《流体力学》 - 合肥工业大学 - 胡小春 - 曾亿山 - 答案

流体力学

注：题目有些不配套，仅供参考 1

第1章 绪论

1.1 若某种牌号的汽油的重度?为7000N/m3，求它的密度?。

7000N/m33

解：由???g得，????714.29kg/mg9.8m/m2?1.2 已知水的密度?=997.0kg/m3，运动黏度?=0.893×10-6m2/s，求它的动力黏度?。 解：v??得，?????997.0kg/m3?0.893?10?6m2/s?8.9?10?4Pa?s ?1.3 一块可动平板与另一块不动平板同时浸在某种液体中，它们之间的距离为0.5mm，可动板若以 0.25m/s的速度移动，为了维持这个速度需要单位面积上的作用力为2N/m2，求这两块平板间流体的动力黏度?。

解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度可计算为

duu0.25?1???500s ?3dyy0.5?10由牛顿切应力定律???du，可得两块平板间流体的动力黏度为 dy???dydu?4?10?3Pa?s

1.4上下两个平行的圆盘，直径均为d，间隙厚度为δ，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩T的表达式。

ωδd题1.4图

解：圆盘不同半径处线速度 不同，速度梯度不同，摩擦力也不同，但在微小面积上可视为常量。在半径r处，取增量dr，微面积 ，则微面积dA上的摩擦力dF为

dF??dA由dF可求dA上的摩擦矩dT

dur??2?r?dr dz?2???r3dr

dT?rdF?积分上式则有

? 2

T??dT??d202??????d4?rdr?

32?31.5 如下图所示，水流在平板上运动，靠近板壁附近的流速呈抛物线形分布，E点为抛物线端点，E点处dudy?0，水的运动黏度?=1.0×10-6m2/s，试求y=0，2，4cm处的切应力。（提示：先设流速分布u?Ay2?By?C，利用给定的条件确定待定常数A、B、C）

1m/syE0.04mD题1.5图

解：以D点为原点建立坐标系，设流速分布u?Ay2?By?C，由已知条件得C=0,A=-625,B=50

则u??625y2?50y 由切应力公式???dudu???(?1250y?50) 得???dydyy=0cm时，y=2cm时，y=4cm时，?3?0 ?1?5?10?2N/m2；?2?2.5?10?2N/m2；

1.6 某流体在圆筒形容器中。当压强为2×106N/m2时，体积为995cm2；当压强为

1×106N/m2时，体积为1000cm2。求此流体的压缩系数k。

解：由k?lim(??V?0?V1dV)???得 V?PVdP1?V1(1000?995)?10?6m3k???????0.5?10?8Pa?1 ?636262V?P995?10m2?10N/m?1?10N/m1.7 当压强增量为50000 N/m2时，某种液体的密度增长为0.02%，求此液体的体积弹性模数?。

解：由体积弹性模数公式??1dpdp?V?p?得 ?lim????V???k?V?0??V?dVd??p?p50000N/m2??????2.5?108Pa

?????0.02% 3

第2章 流体静力学

2.1 一潜水员在水下15m处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少？ 解：由p??h得，p?1000kg/m3?9.8m/s2?15m?1.47?105Pa

2.2 一盛水封闭容器，容器内液面压强po=80kN/m2。液面上有无真空存在？若有，求出真空值。

解：pa?1.01?105Pa>p0?0.8?105Pa，即存在真空 真空值pV?pa?p0?0.21?105Pa

2.3 如图，用U型水银测压计测量水容器中某点压强，已知H1=6cm，H2=4cm，求A点的压强。

解：选择水和水银的分界面作为等压面得

pa??1(H1?H2)?pA??2H2

故A点压强为pA?pa??1H1?H2(?1??2)?1.14?105Pa

2.4 如图示两容器底部连通，顶部空气互相隔绝，并装有压力表，p1＝245kPa，p2＝245kPa，试求两容器中水面的高差H。

解：由p1?p2??H得 ，H?p1?p2?(245?145)?103Pa??10.2m 1000kg/m3?9.8m/s22.5 水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的，以及置于缸筒内的一对活塞组成，缸内充满水或油，如图示：已知大小活塞的面积分别为A2，A1，若忽略两活塞的质量及其与圆筒摩阻的影响，当小活塞加力F1时，求大活塞所产生的力F2。

解：由

p1p2FA得，F2?12 ?A2A1A2

题2.3图 题2.4图 题2.5图

2.6如图示高H=1m的容器中，上半装油下半装水，油上部真空表读数p1=4500Pa，水下部压力表读数p2=4500Pa，试求油的密度?。

解：由题意可得pabs?pa?p1，pabs??g

HH???p2 22 4

解得??p2?pabs??gH2H2?836.7kg/m3

2.7 用两个水银测压计连接到水管中心线上，左边测压计中交界面在中心A点之下的距离为Z，其水银柱高度为h。右边测压计中交界面在中心A点之下的距离为Z+?Z，其水银柱高为h+?h。（1）试求?h 与?Z的关系。（2）如果令水银的相对密度为13.6，?Z=136cm时，求?h是多少？

题2.6图 题2.7图

解：（1）分别取左边测压计中交界面为等压面得，

?pa??1h??2?pA ?p??(z??z)?p??(h??h)2a1?A解得?h与?Z的关系为：?2?z??1?h （2）当?Z=136cm时，?h??2?z?10cm ?12.8 给出如图所示A、B 面的压强分布图。

（a）

（b）

题2.8图

（c）

解：

5

2.9 如图示一铅直矩形平板AB如图2所示，板宽为1.5米，板高h=2.0米，板顶水深h1=1米，求板所受的总压力的大小及力的作用点。

题2.9图 题2.10图

解：将坐标原点放在水面与直板延长线的交点，水平向右为O-x轴，竖直向下为O-y轴，建立直角坐标系O-xy，在y方向上h处取宽度为dh的矩形，作用力dF为

dF??hdA?1.5?hdh

在y方向上积分得总压力F为

h?h1h?h1F??hdF??h1.5?hdh?1.5?2[(h?h1)2?h1]?5.88?104N 2总压力的作用点为

hv??hdFF??h?h1h1.5?h2dhF?2.167m

02.10 如图示为一侧有水的倾斜安装的均质矩形闸门，其宽度b=2m，倾斜角??60，铰链中心O 位于水面以上C=1m，水深h=3m，求闸门开启时所需铅直向上的提升力T，设闸门重力G=0.196×105N。

解：建立坐标系O-xy，原点在O点，Ox垂直于闸门斜向下，Oy沿闸门斜向下，浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为

F??hCA??hbh? 2sin60设压力中心为D到ox轴的距离为zD，则有

bh3()h0JCChC2h12sin60zD??zC??????hbhsin?zCAsin602sin60()sin603sin602sin60sin60

当闸门转动时，F与G产生的合力矩与提升力T产生的力矩相等，则有

T(C?h)?bh2C2hh?C?(?)?G

tan602sin60sin603sin602tan60则T大小为

6

?bh2C?2h/3G9810?2?321?2?3/30.196?105T???????1.63?105N

sin2?C?h2sin1201?322.11 如图示，一水库闸门，闸门自重W=2500N，宽b=3m，闸门与支撑间的摩擦系数?=0.3，当水深H=1.5m时，问提升闸门所需的力T为多少？

解：将z轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门的交汇点 液面下深度h?z处微面积dA上的微液作用dF为

dF??hdA??hbdh

闸门上的总作用力为 F??H0dF???hbdh??BH2/2

0H由力平衡解得 T?W?F??2500?9922.5?12422.5N

2.12 在水深2m的水池下部有一个宽为1m，高为H=1m的正方形闸门OA，其转轴在O 点处，试问在A点处需加多大的水平推力F，才能封闭闸门？

题2.11图 题2.12图

解：将y轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 液面下深度h=y处微面积dA上的微液作用dF为

dF??hdA??hbdh

闸门上的总作用力为 F??2HHdF??2HH?hbdh?3? 2设压力中心为D到原点的距离为yD，则有

yD??21hdFF??H00?h2dh3?/2?1.56m

(2H?yD)F0.44F??6474.6N

H1由F'H?(2H?yD)F得 F'?2.13 如图示，a 和b 是同样的圆柱形闸门，半径R=2m，水深H=R=2m，不同的是图（a）中水在左侧，而图（b）中水在右侧，求作用在闸门AB上的静水总压力P 的大小和方向？（闸门长度（垂直于纸面）按1m计算）。

7

（a）

（b）

题2.13图

2.14 如图示，为一储水设备，在C点测得绝对压强为p=19600N/m2，h=2m，R=1m，求半球曲面AB 的垂直分力。

题2.14图

h解：由题意得2，解得

pAB?S?F?GpAB?p??h2?R2F?pAB?S?G?(p??)S???10257.33N

232.15 一挡水坝如图示，坝前水深8m，坝后水深2m，求作用在每米坝长上总压力的大小和方向。

解：竖直方向段：F1?4?0?hdh?16??8? 24448?60方向段：F2??hCA??(4?)?? 2sin60380方向段：F3??hC'A'??各作用力如图所示，

222??? 2sin80sin80F1'?F1?F2cos30?F3cos10?30?F2'?F2sin30?F3sin10?14.21?，

5作用在每米坝长上总压力的大小和方向为：F?33.2??3.25?10N，??25.35

2.16 挡水弧形闸门如图示，闸前水深H=18m,半径R=8.5m，圆心角θ=450，门宽b=5m。求作用在弧形门上总压力的大小和方向。

8

18mRθ

题2.15图 题2.16图

解：压力中心距液面为zC?9.5? 28.5?2，曲.面155面m积

A??R4b?8.5??5?33.4m2 4总作用力F在x，z向的分力Fx、Fz为

Fx?Ax?dFx??Ax6zdA??zA???zA(1?2/2)??1.49?10N xCzC??zdAx??zCAx??zCAsin45?3.59?106N

Fz??dFz??AzAz总压力为F?Fx2?Fz2?3.89?106N，与x轴的夹角为??arctanFZ?22.54 FX2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O作等速旋转。当露出桶底时，ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。圆筒未转动时，筒内水面高度为h。当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至Ho，贴壁液面上升至H高度。容器直径为D。）

ωHhH0OD

题2.17图

解：由回转抛物体的体积恰好是高度为h的圆柱体体积之半得：

?R22所以??H??R2?2R22?2g

12gH R9

第3章 流体运动学

3.1 已知流体的速度分布为ux?1?y；uy?t，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。

解：（1）将ux?1?y，uy?t带入流线微分方程

dxdy得 ?uxuydxdy ?1?yty2?c t被看成常数，则积分上式得xt?y?2y2?0 t=1时过（0,0）点的流线为x?y?2（2）将ux?1?y，uy?t带入迹线微分方程

dxdy??dt得 uxuydxdy??dt 1?ytt2?c2 解这个微分方程得迹的参数方程：x?(1?y)t?c1，y?2将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c1?0，c2?0。 带入上式并消去t可得迹线方程为：x?(1?y)2y

3.2 给出流速场为u?(6?xy?t)i?(xy?10t)j?25k，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。

解：根据加速度的定义可知：

222a?du?udx?udy?udz?u?u?u?u?u?????ux?uy?uz?

?y?z?tdt?xdt?ydt?zdt?t?xux?6?x2y?t2，uy??(xy2?10t)，uz?25

a在x,y,z向分速度如下：

ax?dux?ux?u?u?u?ux?xuy?xuz?x?2xy(6?x2y?t2)?x2(xy2?10t)?2t dt?x?y?z?t 10

ay?duydt??uy?xux??uy?yuy??uy?zuz??uy?t??y2(6?x2y?t2)?2xy(xy2?10t)?10az?duz?uz?u?u?u?ux?zuy?zuz?z?0 dt?x?y?z?tt=1时，点（3,0,2）的加速度为：a??88i?10j

3.3 已知流场的速度为ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。

解：将ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz带入流线微分方程

dxdydz??得 uxuyuzdz?dx??dxdydz?2kx?4kz??即?

dydz2kx2ky?4kz????2ky?4kz2??xz?c1k被看成常数，则积分上式得?2，将点（1，0，1）代入得c1?1,c2?0

yz?c??2?x2z?1?于是流线方程为?2

??yz?03.4 已知流场的速度为ux?1?At，uy?2x，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。

解：将ux?1?At，uy?2x带入流线微分方程

dxdy得 ?uxuydxdy?

1?At2xt被看成常数，则积分上式得x?(1?At)y?c t=to时通过（xo,yo）点，得c?x0?(1?At0)y0 于是流线方程为x?(1?At)y?x0?(1?At0)y0

3.5 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？ （1）ux??ky，uy?kx，uz?0。 （2）ux?

2222?yxu?，，uz?0。 yx2?y2x2?y211

（3）ur?k/r（k是不为零的常数），uθ?0。 （4）ur?0，uθ?k/r（k是不为零的常数）。

解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体??const，

?ux?uy?uz在直角坐标系中当???divu???u?0时，满足连续方程

?x?y?z（1）因

?ux?uy?uz???0，满足 ?x?y?z?ux?uy?uz?2xy?2xy（2）因???2??0，满足

?x?y?z(x?y2)2(x2?y2)2在圆柱坐标系中当

ur?ur?r?ru?u（4）因r?rr?r（3）因

ur?ur1?uθ?uz????0时，满足连续方程 r?rr???z1?uθ?uz1kk?????2?0?0，满足 r???zrrr1?uθ?uz1???0?0??0?0?0，满足 r???zr2233.6 三元不可压缩流场中，已知ux?x?yz，uy??(xy?yz?zx)，且已知z?0处

uz?0，试求流场中的uz表达式。

解：由不可压缩流场中连续方程

?ux?uy?uz???0得 ?x?y?z?uzdu??2x?x?z?z ?zdzz2?c，由z?0处uz?0得c=0 积分得uz??xz?2z2所以流场中的uz表达式为uz??xz?

23.7 二元流场中已知圆周方向的分速度为uθ??csin?，试求径向分速度ur与合速度2ru0。

解：对于平面二维流场，uz?0，连续方程为

ur?ur1?uθ???0，代入解方程 r?rr??22223.8 三元不可压缩流场中ux?x?z?5，uy?y?z?3，且已知z?0处uz?0，

试求流场中的uz表达式，并检验是否无旋？

12

解：由连续方程

?udu?ux?uy?uz???0得 z??2x?2y?z

?zdz?x?y?z积分得uz??2(x?y)z?c，由z?0处uz?0得c=0 所以流场中的uz表达式为uz??2(x?y)z

1?ux?uz1?uz?uy1?uy?ux??(?)?2z由于?x?(，?z?(?)??2z，y?)?0

2?z?x2?y?z2?x?y可见该流体运动是有旋的

3.9 已知二元流场的速度势为??x2?y2

（1）试求ux，uy并检验是否满足连续条件和无旋条件。 （2）求流函数。 解：（1）ux??????2x，uy???2y ?x?y?ux?uy1?uy?ux由于??2?2?0，满足连续方程；由于?z?(?)?0，无旋

?x?y2?x?y（2）ux???????2y ②?2x ①；uy?? ?x?y积分式①得 ??????ydy?f(x)?2xy?f(x) ③

???2y?f'(x)?2y，可以判定f’(x)=0,f(x)=c ?y将式③对x求偏导，并令其等于?uy，即

即流函数为：??2xy?c

3.10 不可压缩流场的流函数为??5xy （1）证明流动有势，并求速度势函数。

（2）求（1，1）点的速度。 解： ux???????5y ?5x，uy???x?y1?uy?ux（1）由于?z?(?)?0，无旋即有势

2?x?y 13

ux??????5x，uy???5y ?x?y由于d????????dx?dy?dz?uxdx?uydy?uzdz ?x?y?z对上式作不定积分得速度势函数：

????5x25y2???d???(dx?dy)??(uxdx?uydy)???c

?x?y22（2）（1，1）点的速度为ux?1?5，uy?1??5

22223.11 已知ux?xy?y，uy?x?yx，试求此流场中在x?1，y?2点处的线变率、

角变率和角转速。

2222解：由ux?xy?y，uy?x?yx，x?1，y?2

线变率为：?x??u?ux=2xy=4，?y?y=?2xy=?4 ?x?y1?uy?ux113角变率为：?z?(?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)?

2?x?y222角转速为：?z?1?uy?ux117(?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)?? 2?x?y222r2)]，umax为管轴处最大流速，r03.12 已知圆管过流断面上的速度分布为u?umax[1?(r0为圆管半径，r为某点距管轴的径距。试求断面平均速度u。

解：断面平均速度u??udA?Ar0A?0r02r04r32?umax(r?2)dr2?umax(?2)r024r0umax ??22?r0?r02123Q0ab12c3dCABQ

题3.13图 题3.14图

DQQQ

3.13 管路AB在B点分为两支，已知dA=45cm，dB=30cm，dC=20cm，dD=15cm，

14

vA=2m/s，vC=4m/s，试求vB，vD。

解：由公式Q?Au?const得

2AAvAdAvAAvA?ABvB，得vB??2A?4.5m/s

ABdB22AAvA?ACvCdAvA?dCvCAAvA?ACvC?ADvD，得vD???10.9m/s 2ADdD3.14 送风管的断面面积为50cm×50cm，求通过a,b,c,d四个送风口向室内输送空气。已知送风口断面面积为40cm×40cm，气体平均速度为5m/s，试求通过送风管过流断面1-1、2-2、3-3的流速和流量。

解：由于a,b,c,d四个送风口完全相同，则Qa?Qb?Qc?Qd?流断面1-1、2-2、3-3的流量分别为：

1Q0 4311Q1?1?Qb?Qc?Qd?Q0，Q2?2??Qc?Qd?Q0，Q3?3?Qd?Q0

424v?12.8m/s 由Av1?4A2v，得四个送风口的流速为

由Av1?A2v?Av11?1得，断面1-1流速v1?1?Av1?A2v?9.6m/s

A1Av1?2A2v?6.4m/s

A1由Av1?2A2v?Av12?2得，断面2-2流速v2?2?断面3-3流速v3?3?A2v?3.2m/s A1 15

第5章 圆管层流和缝隙流

5.1 管道直径d=100mm，输送水的流量为10kg/s，如水温为50C，试确定管内水流的流态。如用这管道输送同样质量的石油，已知石油的密度ρ=850kg/m3，运动粘性系数ν=1.14cm2/s，试确定石油的流态。

解：50C时，水的运动粘性系数ν=1.52×10-6m2/s，u?4Q 2??d水的雷诺数Re为：Re?ud4Q ?vv??d?4?10kg/s?84000?13800，紊流

1.52?10-6m2/s?1000kg/m3?3.14?0.01mud4?10kg/s??1314.6?2320，层流 -423v1.14?10m/s?850kg/m?3.14?0.01m石油：Re?5.2 有一梯形断面的排水沟，底宽b=70cm，断面的边坡为1：1.5，当水深h=40cm，断面平均流速u=5.0cm/s，水温100C，试判别此时的水流形态。如果水深和水温都保持不变，问断面平均流速减到多少才是层流？

11.5hb

题5.2图

解：100C时，水的运动粘性系数ν=1.31×10-6m2/s 水力直径为d?4A??(70?2?60?70)?40/2?24.27cm

2?1052?70Re?ud0.05m/s?0.2427m??9264.8，2320?Re?13800，层流和紊流都可能存在 v1.31?10-6m2/sudRev2320?1.31?10?6?Re?2320，故u???1.2522cm/s 水流为层流时vd0.24275.3 设圆管直径d=200mm，管长l=1000m，输送石油流量Q=40L/s，运动粘度ν=1.6cm2/s，

试求沿程损失hf 。

Lu76Lu238vl4Q???2?19.75m 解：沿程损失为hf??2d2gRed2ggd?d5.4 在长度l=10000m，直径d=300mm的管路中输送重度为9.31kN/m3的重油，其重量流量Q=2371.6kN/h，运动粘性系数ν=25cm2/s，判断其流态并求其沿程阻力损失。

21

2

解：雷诺数Re?ud4Q，流速u??1m/s， 2v??dud4Q4?2371.6?103/3600所以Re????120?2320，层流 ?43vv??d25?10?9.31?10?3.14?0.376Lu276100001沿程阻力损失为：hf?????1077.1m

Red2g1200.32?9.85.5 润滑油在圆管中作层流运动，已知管径d=1cm，管长l=5m，流量Q=80cm3/s，沿程损失hf=30m(油柱)，试求油的运动粘度ν。

解：由于流速为u?4Q38vlh??u ，沿程损失f?d2gd2故v?hfgd238lu?hfg?d438?4Ql?1.52?10?4m2/s

5.6 阻尼活塞直径d=20mm，在F=40N的正压力作用下运动，活塞与缸体的间隙为

δ=0.1mm，缸体长l=70mm，油液粘度μ=0.08Pa.s，试求：活塞下降的速度。

解：压力差为?p?F40N??127388.5Pa S?0.022/4m2?dh3由同心环形缝隙流流量公式Q??p?8.93?10?8m3/s

16?LQ8.93?10?8uA1?Q，所以u???2.84?10?4m/s 2A1?0.02/4Fd1 p1,μ,ρ δdδlPo=0δ

Do

题5.6图 题5.7图

5.7 直径Do=30mm的圆盘，其中心有一直径d1=5mm的小孔，圆盘与平板的间距为?=1mm，由小孔注入ρ=9000kg/m3，μ=0.15Pa.s，p1=0.9×105Pa的液压油，求通过间隙的流量Q，并求出压力沿半径的变化规律。

?h3?p解：此题为平行圆盘缝隙径向流中的放射流动问题，根据流量公式Q?得

6?ln(R0r0) 22

3.14?0.0013?0.9?105Q???1.76?10?4m3/s

6?ln(D0d1)6?0.15ln(305)由p????3?p6?Q??3lnr?c，带入r?D05时p0?0得，c??2.12?10 2即p??0.5?105lnr?2.12?105Pa

5.8 如图所示的强制润滑的轴承，轴径12cm，轴向载荷F=5×104N，中央凹部的直径是4cm，若用油泵通入Q=0.1×10-3m3/s的油液时，泵供油压力应为多大？轴和轴承之间的间隙应是多少？（设μ=9.8×102 Pa.s）。

2?r02)3?Q22?(R0解：由p2?0，轴向载荷Fy?3(R0?r0)?p1

h2ln(R0r0)2Fln(R0r0)2?5?104ln(12/4)得泵供油压力为p1???1.0928?107Pa 2222?(R0?r0)?(0.06?0.02)??3?p由Q?得

6?ln(R0r0)6Q?ln(R0r0)6?0.1?10?3?9.8?102ln(62)????0.18816?10?7m3 7??p?1.0928?103所以轴和轴承之间的间隙为??2.66mm

5.9 直径d=25mm的油缸中有长度l=150mm的柱塞，两端作用的压力差为196kN/m2，油液的动力粘度μ=0.147Pa.s，求缝隙中的泄漏量：

（1）柱塞有4个a=3mm,b=1.5mm的沟槽时；

（2）没有沟槽，但柱塞和缸壁间的环形通道面积与上述4个沟槽的总面积相同时。

abdFl

题5.8图 题5.9图 5.10 当圆盘转数n=400r／min时，试确定圆盘的摩擦力矩M，已知腔体间隙h=0.5mm，油的粘度为μ=0.07Pa.s，圆盘尺寸为d=20mm，D=110mm。 (设流体只随圆盘作圆周运动)。

解：在r处取增量dr，则

du?r2???r2dF??dA??dA???2?r?dr?dr

dyhh 23

2???r3dT?rdF?dr

h3???r422???r所以T??dT??ddr?h2h2DD2?0.084N?m

d25.11 图示的滑动轴承工作原理图，动力粘度μ=0.14Pa.s的润滑油，从压力为

po=1.6×105Pa的主管径lo=0.8m，do=6mm的输油管流向轴承中部的环形油槽，油槽宽度b=10mm，轴承长度L=120mm，轴径d=90mm，轴承内径D=90.2mm。假定输油管及缝隙中均为层流，忽略轴的影响，试确定下述两种情况下的泄漏量。 （1）轴承与轴颈同心；

（2）相对偏心距e=0.5。

题5.10图 题5.11图 解：设环形缝隙进出口地压力分别为p1和p2，且p2=0，

?d04?d4主管径为圆管，由圆管流量公式得主管径流量：Q1??p?(p0?p1)

128?L128?l0D?dD?d3()?dh22Q2?2??p?2?p1 （1）由同心环形缝隙流流量公式得缝隙流量：

16?L16?(L?b)/23?由Q?Q1?Q2得p1?1.57453?105Pa，代入流量公式得Q?7.23?10m/s （2）偏心率??0.5，偏心环形缝隙流的流量公式得缝隙流量：

?73D?dD?d3()?dh22Q2'?2??p(1?1.5?2)?2?p1(1?1.5?2) 16?L16?(L?b)/23?由Q?Q1?Q2'得p1?1.56514?10Pa，代入流量公式得Q?9.9?10m/s 5.12 液体粘度为μ，密度为ρ，在重力作用下沿一斜板流动。斜板与水平面的倾角为θ，

宽度无限大，液层厚度h，流动是恒定的，并平行于板面，不计流体和空气间的摩擦，试推导液层内的速度分布，并导出板面的切应力和平均流速计算式。

5?73 24

题5.12图

解：建立直角坐标系O-xy，Ox轴垂直于斜板向上，Oy轴沿斜板向下 已知沿斜面流动恒定，可知

?Fx?0，即在x方向上，重力分量=粘性摩擦力

在y处，取微元体，则??gysin??C1??dudy

u???gsin?2C1y?y?C2 2???0;???dudy?0，

y?h液膜两侧分别与固壁和大气接触，其边界条件可表述为uy?0y?h代入上式得积分常数C2?0，C1??ghsin?，于是得板面流动的切应力和速度分布为

???gysin?(1?)，u?hyh?gsin?(2hy?y2) 2?1?gh2sin?平均流速为um??udy?

h03? 25

第6章 圆管紊流和孔嘴流

6.1 有一水管，直径为305mm，绝对粗糙度为0.6mm，水温为10°C，设分别通过流量为60L／s和250L／s，并巳知当流量为250L／s时，水力坡度(水力坡度i等于液流落差Δh与路途l或水平距离l?之比，即i??hl??hl?。)为0.046，试分别判别两者的流态和流区。

解：10°C时，水的运动粘性系数ν=1.31×10-6m2/s，相对粗糙度为

?0.6??0.001967 d305u1d60?10?3Re??19092， ?0.82m/s（1）流量为60L／s时，u1?，雷诺数1v??0.3052/4紊流光滑管区

u2d250?10?3Re??79626， ?3.42m/s（2）流量为250L／s时，u2?，雷诺数22v??0.305/4紊流粗糙管过渡区

6.2 设有两条材料不同而直径均为l00mm的水管，一为钢管 (当量粗糙度为0.46mm)，另一为旧生铁管(当量粗糙度为0.75mm)，两条水管各通过流量为20L／s。试分别求两管系数的沿程阻力并判别流区。

解：取10°C的水为研究对象，水的运动粘性系数ν=1.31×10-6m2/s

udQ20?10?3Re??19466 ??2.55m/s水的流速u?，得雷诺数

v?d2/4?0.12/4?0.46??0.0046，查图，（III）?1?0.028，沿程阻力hf?0.093m d100?0.46?0.0075，查图，对生铁管?（IV）?1?0.042，沿程阻力hf?0.139m

d100对钢管

6.3 有一圆管，直径为40mm，长5m，当量粗糙度0.4mm，水温为20°C，问当分别通过流量为0.05L／s，0.2L／s和6.0L／s时，沿程水头损失各是多少?

解：20°C时，水的运动粘性系数ν=1×10-6m2/s，相对粗糙度为

?0.4??0.01 d40u1dQ0.05?10?3Re??1600， ??0.04m/s（1）流量为0.05L／s时，u1?，122v?d/4?0.04/464lu2?0.04，沿程水头损失为hl??层流，???0.41mm Red2gu2dQ0.2?10?3Re??6400， ??0.16m/s（2）流量为0.2L／s时，u2?，222v?d/4?0.04/40.3164lu2?0.035，沿程水头损失为h2??紊流，???5.7mm

Re0.25d2g 26

u3dQ6.0?10?3Re??2?105， ??4.78m/s（3）流量为6.0L／s时，u2?，322v?d/4?0.04/4lu2紊流，??0.039，沿程水头损失为h3???5.68m

d2g6.4 一矩形风道，断面为1200mm×600mm，通过45°C的空气，风量为42000m3／h.风道壁面材料的当量绝对粗糙度△=0.1mm，在l=12m长的管段中，用倾斜30°的装有酒精的微压计测得斜管中读数α=7.5mm，酒精密度ρ=860kg／m3，求风道的沿程阻力系数λ。并与用莫迪图查得值进行比较。

解：空气的动力粘性系数μ=1.81×10-5Pa.s，空气密度为1.297kg/m3 风道当量直径de?4A??Q4?1200?600?800mm，流速u??16.2m/s

A2(1200+600)2g???h?deu2p2u2lu2?0.015 由伯努利方程：，解得???????2?'lu?2g?2gde2gp1Re??0.1?ude?0.000125，用莫迪图查得??0.0152 ?9.3?105，?de800?6.5 有一圆管，直径为100mm，当量粗糙度为2.0mm，若测得2m长的管段中的水头降

落为0.3m，水温为10°C。问此时是光滑管还是完全粗糙管?假如管内流动属于光滑管，问水头损失可减至多少？

6.6 如图所示从一平水箱中引出一条长50m，直径为100mm的管道，在管中间安装一个闸阀(处于半开)，局部阻力系数为2.5。当水头H=4.0m时，已知其沿程阻力系数为0.025，试求此时的流量，井绘出水管的总水头线和测压管水头线。

u2u2lu2解：进口损失系数为0.5，所以由H?0.5得， ?2.5?0.0252g2gd2g流速u?2.25m/s

流量为Q?uA?0.0177m/s

水管的总水头线和测压管水头线为：

6.7 有一如图所示的水平突然扩大管路，已知直径d1=5cm，直径d2=10cm，管中水流量Q=0.02m3／s。试求U形水银压差计中的压差读数△h。

3

题6.6图 题6.7图

解：U形水银压差计两口之间伯努利方程为：

27

p122u12u2p2u2 ??????2g2g?2g局部阻力系数??(A2QQ?1)2?9，流速u1??10.19m/s，u2??2.55m/s A1A1A2由

p1?p2?2210u2u12(?1??2)g?h10u2?u12得， ???2g2g?2g2g2?2(10u2?u12)所以?h??157mm

2g(?1??2)6.8 流速由v1变到v2 的突然扩大管路，如分为两次扩大(如图所示)，中间流速v取何值时，局部阻力损失最小，此时局部阻力损失为多少?井与一次扩大时比较。

解：由于Av11?Av?A2v2，

2222A2v1(v1?v)2?(v?v2)2Av2v2v22v2v2所以h??(?1) ?(?1)?(?1)?(?1)?A12gA2gv2gv22g2gdh?dh?v?v?2(v1?v)?2(v?v2)2v?(v1?v2)?0，得v?12 ，令??2dvdv2gg(v1?v)2?(v?v2)2(v1?v2)2此时局部阻力损失最小，h?? ?2g4g22A2v1(v1?v2)22v22v2一次扩大时，h?'?(?1)?(?1)??h?

A12gv22g2g所以为两次扩大局部阻力损失较小。

6.9如图所示，某管直径为200mm，流量为60L／s，该管原有一个90°C的折角，今欲减少其水头损失，拟换为两个45°的折角，或换为一个90°的缓弯(转弯半径R为1m)。问后两者与原折角相比，各减少局部水头损失若干?哪个减少得最多?

题6.8图 题6.9图

Q60?10?3??1.91m/s，局部水头损失分别为： 解：管中流速u?22?d/4?0.2/4u2u2290490hξ1??1?[0.946sin()?2.047sin()]?0.183m 2g222g 28

u2u2245445hξ2?2?2?2?[0.946sin()?2.047sin()]?0.067m， 2g222gu2u2h?3??3?0.132?0.025，?1?h?1?h?2?0.116m，?2?h?1?h?3?0.158m

2g2g所以一个90°的缓弯减少局部水头损失较多。 6.10 为测定90°弯管的局部水头损失系数ζ值，可采用如图所示的装置。巳知AB段管长为10m，管径为50mm，在阻力平方区情况下，沿程阻力系数λ为0.03。今通过流量为2.74L／s，管中水流处于阻力平方区，测得1、2两侧压管的水面高差h为62.9cm。试求弯管的局部水头损失系数ζ。

u2p2u2lu2u2解：列伯努利方程 ????????2g?2gd2g2gp1Q2.74?10?3??1.395m/s 其中流速u??d2/4?0.052/4弯管的局部水头损失系数为??2g?pl2gl???h???0.335

u2?du2d6.11 有一梯形断面渠道，已知底宽b=10m，均匀流水深h=3m，边坡系数m=1，土壤的

粗糙系数n=0.020，通过的流量Q=36m3／s。试求1km渠道长度上的沿程阻力损失hf。

解：水力直径d?4A??Q364?39?0.923m/s ?8.44m，流速u??A3910?6220°C时，水的运动粘性系数ν=1×10-6m2/s，雷诺数Re?粗糙系数n=0.020，查表得沿程阻力损失为??0.05

ud0.923?8.44??7.79?106 ?6v1?10lu2lu2所以沿程阻力损失为hf?????0.257m

d2gd2g

题6.10图 题6.12图

6.12水池中引出一根具有三段不同直径的水管，如图所示，已知直径d=50mm，D=200mm，l=100m，H=12m，局部阻力系数ζ进＝0.5，ζ阀＝5.0，沿程阻力系数λ＝0.03，求管中通过的流量和流态（水的运动粘度ν＝0.0101cm2/s）。

A2D22解：管径突扩时?1?(?1)?(2?1)2?9，管径突缩时?2?0.42

A1d

29

设水在粗管中的流速为u2?u，则在细管中的流速为u1?16u

22u12u2u12u125lu12lu22438.72u2由H?0.5解得 ?9?0.42?5?????2g2g2g2g2d2gD2g2gu?D2u?0.07674m/s，所以流量Q?uA??2.41?10?3m3/s

4u1d16?0.07674?0.054??6.1?10，紊流 ?6v1.01?10uD0.07674?0.24?1.53?10粗管中雷诺数为Re2?2?，紊流 ?6v1.01?10细管中雷诺数为Re1?6.13 测定一90°弯头的局部阻力系数如图所示，在A、B两断面接测压管，已知管路直

径d=50mm，AB段管长l=10m，流量Q＝2.74L/s，沿程阻力系数λ＝0.03，测压管水头差△h=0.629m，求弯头的局部阻力系数ζ值。（同6.10）

6.14 一薄壁圆形孔口恒定射流，孔口直径d=10mm，水头H=2m，垂直收缩系数ε=0.63，流量系数μ=0.62，求泄流量Q。

解：由于是恒定射流，所以Q?CdA2gH??d2?42gH?3.05?10?4m3/s

6.15 如图所示，用隔板将水流分成上、下两部分水体，已知小孔口直径d=20cm，v1≈v2≈0, 上下游水位差H=2.5m，求泄流量Q。

题6.13图 题6.15图

0.62?d22gH?1.36?10?1m3/s 解：泄流量Q?CdA2gH?46.16 如图所示，蓄水池长L=10m，宽b=5m，在薄壁外开一d=40cm的小孔，孔中心处的水头为3.0m。求水面降至孔口中心处所需的时间。

解：由于泄空口直径较大，取流量系数Cd=0.7

t?1CdA12g?h0h1AdzbL4bL?dz??2H?444.76s ?220zCd2g?d4zCd?d2g6.17 水经容器侧壁上的薄壁小孔口自由出流。已知小孔中心到水面的高度H?4m，孔口直径d?5cm，容器中水面上的相对压强p0?1?105Pa，若取流速系数??0.98，流量系数??0.62。试求孔口收缩断面上的流速及流量。

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