2014中考总复习第26讲相似、投影与视图

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第二十六讲 相似、投影与视图

课标要求了解:(1)比例的基本性质,线段的比,成比例线段、黄金分割,两个三角形相似的概念,图形的位似. (2)直棱柱、圆锥的侧面展开图,基本几何体与其三视图、展开

图(球除外)之间的关系.(3)视点、视角及盲区的含义,了解平行投影和中心投影.

第二部分

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掌握:(1)通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,

探索两个三角形相似的条件.(2)能够利用位似将一个图形放大或缩小,利用图形的相似解 决一些实际问题.

(3)会画基本几何体的三视图,会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型. (4)知道物体的阴影是怎么形成的,并能根据光线的方向辨认

实物的阴影.(5)能在简单的平面图和立体图中表示视点、视角及盲区.

第二部分

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高频考点1.利用比例的基本性质,成比例线段进行计算、证明.2.判定两个三角形相似,利用相似证明相关结论;计算线段的长 度、图形的面积;解决一些实际问题.

3.作出一个几何体的三视图.4.画立体图形的展开图,正确判断几何体的展开图的相邻或相 对的面.

5.画物体的平行投影和中心投影.

第二部分

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考向分析结合近几年中考试题分析,相似、视图与投影的内容考查主要有 以下特点: 1.命题方式为三角形相似的证明,利用相似的性质证角相等或线 段成比例,运用相似形的知识解决一些联系实际的问题,立体图形 与它的三视图的互相转化,简单立体图形中的最短路线问题,题型 以选择题、填空题为主,图形的相似将在解答题中加大知识的横 向与纵向的联系. 2.命题的热点为几何体三视图的判定,相似三角形性质和判定的 应用,利用位似将一个图形放大或缩小.

第二部分

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一、相似图形的性质1.相似多边形的性质:性质1:相似多边形对应角 性质2:相似多边形周长的比等于 性质3:相似多边形面积的比等于 ,对应边成 ; 的平方. ;

第二部分

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2.相似三角形的性质: 性质1:相似三角形的对应角 性质2:相似三角形周长的比等于 ,对应边的比 ; ;

性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分

线的比等于

;的平方.

性质4:相似三角形的面积比等于

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二、相似三角形的判定判定1:如果两个三角形的三组对

应边的比三角形相似; 判定2:如果两个三角形的两组对应边的比 ,并且相应的

,那么这两个

相等,那么这两个三角形相似;判定3:两组对应角 的两个三角形相似;

判定4:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角

形与

相似.

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三、位似图形的概念如果两个多边形不仅对应边 做 .

,而且对应顶点的连线相交于

,

,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫

特别提示:位似是相似的特例,位似不仅要求相似,而且位置还要求有特殊 的关系,位似形一定是相似形,但相似形不一定是位似形,利用位

似的方法,可以把一个多边形放大或缩小.位似图形的所有对应点的连线所在的直线交于一点(位似中心),该点可在两个图形的 两侧,或两个图形之间,或图形内,或边上,也可以是顶点.

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四、投影的有关概念1.投影:用光线照射物体,在某个平面上得到的的投影,照射光线叫做 2.平行投影:由 ,投影所在的平面叫做 光线形成的投影是平行投影.

叫做物体.

3.中心投影:由4.正投影:投影线

发出的光线形成的投影叫做中心投影.于投影面产生的投影叫做正投影.

五、视图的有关概念主视图:在正面内得到的俯视图:在水平面内得到的 图.

观察物体的视图叫做主视图.观察物体的视图,叫做俯视

左视图:在侧面内得到的

观察物体的视图,叫做左视图.第二部分

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【答案】一、1.相等 比例 相似比 相似比 2.相等 相等 相似比 相似比 相似比

二、1.相等 2.相等 夹角 3.相等 4.原三角形三、相似 一点 互相平行 位似中心 四、1.影子 投影线 投影面 4.垂直 五、由前向后 由上向下 由左向右 2.平行 3.同一点(点光源)

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知识考点01相似图形的性质与判定相似图形的性质与判定主要是对相似三角形的性质与判定的研究与运用. 判定三角形相似的基本思路:

(1)已知图形中有平行线,可采取相似三角形的基本定理;(2)已知有一对等角,可考虑找另一对等角或找其夹边成比例; (3)已知有两边成比例,可再寻找其夹角相等;

(4)直角三角形相似的特殊判定;(5)等腰三角形相似的特殊判定.

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例1

( 2013·广东) 如图, 在矩形 AB C D 中, 以对角线 B D 为一

边构造一个矩形 B D E F , 使得另一边 E F 过原矩形的顶点 C .

( 1) 设 Rt △C B D 的面积为 S1, Rt △B F C 的面积为 S2, Rt △D C E 的面积为 S3, 则 S1 S2+S3( 用“>

” “= ” “< ”填空) ;

( 2) 写出图中的三对相似三角形, 并选择其中一对进行证明.

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【思路点拨】1 1 (1)由矩形BDEF知S1= BD· DE= 2 2 1 1 1 = FC· DE+ CE· DE= 2 2 2 FC· BF+CE· DE

EF· DE 1 2

=S2+S3. (2)△BCF∽△DBC∽△CDE,证明两个三角形相似, 利用“两个角对应相等的两个三角形相似”进 行证明.

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【自主解答】 (1)= (2)△BCF∽△DBC∽△CDE. 选△BCF∽△CDE,证明如下: 在矩形ABCD中,∠BCD=90°,又点C在边EF上, ∴∠BCF+∠DCE=90°. 在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°, ∴∠CBF+∠BCF=90°,∴∠CBF=∠DCE, ∴△BCF∽△CDE.

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1.(2010· 漳州中考)已知△ABC∽△DEF,且相似比AB︰DE=1︰2,则

△ABC的周长与△DEF的周长之比为(A.1︰2 ︰1 B.2︰1

)C.1︰4 D.4

【答案】 A2.(2013· 百色)如图,在边长为10 cm的正方形ABCD中,P为AB边上任 意一点(P不与A,B两点重合),连接DP,过点P作PE⊥DP,垂足为P,交 5 BC于点E,则BE的最大长度为 cm. 2 【答案】

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3.(2010· 三明中考)如图是小玲设计用手电来测量某古 城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从 点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处. 已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12 米,那么该古城墙CD的高度是 米.

【答案】 8

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4.在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边

上,当∠APD=90°时,求证:(1)△ABP∽△PCD;(2)BP· PC=AB· CD. 【证明】

(1)∵∠APD=90°,∴∠APB+∠CPD=90°.∵∠B=90°,∴∠BAP+∠APB=90°. ∴∠BAP=∠CPD.∴△ABP∽△PCD.

(2)∵△ABP∽△PCD,∴BP∶CD=AB∶PC.∴BP· PC=AB· CD.

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知识考点02三视图几何体的三视图是指从三个角度观察而得到的平面图.即:主视图、左视图、俯视图,即分别是从几何体的正面、左边、上面 三个方向观察得到的平面图形.

例2 (2012· 厦门中考)如图是一个立体图形的三视图,则这个立体图形是( )

A.圆锥 【答案】 A

B.球

C.圆柱

D.三棱锥

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5. ( 2013· 莆田中考) 如图是一个圆柱和一个长方体的几何 体, 圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上, 那么这个几 何体的俯视图可能是( )

【答案】

C

第二部分

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