计算方法 - 习题第一、二章答案

第一章 误差

1 问3.142，3.141，227分别作为π的近似值各具有几位有效数字？

分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65?

记x1=3.142，x2=3.141，x3=227.

由π- x1=3.141 59?-3.142=-0.000 40?知

12?10?3?|??x11|?2?10?4 因而x1具有4位有效数字。

由π- x2=3.141 59?-3.141=-0.000 59?知

12?10?3?|??x2|?12?10?2

因而x2具有3位有效数字。

由π-227=3.141 59 ?-3.142 85?=-0.001 26?知

12?10?3?|??227|?12?10?2

因而x3具有3位有效数字。

2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。

解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。

|?*r(x)|?|x?x*||x*|?21a?10?n?1?112?1?10?2?1?5%

3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？

分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a1是1到9间的数字。

?r*(x)0.3%?10003?2?110?2?(19?1)?10?1?2(a11?1)?10?12 设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。

解 设取n位有效数字，由sin1.2=0.93?，故a1=9。

?r*(x)|?|x?x*||x*|?21a1?10?n?1?0.01%?10?4

解不等式21a?10?n?1?10?4知取n=4即可满足要求。

15 计算7591?7601，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。

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解

1?1?0.131 8×10-2-0.131 6×10-2=0.2×10-5 7597601?1?11??0.1734?10?5 6759760759?7600.5768?10结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：

就得到4位有效数字的结果。

此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算1?cosx时，应先把算式变形为

sinx1?cos2x1?cosx ??sinx

sinxsinx(1?cosx)1?cosx再计算。又例如，当x充分大时，应作变换

1?x?x?1

1?x?x1?1?1 xx?1x(x?1)6 计算a?(2?1)6，取2?1.4，采用下列算式计算： （1）

1； (2?1)6（2）99?702； （3）(3?22)3； （4）

1. (3?22)3问哪一个得到的结果最好？

解 显然

(2?1)6(2?1)61a?(2?1)?? 6(2?1)(2?1)66(2?1)6??(2?1)2??(3?22)3?99?702

3(2?1)6?111?? 36(2?1)?(2?1)2?(3?22)3所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取2?1.4计算时，因为（2），

（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取2?1.4时，有|△x|<0.015，再由f(x)的误差

f(x??x)?f(x)|?|f?(1.4)||?x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最

小。

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具体计算可行： （1）

1?5.2?10?3； 6(2?1)（2）99?702?1.0 （3）(3?22)3?8.0?10?3； （4）

1?5.1?10?3. 3(3?22)比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a。

7 求二次方程x2-(109+1)x+109=0的根。

解 由于x2-(109+1)x+109=（x-109）(x-1)，所以方程的两个根分别为 x1=109，x2=1

但如果应用一般二次方程ax2+bx+c=0的求根公式：

?b?b2?4ac x1,2?

2a由于当遇到b2>>4|ac|的情形时，有|b|?b2?4ac，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.1×1010+0.000 000 0001×1010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.

通过类似的分析可得

所以，求得的两个根分别为

b2?4ac?|b|?109

?b?b2?4ac109?109 x1???109

2a2?b?b2?4ac109?109 x2???0

2a2显然，根x2是严重失真的。

为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：x1x2?c，在计算机上采用如下

a公式：

x1??b?sgn(b)b2?4ac

2a x2?c

ax1其中，sgn（b）是b的符号函数，当b≥0时sgn（b）=1；当b<0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。

8 当N充分大时，如何计算

I??分析 函数

N?1N1dx 1?x1的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分1?x2 3 / 25

的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。

解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有

?N?1N1?arctan(N?1)?arctanN，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN1?x2非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tanθ1=N+1, tanθ2=N，则由

1,得 tan(?1??2)?tan?1?tan?2?N?1?N?1?tan?1tan?21?(N?1)N1?(N?1)N ?1??2?arctaNn?(1)?arctaNn?arctan1

1?(N?1)N就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用

?N?1N1?arctan1计算积分的值较好。 21?x1?N?N29 计算积分In??xe01nx?1dx(n?1,2,?.

分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。

解 利用分部积分法，有

?10xnex?1dx??xndex?1?xnex?1|??ex?1nxn?1dx?1?n?xn?1ex?1dx

00001111得递推公式：

In?I?nIn?1 I0?(n?1,2,?) （1）

?xe010x?1dx?1?1

e*时有大小为ε的误差，利用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近似值I0即

??I0?? I0则由递推公式（1）得

??I?I0???I1?? I1??I?I0??I?2I??I?2I1?2??I2?2!? I21??I?3I??I?3I2?3?2!??I3?3!? I32??I?4I??I?4I3?4?3!??I4?4!? I43┊

??In?(?1)nn!? In显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！≈3.629

??I10|?10!?，?的误差已把I×106,|I10这表明I10时已把初始误差ε扩大了很多倍，从而I1010

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的真值淹没掉了，计算结果完全失真。

但如果递推公式（1）改成

In?1?1(I?In)(n?k,k?1,?3,2)

n于是，在从后往前计算时，In的误差减少为原来的1，所以，若取n足够大，误并逐步减小，

n显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。

10 为了使计算

y?10?3?4?6 x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？

解 设t?1,y?10?(3?(4?6t)t)t. x?1在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。 11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。 12为使70的近似值的相对误差小于0.1，问查开方表时，要取几位有效数字？ 13利用四位数学用表求x=1-cos2°的近似值，采用下面等式计算： （1）1-cos2° （2）2sin21° 问哪一个结果较好？

14求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知783?27.982）。 15数列{x}?n?0满足递推公式

xn?10xn?1?1(n?1,2,?)

若取x02?1.41(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x0计算到x10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

16如果近似值x???(a1?a2?10?1?a3?10?2???an?10?n?1)?10m的相对误差限小于

1?10?n?1，证明：这个数具有n位有效数字。 2(a1?1)

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