南工大概率统计A卷B卷

概率统计（A、闭）

院（系） ____ 班 级 ___ 学号 __ 姓名 ___ 八 九 一 二 三 四 五 六 七 题 总 分 分 一、填空题（每空2分，计18分） 1.假设P(A)=0.4， P(A∪B)=0.7，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)= ______ ；(2)若A与B相互独立，则P(B)= ____ 。

2.将英文字母C,C,E,E,I,N,S随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为____________。

3.设随机变量?的概率密度为f(x)?1?e?x2?4x?4，则E?2? 。

4.设随机变量?与?相互独立，且均服从参数为0.6的0-1分布，则p? ????＝______。5.某人有外观几乎相同的n把钥匙，只有一把能打开门，随机地取出一把开门，记?为直到把门打开时的开门次数，则平均开门次数为__________。

6.设随机变量?服从B(8,)（二项分布）, ?服从参数为3的泊松分布，且?与?相互独立，则E(??2??3)＝__________；D(??2??3) =__________。 7.设总体X~N(?,?)， (X1，X2，…Xn)是来自总体X的样本，已知c?是?的无偏估计量，则c? 。

2122?(Xi?1n?12i?1?Xi)二、选择题（每题3分，计9分）

1.当事件A和B同时发生时，必然导致事件C发生，则下列结论正确的是( )。 （A）P(C)? P(A)+ P(B)－1 （B）P(C)?P(A)+ P(B)－1 （C）P(C)=P(A?B) （D）P(C)= P(AB)

2.设?是一随机变量，C为任意实数，E?是?的数学期望，则( )。 (A)E(?－C)2=E(?－E?)2 (B) E(?－C)2≥E(?－E?)2 (C) E(?－C)2

3.设总体X~N(?,?)， (X1，X2, X3)是来自总体X的样本,则下列估计总体X的均值?的估计量中最好的是( )。

2115X1?X2?X3 399111（C）X1?X2?X3

236（A）

111X1?X2?X3 444117X3 （D）X1?X2?4612（B）

三.（10分）已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误

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判为次品的概率为0.05, 一个次品被误判为合格品的概率为0.04,求： (1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率。

四.（12分）设某顾客在银行窗口等待服务的时间?（单位：分钟）的密度函数为：

x?1?3?f(x)??3e,若x?0,

?若x?0.?0,某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开。(1)求该顾客未等到服务而离开窗

口的概率；(2)若该顾客一个月内要去银行5次，以?表示他未等到服务而离开窗口的次数，试求P?求?的密度函数。 ??0?；(3)设?＝?2，

五. (11分)设?和?是两个独立的随机变量，?在(0,1)上服从均匀分布，?的概率

y?1?2y?0,?e,密度为：f?(y)??2

?0,y?0,?(1)求?和?的联合概率密度；(2)求关于x的二次方程为x2+2?x+?=0有实根的概率。

;?(0)?0.5，其中?(x)为标准正态分布函数） （已知??1??0.8413

六（8分）计算机在进行加法运算时每个加数取整数（最为接近于它的整数），设

所有的取整误差是独立的，且它们都在(?0.5,0.5)上服从均匀分布。若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率为多少？

(已知??1.34??0.90,?(1.645)?0.95，其中?(x)是标准正态分布函数)

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七.（10分）设总体X的分布律为P?X?x??(1?p)x?1?p,x?1,2,?

其中p?0是未知参数，X1,X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本。试分别求p的矩估计量和极大似然估计量。

八.（10分）已知总体X~N(?,?2)。试分别在下列条件下求指定参数的置信

区间：

2

(1)?2未知，n=21，x?13.2，s=5，?=0.05。求?的置信区间。

(2)?未知，n=12，s=1.356，?=0.02。求?2的置信区间。

2

(已知t0.025(20)?2.086，t0.025(21)?2.0796，

2?0)?24.725，.01(11222) ?0)?3.053，?0.99(11.01(12)?26.217，?0.99(12)?3.571九.（12分）在针织品漂白工艺中，为了了解温度对针织品的断裂强度的影响。现

在70℃及80℃两种温度下分别做10次试验， 记 ：

X：70℃时针织品的断裂强度Y：80℃时针织品的断裂强度；测得试验数据如下

2x＝76.23,y?79.43,s12?3.325,s2?2.225

22假定两种温度下针织品的断裂强度X、Y依次服从N(?1,?1)及N(?2,?2)，取显著性水平?=0.05。

(1)检验假设H0:?1??2,H1:?1??2；

2222?:?1??2。 ?:?1??2，H1(2)若(1)H0成立，再检验H0(F0.025(9,9)?4.03,F0.975(9,9)?0.248,t0.05(18)?1.734,t0.025(18)?2.101

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概率统计（B、闭）

院（系）： 班 级 ______ 学号 _ __ 姓名 ___ 题 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 一、填空题（每空2分，计22分） 1.设A,B为两个随机事件，已知P(A)?12,P(B)?13，P(A?B)?23,则:

P(AB)＝_______;P(A?B)＝_______。

?2x,0?x?1,f(x)?2.设随机变量?的概率密度为， 以?表示对?的三次独立重??0,其它.复观察中事件{?≤

1}出现的次数，则P(?＝2)?_______。 23.设随机变量?的概率密度为f(x)?1?e?x2?4x?4，则E?2? 。

4.设随机变量?服从B(8,)（二项分布）, ?服从区间[1,7]上的均匀分布，且?与?独立，则E(2??3??4)＝________；D(2??3??4) =_______。

5.设总体X服从N(?,?)，?X1,X2,...Xn?是样本。X为样本均值，S为样本方差，

22

12则统计量

(n?1)S2?2服从__________分布, 统计量

X??sn服从____________分布。

6.设相互独立的随机变量?,?的联合分布律如下表:

? ? 1 2 1 2

1/6 1/3 1/9 a 3 1/18 b ____________。 则:a=______________________, b?__________7.设随机变量?的数学期望E(x)??,方差D(x)??,则由切比晓夫不等式，有

2Px???3??________________ 。

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二、选择题（每题3分，计9分）

1.设A,B为两个随机事件，若P(AB)?0,

）

（A）A和B两事件互不相容(互斥) （B）AB是不可能事件 （C）AB未必是不可能事件 （D）P(A)?0或P(B)?0 2.设相互独立的随机变量?与?分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1) ）

????0??1 （B）P?????1??1 （A）P?22????0??1 （D）P?????1??1 （C）P?223.对于任意两个随机变量?和?，若E(??)?E??E?，则（ ）。 (A)?和?独立 (B) (C) D(??)?D??D?

?和?不独立

(D) D(???)?D??D?

4.在假设检验中，H0为原假设，备择假设H1，则称( )为犯第二类错误。 (A)H0为假，接受H0 (B)H0为真，拒绝H0 (C) H0为真，拒绝H0 (D) H0为假，接受H0

三.（10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占总产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%、4%、2%。 （1）从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？

四.（10分）设某顾客在银行窗口等待服务的时间?（单位：分钟）的密度函数为：

x?1?3?f(x)??3e,若x?0,

?若x?0.?0,某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开。

(1)求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；(2)若该顾客一个月内要去银行5次，以???0?；(3)设?＝?，表示他未等到服务而离开窗口的次数，试求P?求?的密度函数。

2

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五. (8分) 设某车间有400台同型号的机器，每台的电功率为Q（瓦），设每台机器开动时间为总工作时间的

3，且每台机器的开与停是独立的，为了以0.99的概率保证有4足够的电力，问本车间至少要供应多大的电功率？（已知?（2.33）＝0.9901，其中

?(x)是标准正态分布函数）

六. (12分) 设二维随机变量(?，?)有联合概率密度：

?f(x,y)???(2)求?＝?＋?的概率密度。

e?y, 0?x?1,y?00,other

(1)求?、?的边际概率密度并考察?与?的独立性；

七.（10分）设总体X的分布律为P?X?x??(1?p)x?1?p,x?1,2,?

其中p?0是未知参数，X1,X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本。试分别求p的矩估计量和极大似然估计量。

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八.（10分）已知总体X~N(?, ?2)。试分别在下列条件下求指定参数的置信区间：

2

(1)?2未知，n=21，x?13.2，s=5，?=0.05。求?的置信区间。 (2)?未知，n=12，s=1.356，?=0.02。求?2的置信区间。

2

(已知t0.025(20)?2.086，t0.025(21)?2.0796，

2?0)?24.725，.01(11222，，) ?0(11)?3.053?(12)?26.217?.990.010.99(12)?3.571

九.（9分）在针织品漂白工艺中，为了了解温度对针织品的断裂强度的影响。现在70℃及80℃两种温度下分别做10次试验， 记 ：

X：70℃时针织品的断裂强度Y：80℃时针织品的断裂强度；测得试验数据如下

2x＝76.23,y?79.43,s12?3.325,s2?2.225

22假定两种温度下针织品的断裂强度X、Y依次服从N(?1,?1)及N(?2,?2)，取显著性

水平?=0.05。

22(1)检验假设H0:?1,H1:?1??2； ??222?:?1??2。 ?:?1??2，H1(2)若(1)H0成立，再检验H0(F0.025(9,9)?4.03,F0.975(9,9)?0.248,t0.05(18)?1.734,t0.025(18)?2.101)

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概率统计课程考试试题（A）（江浦）

一、填空题（每空2分，计18分）

1、0.3 0.5 2、或0.000794 3、 4、0.52 5、47！92n＋11 6、-5 14 7、 22(n?1)二、选择题（每题3分，计9分）

1、A 2、B 3、C

三、

解：

记A:任意抽查一个产品，它被判为合格品；B:任意抽查一个产品确实是合格品；则 (1)

P(A)?P(AB)?P(AB)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.9?0.95?0.1?0.04?0.859

即任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为0.859. ………6分

(2)P(B|A)?P(AB)0.9?0.95??0.9953

P(A)0.859即一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率为0.9953. ………10

分

四、

1?3??9???edx?e?3. 解：(1) P?93?3即该顾客未等到服务而离开窗口的概率为e ………3

??x分

(2)由题意知?~B(5,e)，

则P???0??C5(e)?(1?e)?(1?e)。 ………7

0?30?35?35?3分

第 8 页 共 15 页

x?y1?3?y?0 ??y??P?2?y???03edx,(3)F?(y)?P??,y?0?0故?的密度函数为

???1?yd?e3,y?0f?(y)?F?(y)??6y ………1

dy?0,y?0?2分

五、解：(1)因?在(0，1)上服从均匀分布，故

y??1?10?x?1?e2 f?(x)??，且 f?(y)??20其它???0y?0。又?和?相互独立，所

y?0以

y?1?2?e f(x,y)?f?(x)f?(y)??2??00?x?1,y?0 ………4其它2分

(2)二次方程x2+2?x+?=0有实根，必须4??4??0，即所求概率积分区域为

G?{(x,y)y?x2}，设D?{(x,y)0?x?1,y?0}，为f(x,y)的非零区域，因而所求概率

为P{4??4??0}?2??G11?2f(x,y)dxdy???edxdy

2G?D?x221?x22y1edy??(?e?1)dx?1???e00200 ………12?11?x??1?2???e2dx??1?2?[?(1)??(0)]?0.1445?0???2????dx?1x2?y21分

六、解：设每个加数的误差为Xi(i?1,2,?1500),由题设知Xi独立且都服从

(?0.5,0.5)EXi?0,DXi?1500i?0上的均匀分布，所以

1。 ………3分 12记X＝

?X，由独立同分布的中心极限定理知

P?X?15??1?P?X?15??1?P??15?X?15?

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??15X15??1?P???? 125125125??

?2?2??1.34??0.1802误差总和的绝对值超过15的概率为0.1802。 ………8分

七、解：总体X的数学期望EX=?x?P?X?x???x?(1?p)x?1x?1??x?1?p?1 p^11由矩估计法知，?X，从而得未知参数p的矩估计量为 p?。 ………5

pX分

设x1，x2，…，xn是X1，X2，…，Xn相应于的样本值，则似然函数为 L(p)?n?P?Xi?1i?xi??pn?(1?p)i?1?xi?nn

dlnL(p)n?1nlnL(p)?nlnp?(?xi?n)ln(1?p),令??(?xi?n)?0,

dpp1?pi?1i?1^1解得p的极大似然估计值为p?，从而p的极大似然估计量也为

x^1p?。 ………10分

Xn

八、解：

?的置信区间为(x?(1)在?未知时，

2

snt?/2(n?1))。由于x?13.2，n=21，s=5，

t0.025(20)?2.0860。因此，?的以95%为置信度的置信区间为

13.2?521?2.0860?13.2?1.02。

即?的置信度为95%的置信区间为(12.18，14.22)。 ………5

分

(n?1)s2(n?1)s2(2)在?未知时，?的置信度为1–?的置信区间为(2,2)。

??/2(n?1)?1??/2(n?1)222又，s?1.356，?0.01(11。所以，?2的置信区间)?24.725，?0)?3.053，.99(1111?1.35611?1.356,)，即为(24.7253.0532(0.603,4.86) ………10分

第 10 页 共 15 页

九、解：

S12s123.325因为F?2~F(n1?1,n2?1)由样本观察值计算得f?2??1.49

S2s22.225因为0.248?1.49?4.03。故应接受H0，即认为两种温度下的方差无显著差异，可

认

为

相

等

。

即

2 ………5分 ?12??22?:?1??2。 ?:?1??2，H1其次，在?12??2的前提下，检验假设H0因为T?X?YS?11?n1n2~t(n1?n2?2)

由样本观察值计算得s??2.775， t?x?ys?11?n1n2??4.295

?，即认为80℃时针织品的断裂强度较70℃有明显提高。因为－4.295<-1.734,拒绝H0

………12分

概率统计（B、闭）

第 11 页 共 15 页

一、填空题（每空2分，计22分）：

1、1/6 1/3 2、9/64 3、9/2 4、-8 35 5、?2(n?1),6、2/9 1/9 7、1/9

t(n?1)

二、选择题（每题3分，计9分）

1、C 2、B 3、D 4、A

三、解：B: 从全厂产品中任意抽出一个螺钉是次品

A1,A2,A3分别表示抽出的一个螺钉是由甲、乙、丙车间生产的 ………2分 则P(B)??P(AB)?25%?5%?35%?4%?40%?2%?0.0345 ………6分

ii?13 P(A1B)?P(A1B)25%?5%??0.362 ………10分

P(B)0.0345??x1?3四、解：(1) P???9???edx?e?3.

93?3即该顾客未等到服务而离开窗口的概率为e ………3

分

(2)由题意知?~B(5,e)，

0则P???0??C5(e?3)0?(1?e?3)5?(1?e?3)5。 ………6

?3分

x?y1?3?y?0 ??y??P?2?y???03edx,(3)F?(y)?P??,y?0?0故?的密度函数为

???1?yd?e3,y?0f?(y)?F?(y)??6y ………1

dy?0,y?0?0分

五、

解：以?表示同时使用的机器数，则?~B(400，3/4)，

??x??99%，或设本车间至少要供应x Q（瓦）的电功率，则有P????400?3/4x?400?3/4?P????0.99。 ………5

400?3/4?1/4??400?3/4?1/4第 12 页 共 15 页

分

由中心极限定理知，????x?300?x?300， 查表得，?2.33，解得??0.99?75?75?x?320.18。

即本车间至少要供应321 Q（瓦）的电功率才能以不低于99%的概率保证有足够的电力。

………8

分

六、解：（1）关于?的边际概率密度为

???1,0?x?1 ……f?(x)??f(x,y)dy????其他?0,2分

关于?的边际概率密度为

??f?(y)?????e?y,f(x,y)dx???0,y?0 ……y?04分

显然有 f(x,y)＝f?(x)f?(y) ，故?与?相互独立。 ……6分

?z?0?z0,z?x?（2）F?(z)?P{????z}???f(x,y)dxdy???dx?e?ydy,0?z?1 ……9

00x?y?z?1z?x?ydxedy,z?1???0?0分 易得

?1?e?z,0?z?1?f?(z)??e?z(e?1),z?1 ……1

?0,z?0?2分 七、解：

1 px?1x?1^11由矩估计法知，?X，从而得未知参数p的矩估计量为 p?。 ………5

pX总体X的数学期望EX=

?x?P?X?x???x?(1?p)??x?1?p?分

第 13 页 共 15 页

设x1，x2，…，xn是X1，X2，…，Xn相应于的样本值，则似然函数为 L(p)??P?Xi?1ni?xi??p?(1?p)i?1n?xi?nn

dlnL(p)n?1nlnL(p)?nlnp?(?xi?n)ln(1?p),令??(?xi?n)?0,

dpp1?pi?1i?1^1解得p的极大似然估计值为p?，从而p的极大似然估计量也为

x^1p?。 ………10分

X

八、解：

(1)在?未知时，?的置信区间为(x?2nsnn=21，t0.025(20)?2.0860。因此，?的以95%为置信度的置信区间为

t?/2(n?1))。由于x?13.2，s=5，

13.2?521?2.0860?13.2?1.02。

即?的置信度为95%的置信区间为(12.18，14.22)。 ………5分

(n?1)s2(n?1)s2?的置信度为1–?的置信区间为(2(2)在?未知时， ,2)。

??/2(n?1)?1??/2(n?1)222又，s?1.356，?0。所以，?2的置信区间)?24.725，?0)?3.053，.01(11.99(1111?1.35611?1.356,)，即(0.603,4.86) ………10为(24.7253.0532分 九、解：

S12s123.325因为F?2~F(n1?1,n2?1)由样本观察值计算得f?2??1.49

S2s22.225因为0.248?1.49?4.03。故应接受H0，即认为两种温度下的方差无显著差异，可

认

为

相

等

。

即

2 ………4分 ?12??222?:?1??2。 ?:?1??2，H1其次，在?1??2的前提下，检验假设H0因为T?X?YS?11?n1n2~t(n1?n2?2)

第 14 页 共 15 页

由样本观察值计算得s??2.775， t?x?ys?11?n1n2??4.295

?，即认为80℃时针织品的断裂强度较70℃有明显提高。因为－4.295<-1.734,拒绝H0

………9分

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