AB=DB，∴四边形ADBF是平行四边形。又在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，∴∠BAC=30，∴BA=2BC，又BC=CF，∴BF=2BC=BA=AF，∴□ADBF是菱形。 解析点评：

本题主要考查图形变换及性质、菱形的判定、含30度锐角的直角三角形的性质等知识点。题目给出了一个特殊的直角三角形，特殊就特殊在含有60的锐角，因而也就有30

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的锐角，所以30的锐角所对的直角边就等于斜边的一半，就得到边与边之间有特殊的关系；另外，将这个直角三角形作了旋转和翻转，根据旋转和翻转的性质：图形旋转变

换和对称变换前后其形状和大小完全一样即全等的性质，那些对应边就相等，对应角也相等，于是就得到了BD=BA=AF，即一组对边相等，还得到了∠DBE=∠ABC=∠F=∠60，所以∠DBF+∠F=∠DBA+∠ABF+∠F=60+60+60=180,由同旁内角互补，两直线平行，得到DB∥AF,而BD=AF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，就得到四边形ADBF是平行四边形。那么要证明一个平行四边形是菱形还需要什么条件呢？结合图形观察，很明显就是要从边的角度去考虑才简单一些，找一组邻边相等，由于在∠BAC=30，所以BA=2BC，又由轴对称的性质知道：BC=CF，所以BF=2BC=BA，Rt△ABC中，

而BA=BD，所以就得到了：BF=BD，即一组邻边相等，因而平行四边形ADBF就是菱形。上题错误原因是对于轴对称和旋转的性质使用上表达得较为含糊，另外对于平行四边形的判定及菱形的判定定理似乎不是很熟悉，因而，推理过程是错误的。 本题正确的解答是：

证明：∵△BDE是由Rt△ABC绕点B沿逆顺时针方向旋转60?后得到的，∴BA=BD，∠ABC=∠DBE，而∠ABC=60，∴∠ABC=∠DBE=60，

又△ACF是由Rt△ABC沿着AC所在直线翻转180?后面而得到的，∴BA=AF，∠F=∠ABC=60，BC=CF，

∴BD=AF，∠DBF+∠F=∠DBA+∠ABF+∠F=60+60+60=180,∴DB∥AF,而BD=AF，∴四边形ADBF是平行四边形。

在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，∴∠BAC=30，∴BA=2BC，又BC=CF，∴BF=2BC=BA，而BA=BD，

∴BF=BD，又四边形ADBF是平行四边形，∴□ADBF是菱形。 本题启示：

①要正确理解图形变换的本质特性。图形变换是初中几何的重要内容，在初中所学的几种图形变换中，除了位似变换外，像轴对称变换，旋转变换（中心对称），平移变换等，

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都有共同的特性，那就是变换前后图形的形状和大小是完全相同的。也就是说除了位置发生了变化外，其形状和大小是没有变化的，因而这种变换也叫合同变换，或者说叫全等变换，既然是全等变换，就自然具备全等的性质，即变换前后，对应的线段相等，对应的角也相等??弄清楚了这些，见到变换的内容，我们就会从容应对，泰然处之；②对于直角三角形尤其是含有30度锐角的直角三角形，我们要相当熟悉，对其性质要能了如指掌。见到含有30度锐角的直角三角形就要马上想到其对边是斜边的一半，要形成条件反射；③特殊四边形的性质与判定也是非常重要的，必须要对于每一种特殊的四边形的性质与判定都要非常熟练。我们回顾一下：平行四边形的判定方法共有哪几条？ⅰ从边的角度去判定主要有三条：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；ⅱ从角的角度去判定主要是：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；ⅲ从对角线的角度去判定主要有：对角线互相平分的四边形是平行四边形；共有五条判定定理；那么平行四边形的性质都有哪些呢？ⅰ边的方面：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边分别相等；ⅱ角的方面：平行四边形的两组对角分别相等；ⅲ对角线方面：平行四边形的两条对角线互相平分；那么矩形都有哪些判定方法呢？主要有两条：ⅰ从角的角度去判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；ⅱ从对角线的角度去判定：对角线相等的平行四边形是矩形；那么矩形的性质又是什么呢？除了具备平行四边形所有性质外，还有：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；至于菱形的判定主要有三条：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的性质是除了具备平行四边形所有性质外，还具有：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；对于正方形，常用的判定有二：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；至于正方形的性质就更多，具备了平行四边形，矩形，菱形的所有性质，具体地说：正方形的四个角都是直角；四条边都相等，对边平行且相等；对角线互相平分、相等且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 【考点命题突破】

考点分析:

必考点：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法及其综合应用； 常考点：等腰梯形的性质和判定方法，梯形的常规辅助线作法，梯形中位线的性质，梯形面积计算方法；

少考点：四边形的不稳定性，线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及其物理意义。 中考热点：将平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质和判定方法与三角形全等及相似的知识结合出题，与直角三角形的性质及轴对称（折叠）、旋转等图形变换的知识结合出题，与操作性问题、探究性问题、方程思想等结合出题。

考查方式：常见有填空题、选择题和计算题以及证明题，多为中档难度试题，但也会见到与函数结合的压轴题。

考点1平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理综合运用 （2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A．7 B．9 C．10 D．11 解题思路：本题告诉了BD⊥CD， BD=4，CD=3，我们马 难点突破和易错警示

上意识到可由勾股定理得出BC=5，题目还告诉了E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，认真观察，不难发现HG是三角形DBC的中位线，EF也是三角形ABC的中位线，同时，GF、HE也分别是三角形DAC和DAB22难点突破： 本题的关键是要能发现三角形的中位线。 的中位线，因而EF?HG?1BC?5，HE?GF?1AD?3， 2所以□EFGH的周长为11. 答案：D 考点2矩形性质、轴对称性质及勾股定理及方程思想综合运用 （2011四川宜宾）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 AD F BCE（第7题图） 难点突破： 利用勾股定理建立方程是我们的常用方法。往往选择哪一个直角三角形才便于建立方程却成了解决此解题思路：本题是一个与矩形有关的折叠问题。即△ABE与△AFE是关于直线AE对称的，因而△ABE≌△AFE，所以BE=FE，AF=AB，DC=AB，∠AFE=∠B，又由矩形性质知：∠B=90，BC=AD，所以∠AFE=∠B=90，所以∠CFE=90，又EF=3，所以BE=FE=3，所以EC=8-3=5，在Rt△EFC中，由勾股定理得：CF=4，若设AB=x，则AF=DC=x，OOO

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2?DC2?AC2，所以：类问题的关键。 82?x2?(x?4)2，解得x=6. 答案：D 考点3等腰梯形的判定、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质的综合运用 （2011广东茂名）如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2． (1)求证：OD＝OE； (2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形； (3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积． 易错警示： ①要想直接证明OD＝OE有困难时，要换一下思路，采取间接方法去证明； 解题思路：本题第一问按常规思路就是要证OD＝OE，就是要证∠ODE=∠OED，但似乎一时不易突破，所以我们再想用间接方法来证，即由∠１＝∠２可得OA＝OB，如果能证出BD＝AE，等量减等量差相等，就可得证。那么如何证BD＝AE呢？不要忘了题目告诉了：△ABC是等腰三角形，有AC＝BC ， 所以有∠BAD＝∠ABE，又∠2＝∠

1，AB公用，所以△ABD≌△BAE(ASA)，问题就得到了解决。第二问要证明四边形ABＥD是等腰梯形，首先要证明它是梯形，然后再找两边相等。由(1)知：OD＝OE，所②任何一个概念的定义，既是最重要的性质，也是最基本的判1?以∠OED＝∠ODE，所以∠OED＝(180－∠DOE)，同2定，在没有更合适的理：∠1＝1(180?－∠AOB)，又因为∠DOE＝∠AOB，所判定途径时，往往要2用定义去判定； ③相似三角形的面积的比是等于相似比的平方的，不要颠倒了比的前后项，更不能以∠1＝∠OED，所以DE∥AB，找到了一组对边平行。又因为AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，所以AD与BE不平行，即另一组对边不平行，所以由梯形定义知四边形ABED是梯形，又由(1)知△ABD≌△BAE，所以有AD＝BE，即有两对边相等，所以梯形ABED是等腰梯形．基本上都是利用“梯形”和“等腰梯形”的定义来证明的。。 第三问由(2)可知：DE∥AB，因而由相似三角形判定可得：掉了“平方”△DCE∽△ACB，那么由相似三角形的性质知：?DCE的面积DE2， ?()?ACB的面积AB 即：2DE21?()?，所以△ACB的面积 ?ACB的面积3DE9 等于18，所以四边形ABED的面积是等于△ACB的面积减去△DCE的面积的，即 S四边形ABED?S?ACB?S?DCE?18?2?16. 答案：(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形， ∴AC＝BC ， ∴∠BAD＝∠ABE， 又∵AB＝BA、∠2＝∠1， ∴△ABD≌△BAE(ASA)， ∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB， ∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．·

(2) 证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE， ∴∠OED＝ ∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段， ∴AD与BE不平行， ∴四边形ABED是梯形， 又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE ∴梯形ABED是等腰梯形． (3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB， ∴ 1(180?－∠DOE)， 21?同理：∠1＝(180－∠AOB)， 2又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB， ?DCE的面积DE2?()， ?ACB的面积AB2DE21?()?， 即：?ACB的面积3DE9∴△ACB的面积等于18， ∴S四边形ABED?S?ACB?S?DCE?18?2?16. ．

考点4梯形的性质，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，解动态探究问题的方法等综合运用 （原创题）如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠B=90，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm，直线EF绕AD的中点E旋转，若旋转时，直线EF与底边BC的交点 F在BC上的运动速度始终是1cm/s，F从点C出发，到达B点时停止运动。请探究下列问题： ⑴ 运动多少秒后，四边形DEFC是平行四边形？并验证该平行四边形会不会是菱形？ 0 ⑵请你判断在运动过程中，四边形DEFC能成为等腰梯形吗？若能，计算出运动时间；若不能，说明理由。 ⑶你能计算出四边形DEFC在由平行四边形向等腰梯形变化的过程中，直线EF绕E旋转在直角梯形ABCD上所扫过的面积吗？若能，请求出面积的大小。 E B F C A D 解题思路：题目告诉了一个直角梯形，告诉了上下底和高，难点突破： 以及上底的中点，一个动点分别从下底的一端C向B运动，速度是1cm/s。第一问，问当运动多少秒后，四边形DEFC是平行四边形？并验证该平行四边形会不会是菱形？对于本题主要考查梯形的性质，勾股定理，矩形的判定，菱形的判

这样的问题，我们通常要设运动时间，然后用未知数去表定，等腰梯形的判定，示相关的线段，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，解动态探究问题的方列出方程，求出未知数的值，若该数值符合问题情境，不与条件产生冲突，就说明在运动过程中是能形成平行四边形的，第二问的探究思路也是一样。具体的探究过程是：第一问，设当运动时间为t秒时，四边形DEFC是平行四边形。则CF=tcm，而点E为AD的中点，且AD=20cm，所以DE=10cm，又 BC=26cm，所以DE=10cm，BF=（26-t）cm，由平行四边形的对边平行且相等性质知：DE=CF，所以当t=10cm时,解得：t=10s。即CF=DE=10cm，所以AE=10cm，BF=16cm。如图，作EG⊥BC于G.则∠EGB=∠EGF=90，因为AD∥BC，∠B=90，所以∠A=180-∠B=90，所以∠A=∠B=∠EGB=90，所以四边形EGBA是矩形，所以BG=AE=10cm，EG=AB=8cm，而BF=16cm，所以GF=BF-BG=6cm，在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF?EG2?GF2?82?62?10cm，由于EF=FC=10cm，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以00000法等。题目难就难在是一个考查多个知识点的动态探究问题。要注意的是： ①解动态探究问题，始终要保持清醒的头脑，要能动中取静，能抓住那些在运动过程中，始终不变的量和式子，往往这些量和式子才是解决问题的关键； ②要善于将等腰梯形进行分割转化，变成矩形和全等的两直角三角形，从而找到一些等量关系，为顺利解决问题创造条件； ③在探究性问题中，先假定能（存在），然后据此进行推导，求出相关的量之后，一定要看看它与问题情□DEFC是菱形。第二问，如图，假设经过x秒后，四边形DEFC能成为等腰梯形. 则EF=CD， CF=xcm，DE=10cm,作EG⊥BC于G，DH⊥BC于H。则∠EGF=∠DHC=∠DHG=90,所以EG∥DH，而AD∥BC，所以EG=DH，GH=DE，所以Rt△EGF≌Rt△DHC（HL），所以GF=HC，又在Rt△DHC中，由勾股01定理可得：HC=6cm，所以 GF?(CF?DE)?6cm，即2x?10?6，解得：x=22s。所以在运动过程中，当运动222秒后，四边形DEFC就成为了等腰梯形。第三问，由于四边形DEFC在由平行四边形向等腰梯形变化的过程中，直

线EF绕E旋转在直角梯形ABCD上所扫过的图形实质上是三角形，所以是能计算出这个图形的面积的。 由（1）知：当四边形DEFC是平行四边形时，CF=10cm，所以此时BF=16cm；由（2）知：当四边形DEFC是等腰梯形时，CF=22cm，此时BF=4cm，所以所扫过的三角形的底边长是12cm，而这条底上的高就是直角梯形的高，即：AB=8cm，因而：所扫过的三角形的面积就是：48cm. E 2境是否有冲突，与其他条件是否有冲突，若有冲突，就是不合题意的，应当舍去，也就说明所探究的情况是不能（存在）的。若没有冲突，那么探究的结论就是存在A D 的，这是解决存在性问题或者探究性问题B G F 例4（1）常用的思维方式； C ④方程思想是我们解 决许多实际问题的重要工具，在几何探究问题中，我们也常常要用代数中方程（组）的思想方法来处理相关的几何计算问题，如用勾股定理，这也是代数中，列方程答案：(1)解：设当运动时间为t秒时，四边形DEFC是平行四边形。则CF=tcm，而点E为AD的中点，且AD=20cm，∴DE=10cm，由平行四边形的性质对边平行且相等知：DE=CF，∴当t=10cm时,解得：t=10s。即CF=DE=10cm，∴AE=10cm，BF=16cm。如图，作EG⊥BC于G.则∠EGB=∠EGF=90，∵AD∥BC，∠B=90， E 00A D （组）的一种重要途径； B F G 例4（2）00H C ⑤在动态探究问题 0中，要求某部分的面积，一定要先搞清楚∴∠A=180-∠B=90，∴∠A=∠B=∠EGB=90，∴四边形EGBA

是矩形，∴BG=AE=10cm，EG=AB=8cm，而BF=16cm，∴GF=BF-BG=6cm，在Rt△EGF中，由勾股定理得：它的形状，若是规则图形，就要依据相应的面积公式去计算，若不是规则图形，就应想办法转化为较规EF?EG2?GF2?82?62?10cm，由于EF=FC=10cm，∴□DEFC是菱形。 答：当运动10秒后，四边形DEFC是平行四边形。并且此时该平行四边形是菱形。 （2）解：如图，假设经过x秒后，四边形DEFC能成为等腰梯形. 则EF=CD， CF=xcm，DE=10cm,作EG⊥BC于G，DH⊥BC于H。则 0整的图形，来计算其面积，或者用割补思想采用间接的方法来计算某些图形的面积。 ∠EGF=∠DHC=∠DHG=90,∴EG∥DH，而AD∥BC，∴EG=DH， GH=DE∴Rt△EGF≌Rt△DHC（HL），∴GF=HC，又在Rt△DHC中，由勾股定理可得：HC=6cm，∴ x?101?6，解得：x=22s。，即 GF?(CF?DE)?6cm22答：在运动过程中，当运动22秒后，四边形DEFC就成为了等腰梯形。 （3）解：由于四边形DEFC在由平行四边形向等腰梯形变化的过程中，直线EF绕E旋转在直角梯形ABCD上所扫过的图形实质上是三角形，所以是能计算出这个图形的面积的。 由（1）知：当四边形DEFC是平行四边形时，CF=10cm，所以此时BF=16cm；由（2）知：当四边形DEFC是等腰梯形时，CF=22cm，此时BF=4cm，所以所扫过的三角形的底边长是12cm，而这条底上的高就是直角梯形的高，即：AB=8cm，

因而：所扫过的三角形的面积就是：48cm. 答：能计算出四边形DEFC在由平行四边形向等腰梯形变化的过程中，直线EF绕E旋转在直角梯形ABCD上所扫过的面积，这个三角形的面积是48cm. 【中考典题回顾】

例1 （2011浙江金华）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 A22要点提示： 例1本题要使用的知识点有：平行四边形的性质，解直角三角形的知. D识，全等三角形判定与性质，三角形面积相关F计算。 BEHC 例2本题要使用的知识点有：正方形性质、三角形全等的判定与性质。基本方法是：通过构造两个三角形全等，转移图形的面积，得出答案：23 例2（2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . O2O1 阴影部分的四边形的面积总是等于连接正方形 对角线后所分割成的等腰直角三角形的面积的。即每一个阴影部分答案：2

例3.(2011重庆綦江)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ． 面积总是等于一个正方形面积的四分之一的。 例3. 本题要使用菱形的性质，并利用菱形面积不同的计算途径与方法来建立方程，从而求出OH的值。即 答案：12 54S?AOB? 1BD?AC。 2例4. （2011浙江省舟山第23题）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH． （1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=?（0°＜?＜90°）， ① 试用含?的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． 例4.运用了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和正方形的判定等知识点。本题中角的代换与判定正方形都是难点，是一道对学生能力要求较高的试题。 （1）矩形的四个角都是直角，且两组对边分别相等，又等腰直角三角形不仅两腰相等，而且每一个底角都是45度，

HHDGHDG因而，很容易证明出外DAEBAEBEAC侧的四个等腰直角中，每相对的两个三角形是全等的，进而得到对应 边相等，也很容易证明出E、A、H及H、D、G及G、C、F和F、B、E都是三点共线的，有三个角都是直角得到矩CCBFGFF（第23题1） （第23题2） （第23题3） 答案：（1）四边形EFGH是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形， ∴∠HAD=∠EAB=45°， 形，又有四条边都相等得到菱形，所以当将“四∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°边形ABCD为正方形”－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形， 改为“四边形ABCD为矩形”时，所形成的四边形EFGH仍然是正方∴AE=22AB，DG=CD， 22形。（2）关键要利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，进在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG， ∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°， ∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD， ∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． 而创造条件来证明相关的三角形全等，从而达到证明线段相等的目的。依此类推，可以得到GH=GF=FG=FE，所以四边形EFGH是菱③四边形EFGH是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），形，再找到一个直角，就会发现当四边形

∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形； ∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE， 又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°， ∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°， ∴四边形EFGH是正方形．

ABCD为一般平行四边形时，（∠ADC=?，0°＜?＜90°），四边形EFGH仍然是正方形。

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