2016年安徽省名校联盟高考数学考前最后一卷（理科）（解析版）

2016年安徽省名校联盟高考数学考前最后一卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ） A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2] 2．已知i为虚数单位，（1﹣2i）?z=i3．则复数z在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列命题中，真命题是（ ） A．“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”必要条件 B．“?=0”是“⊥”充要条件 C．?x∈R，x2+

≥1

D．?x∈R，cosx+sinx＞2

4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A． B．4 C． D．

5．如图是七位评委为甲、乙两名比赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，若a1=a2，则m=（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

6．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（ ） A．132 B．299 C．68 D．99

7．某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内应填入（ ）

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A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？ =t（

+

），且

?

=，则△

8．在△ABC中，D是边BC的中点，

ABC的形状是（ ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．三边均不相等的三角形

9．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AB=分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论： ①C1M⊥平面A1ABB， ②A1B⊥NB1，

③平面AMC1⊥平面CBA1

其中正确结论的个数为（ ）

AA1，AC1⊥A1B，M，N

A．0 B．1 C．2 D．3

10．设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（ ）

A．[0，] B．[﹣，0] C．[﹣，1] D．[0，1]

11．已知双曲线C：﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行

于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．

12．已知f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且f（x）+f′（x）＞0，则a=2f（ln2），b=ef（1），c=f（0）的大小关系为（ ）

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A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）

13．已知直线l过圆x2+y2﹣6y+5=0的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是 ．

14．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{项的和为 ． 15．（1+x﹣2x2）5的展开式中x4项的系数为 ． 16．函数f（x）=

，若方程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根，

}的前2016

则实数k的取值范围是 ．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜大值为2，最小正周期为

，并且函数f（x）的图象过点（

，x∈R），且函数f（x）的最，0）．

（1）求函数f（x）解析式；

（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（）=2，c=值范围．

18．如图，AB⊥BB1，AN∥BB1，AB=BC=AN=BB1=4，四边形BB1C1C为矩形，且平面BB1C1C⊥平面ABB1N．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；

（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值； （Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求

的值． ，求a+2b的取

19．质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分划随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：

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（I）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出答案）；

（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20的概率；

δ2）（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N（μ，．其

δ2近似为样本方差s22，中μ近似为样本平均数，设X表示从乙种食用油中随机抽取lO桶，

其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求X的散学期望． 注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得s2=≈11.95； ②若Z﹣N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544． 20．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为2．且经过点（，

）．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点D（4，O）的直线l与C交于不同的两点A，B，且A在DB之间，试求△AOD与△BOD面积之比的取值范围．

21．已知函数f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ex，其中e是自然对数的底数． （1）判断函数y=f（x）在（0，（2）?x1∈[0，

]，?x2∈[0，

）内的零点的个数，并说明理由；

]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取

值范围；

（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．

请考生在弟22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．

（1）求证：AT2=BT?AD；

（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是 （t为参数）．

（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2| （I）解不等式f（x）≥2；

（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤

．

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s=化为．

分别联立方程组

解得：A（2，﹣1），C（1，1）． ∴

的范围为

．

，

故选：C．

11．已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行

于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设P（x，y），通过联立直线PF2的方程、直线PF1的方程及双曲线方程，计算即可．

【解答】解：如图，设P（x，y）， 根据题意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0）， 双曲线的渐近线为：y=x，

直线PF2的方程为：y=（x﹣c），① 直线PF1的方程为：y=﹣（x+c），② 又点P（x，y）在双曲线上，∴

=1，③

﹣

联立①③，可得x=，

联立①②，可得x=?c=，

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∴=，

∴a2+a2+b2=2b2﹣2a2， ∴b2=4a2， ∴e==故选：D．

=

=

=

，

12．已知f′（x）是定义在R上的函数f（x）的导函数，且f（x）+f′（x）＞0，则a=2f（ln2），b=ef（1），c=f（0）的大小关系为（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】构造函数g（x）=f（x）?ex，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得a=g（ln2）与c=g（0）、b=g（1）的大小关系，即可得到答案． 【解答】解：令g（x）=f（x）?ex，

则g′（x）=f′（x）?ex+f（x）?ex=ex?（f（x）+f′（x））， 因为对任意x∈R都有f′（x）+f（x）＞0， 所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增， 又a=2f（ln2）=eln2f（ln2）=g（ln2），b=ef（1）=g（1），c=e0f（0）=g（0）， 由0＜ln2＜1，可得g（0）＜g（ln2）＜g（1）， 即c＜a＜b． 故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）

13．已知直线l过圆x2+y2﹣6y+5=0的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是 x﹣y+3=0 ．

【考点】圆的一般方程．

【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．

【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1， 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，

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故答案为：x﹣y+3=0

14．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{项的和为 ﹣

．

}的前2016

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得a1，d，可得an．再利用“裂项求和”方法即可得出．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5， ∴

，解得：a1=1，d=﹣1．

，解得：

∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n． ∴数列{=

故答案为：﹣

=

=

}的前2016项的和==﹣．

．

， +…+

15．（1+x﹣2x2）5的展开式中x4项的系数为 ﹣15 ． 【考点】二项式系数的性质．

【分析】由（1+x﹣2x2）5=[1+x（1﹣2x）]5，利用二项式展开式的通项公式，即可求出（1+x﹣2x2）5的展开式中x4项的系数．

【解答】解：因为（1+x﹣2x2）5=[1+x（1﹣2x）]5， 其展开式的通项公式为： Tr+1=

?[x（1﹣2x）]r=

?xr?[

?（﹣2x）k]=

?[

?（﹣2）k?xk+r]；

令k+r=4，且0≤r≤5，0≤k≤r，k、r∈N， 则

，或

，或

；

所以（1+x﹣2x2）5的展开式中x4项的系数为： ?

+

?

?（﹣2）+

?

?（﹣2）2=﹣15．

故答案为：﹣15．

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16．函数f（x）=，若方程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根，

则实数k的取值范围是 （，） ．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），

过点（1，0）和（0，﹣）的直线的斜率k=，此时函数f（x）与g（x）只有3个交点，过点（0，﹣）的直线与f（x）相切时，函数f（x）与g（x）只有3个交点， 设切点为（a，lna），则函数的导数f′（x）=，即切线斜率k=， 则切线方程为y﹣lna=（x﹣a）=x﹣1， 即y=x+lna﹣1， ∵y=kx+，

∴lna﹣1=﹣，得lna=，a=此时k=

=

，

，

故要使程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根， 则＜k＜

，

）

故答案为：（，

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三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜大值为2，最小正周期为

，并且函数f（x）的图象过点（

，x∈R），且函数f（x）的最，0）．

（1）求函数f（x）解析式；

（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（）=2，c=

，求a+2b的取

值范围．

【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】（1）由函数最大值为2，确定出A的值，由最小正周期求出ω的值，将已知点坐标代入求出φ的值，即可确定出f（x）解析式；

（2）由f（）=2，求出C的度数，利用正弦定理求出2R的值，所求式子利用正弦定理化简，整理后利用余弦函数的值域求出范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：A=2，ω=4，即f（x）=2sin（4x+φ）， 把（∴

，0）代入得：2sin（+φ=0，即φ=﹣

， ）；

）=2，即sin（C﹣

）=1，

+φ）=0，即sin（

+φ）=0，

则f（x）=2sin（4x﹣

（2）由f（）=2sin（C﹣∴C﹣

=

，即C=

，

由正弦定理得： ==2R，即=2R=1，

∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（sinA=sinA+

cosA﹣sinA=

＜，

cosA， cosA＜）．

，

﹣A）=sinA+2sincosA﹣2cos

∵＜cosA＜1，即∴a+2b的范围为（

18．如图，AB⊥BB1，AN∥BB1，AB=BC=AN=BB1=4，四边形BB1C1C为矩形，且平面BB1C1C⊥平面ABB1N．

（1）求证：BN⊥平面C1B1N；

（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；

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