高等数学-第7章 微分方程

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解. 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。 通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同. 教 学 过 7.2 可分离变量的微分方程 程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (＊)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。 那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。 假定方程（＊）中的函数g(y)和f(x)是连续的。设 （＊）中得到恒等式 将上式两端积分，并由 设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数，于是有 G(y)=F(x)+C 因此，方程（＊）的解满足上式。 引进变量y ，得 是方程（＊）的解，将它代入 章节 第七章微分方程 §3 齐次方程 课时 2 教 学 掌握齐次微分方程的计算 目 的 教学 重点 及 齐次微分方程的计算 突出 方法 教学 难点 及 齐次微分方程的计算 突破 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教学思路、主要环节、主要内容 齐次方程的定义： 如果一阶微分方程 称这方程为齐次方程。 中的函数可写成的函数，即，则齐次方程的解法： 在齐次方程 （1）中，引进新的未知函数（2）就可化为可分离变量的方程。因为由（2）有代入方程（1），便得方程 教 学 过 例解方程 程 解 原方程可写成因此是齐次方程。令，则， 即 分离变量，得 两端积分，得 求出积分后，再用 代替u，便得所给齐次方程的通解。 于是原方程为 ；即 。 分离变量，得两端积分，得 或写为 以代入上式中的u，便得所给方程的通解为 。

章节 第七章微分方程 §4 一阶线性微分方程 课时 2 教 学 掌握一阶线性微分方程的计算 目 的 教学 重点 及 一阶线性微分方程的计算 突出 方法 教学 难点 及 待定系数法 突破 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

教学思路、主要环节、主要内容 一阶线性微分方程 定义：方程 （1）叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)＝0 则方程（1）称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的。 非齐次线性方程的解法 在（1）中，如Q(x)≠0，我们先把Q(x)换成零而写出 （2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程。方程（2）是可分离变量的，分教 离变量后得 学 未知函数u(x),即作变换 ，两端积分，得，或 ，这是对应的齐次线性方程（2）的通解。 现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解。把（2）的通解中的C换成x的， （3）于是 ,将 .（4） 两端积分，得 过 将（3）和（4）代入方程（1）得 程 把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解 . （5） ，将（5）式改写成两项之和 第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解，由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。 n伯努利方程：方程 dy/dx+P(x)y=Q(x)y(10)叫做伯努利（Bernoulli）方程. 当n=0或n=1时，这是线性微分方程。当n≠0或n≠1时，可把它化为线性的。只要-n1-n1-n以除方程（10）的两端,得ydy/dx+P(x)y=Q(x)。容易看出，上式左端第一项与d(y)/dx只差1-n-n一个常数因1-n，因此我们引入新的未知函数z=y，那末dz/dx=(1-n)ydy/dx。 用(1-n)乘方程（11）的两端，再通过上述代换得线性方程求出这方程的通解后，以

。 代z，便得到伯努利方程的通解。 章节 第七章微分方程 §6可降阶的高阶微分方程 课时 1 教 学 掌握几种特殊的可降阶的高阶微分方程的计算 目 的 教学 重点 及 特殊的可降阶的高阶微分方程的计算 突出 方法 教学 难点 及 特殊的可降阶的高阶微分方程的计算 突破 方法 相关 参考 资料 《《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教学思路、主要环节、主要内容 可降阶的高阶微分方程:有三种容易降阶的高阶方程： 型的微分方程 （1）方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程 .同理可得 . 依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1)的含有n个任意常数的通解。 型的微分方程 教 学 但是而方程就成为（2）方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末 .这是一个关于变量x, p 的一阶微分方程。设其通解为。 ，因此又得到一个一阶微分方程 。 过 程 (3)方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y’= p ，并利用复对它进行积分，便得到方程（2）的通解为 型的微分方程 合函数的求导法则把化为对y的导数，即. 这样，方程（3）就成为通解为， 。这是一个关于变量y, p 的一阶微分方程。设它的分离变量并积分，便得方程（3）的通解为。 章节 第七章微分方程 §7高阶线性微分方程 课时 1 教 学 掌握高阶线性微分方程的概念、解的理论 目 的 教学 重点 及 高阶线性微分方程的概念、解的理论 突出 方法 教学 难点 及 高阶线性微分方程的概念、解的理论 突破 方法 相关 参考 资料 《《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教学思路、主要环节、主要内容 高阶线性微分方程 我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为 为二阶非线性方程。 线性齐次方程解的结构: 二阶线性齐次方程的形式为： 定理：如果函数均是方程的解，那末 其中y\都是一次的，否则称也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。 线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。 问题：我们所求得的解是不是方程的通解呢？ 教 学 过 一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。 定义：设是定义在区间I的两个函数，如果，那末称此两函数在区间I线性相关，否则，即个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。 定理：如果之比不恒等于一是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。 线性非齐次方程解的结构 程 二阶线性非齐次方程的形式为: 对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 定理：设y是二阶线性非齐次方程应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程 我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下： 定理：设有线性非齐次方程 的解，那末与方程就是原方程的解。 .如果 分别是方程 的任一特解，Y是与该方程对的通解。

章节 第七章微分方程 §8 二阶常系数齐次线性微分方程 课时 2 教 学 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 突出 方法 教学 难点 及 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 突破 方法 相关 参考 资料 《《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教学思路、主要环节、主要内容 二阶常系数齐次线性微分方程 在二阶齐次线形微分方程 中，如果 （1） （2） 的系数P(x) ，Q(x)均为常数，即（1）式写成为 其中p,q是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线形微分方程。如果p,q不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线形微分方程。 当r为常数时，指数函数们用和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此我满足方程（2）。 来尝试，看能否选取适当的常数r ，使求导，得到和 教 将 把 （3） 就是微分方程（2）的解。我们把代数方程（3）叫做微代入方程（2），得，所以 学 由于 由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数分方程（2）的特征方程。 过 下面我们就通过研究特征方程（3）来研究微分方程的解。可得出求二阶常系数齐次线形微分方程 程 （2） 的通解的步骤如下： 第一步 写出微分方程（2）的特征方程 第二步 求出特征方程（3）的两个根。 （3） 第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 特征方程的两个根 微分方程的通解 两个不等的实根 一对共轭复根两个相等的实根 章节 第七章微分方程 §9二阶常系数齐次线性微分方程§11欧拉方程 课时 2 教 学 掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法 目 的 教学 重点 及 非齐次方程特解的确定 突出 方法 教学 难点 及 非齐次方程特解的确定 突破 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教学思路、主要环节、主要内容 二阶常系数非齐次线形微分方程 （1）其中p，q是常数。 因为求二阶常系数非齐次线形微分方程的通解归结为求对应的齐次方程 （2）的通解和非齐次方程（1）本身的一个特解，而二阶常系数齐次线形微分方程解法已在上一知识点中讲过，所以，在此我们就只讨论方程（1）的特解。当方程中f(x)取两种常见形式时，我们用待定系数法求 具有形如 型：如果。 教 学 ，则二阶常系数非齐次线形微分方程（1）是与同次（m次）的多项（4）的特解，其中式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0，1或2。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线形微分方程，但要注意（4）式中的k是特征方程含根的重复次数（即若不是特征方程的根，k取为0，若是过 特征方程的s重根，k取为s） 型: ，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）， （5）其中（或、 是程 如果的特解可设为 m次多项式，m=max{l , n}，而k按）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（5）式中的k是特征方程中含根（或）的重复次数。 欧拉方程：形如xny(n)+p1xn-1y(n-1)+…+pn-1xy/+pny=f(x)的方程，叫做欧拉方程。 作变换：x=et 或t=lnx 将方程化为二阶常系数非齐次微分方程求解。 章节 第七章微分方程 习题 课时 2 教 学 解决第七章的习题中存在的问题。 目 的 教学 重点 及 一阶线性微分方程，二阶常系数微分方程。 突出 方法 教学 难点 补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔思及 突破 路。 方法 相关 《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书参考 出版社 资料 教师授课思路、设问及讲解要点 教 学 处理第七章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习 资料的习题，开阔学生的解题思路。 过 程 分类讲解习题，提供解题方法及思路。

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