MATLAB概率习题

数学实验（概率论）题目一．用MATLAB计算随机变量的分布

1．用MATLAB计算二项分布

在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取20个产品，求其中有2个一级品的概率。 1． 用MATLAB计算泊松分布

用MATLAB计算：保险公司售出某种寿险保单2500份.已知此项寿险每单需交保费120元,当被保人一年内死亡时,其家属可以从保险公司获得2万元的赔偿(即保额为2万元).若此类被保人一年内死亡的概率0.002,试求:

(1)保险公司的此项寿险亏损的概率;

(2)保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率; (3)获利不少于20万元的概率. 3．用MATLAB计算均匀分布

乘客到车站候车时间??U?0,6?，计算P?1???3?。 4．用MATLAB计算指数分布

用MATLAB计算：某元件寿命?服从参数为?（?=1000）的指数分布.3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少? 5。用MATLAB计算正态分布 某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？ 二．用MATLAB计算随机变量的期望和方差 1．用MATLAB计算数学期望

（1）用MATLAB计算离散型随机变量的期望 1）。一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值 2）。已知随机变量X的分布列如下：p?X?k??（2）用MATLAB计算连续型随机变量的数学期望

假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量?（单位：吨），服从区间

?11 k?1,2,?n,?计算EX. 2k?1?a,b?上的均匀分布，其概率密度为： ?(x)???b?a??0计算我国该种商品在国际市场上年销售量的期望.E?.

a?x?b

其它（3）用MATLAB计算随机变量函数的数学期望

假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X（单位：吨），服从[20,40]上的均匀分布，已知该商品每售出1吨，可获利3万美元，若销售不出去，则每吨要损失1万美元，如何组织货源，才可使收益最大？ 2． 用MATLAB计算方差

1

（1）利用MATLAB计算：设有甲、乙两种股票，今年的价格都是10元，一年后它们的价格及其分布分别如下表： X(元) P

Y(元) P 6 0.3 8.6 0.5 23 0.2 8 0.4 12.1 0.5 15 0.1 试比较购买这两种股票时的投资风险.。

（2）计算：1（2）中我国商品在国际市场上的销售量的方差.。 3． 常见分布的期望与方差

（1）求二项分布参数n?100,p?0.2的期望方差； （2）求正态分布参数MU?100,SIGMA?0.2的期望方差。

数学实验（概率论） 班级 学号 姓名

一．用MATLAB计算随机变量的分布 1．用MATLAB计算二项分布

当随变量X?B?n,p?时，在MATLAB中用命令函数

Px?binopdf(X,n,p)

计算某事件发生的概率为p的n重贝努利试验中，该事件发生的次数为X的概率。 1 在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取20个产品，求其中有2个一级品的概率。

解 >>clear

>> Px=binopdf(2,20,0.2) Px =

0.1369

即所求概率为0.1369。

2．用MATLAB计算泊松分布

当随变量X?P???时，在MATLAB中用命令函数

P?poisspdf(x,lambda)

计算服从参数为lambda的泊松分布的随机变量取值x的概率。用命令函数

P?poisscdf(x,lambda)

计算服从参数为lambda的泊松分布的随机变量在?0,x?取值的概率。

2 用MATLAB计算：保险公司售出某种寿险保单2500份.已知此项寿险每单需交保费120元,当被保人一年内死亡时,其家属可以从保险公司获得2万元的赔偿(即保额为2万元).若此类被保人一年内死亡的概率0.002,试求:

2

(1)保险公司的此项寿险亏损的概率;

(2)保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率; (3)获利不少于20万元的概率.

利用泊松分布计算. ??np?2500?0.002?5 (1) P(保险公司亏本)=

kP(30?2X?0)?1?P(X?15)?1??C2500??0.002??0.998?k?015k2500?k

5k?5=1??e

k?0k!15>> clear

>> P1=poisscdf(15,5) P1 =

0． 9999

5k?5即 ?e= P1 =0．9999

k?0k!15故 P(保险公司亏本)=1-0.9999=0.0001 (2) P(获利不少于10万元)=

P(30?2X?10)?P(X?10)??Ck?010k2500??0.002??0.998?k2500?kk ??C2500k?0105k?5=?e k?0k!10>>P=poisscdf(10,5) P =

0.9863

5k?5即 ?e=0.9863

k?0k!10（3） P(获利不少于20万元)=

P(30?2X?20)?P(X?5)??Ck?05k2500??0.002??0.998?k2500?k5k?5 =?e k?0k!5>>P=poisscdf(5,5) P =

0.6160

5k?5即 ?e= 0.6160

k?0k!5 3

3．用MATLAB计算均匀分布

当随机变量X?U?a,b?时，在MATLAB中用命令函数

P?unifpdf?x,a,b?

计算在区间?a,b?服从均匀分布的随机变量的概率密度在x处的值。用命令函数 P?unifcdf?X,a,b?

计算在区间?a,b?服从均匀分布的随机变量的分布函数在X处的值。

3．乘客到车站候车时间??U?0,6?，计算P?1???3?。 解 P?1???3??P???3??P???1? >>p1=unifcdf(3,0,6) p1 = 0.5000

>>p2=unifcdf(1,0,6) p2= 0.1667 >>p1-p2 ans =0。3333

即 P?1???3?=0.3333

4．用MATLAB计算指数分布

当随变量X?E???时，在MATLAB中用命令函数

P?exppdf?x,lamda?

计算服从参数为?的指数分布的随机变量的概率密度。用命令函数

P?expcdf?x,lamda?

计算服从参数为?的指数分布的随机变量在区间?0,x?取值的概率。

?14 用MATLAB计算：某元件寿命?服从参数为?（?=1000）的指数分布.3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少?

解 由于元件寿命?服从参数为?（?=1000）的指数分布， P(??1000)?1?P(??1000) >>p=expcdf(1000,1000)

4

?1?1

p =0。6321 >>1-p ans = 0.3679

即 P(??1000)?1?P(??1000)= 0.3679 >>p2=binopdf(3,3,0.3679) p2 = 0.0498

即3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为0.0498。

5。用MATLAB计算正态分布

2当随变量X?N?,?时，在MATLAB中用命令函数

?? P?normpdf?K,mu,sigma?

计算服从参数为?,?的正态分布的随机变量的概率密度。用命令函数

P?normcdf?K,mu,sigma?

计算服从参数为?,?的正态分布的随机变量的分布函数在K处的值。

5 用MATLAB计算：某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？。

解 设随机变量?为设备寿命，由题意?~N(10,2) P(??9)?1?P(??9) >>clear

>> p1=normcdf(9,10,2) p1 =0。3085 >>1-p1

ans = 0.6915

2二．利用MATLAB计算随机变量的期望和方差

1． 用MATLAB计算数学期望

（1）用MATLAB计算离散型随机变量的期望

通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程序进行计算：

X?[x1,x2,?,xn];P?[p1,p2,?,pn];EX?X*P?

5

对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算公式为：

E(X)??xipi

i?0?可用如下程序进行计算：

EX?symsum(xipi,0,inf)

1（1）1） 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值

解 将产品产值用随机变量?表示，则?的分布为：

产值? 6 5.4 5 4 0 概率p 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04

； 4???65.4540?； p??0.70.10.10.06.?00E???*p' E?? 5.4800

即产品产值的平均值为5.48.

1（1）2） 已知随机变量X的分布列如下： p?X?k??1 k?1,2,?n,?计算2kEX.

解 ?EX??kk?1?1 2ksymsk

symsum(k*(1/2)^k,k,1,inf)

ans? 2

即 EX?2

（2）用MATLAB计算连续型随机变量的数学期望

若X是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：

EX??????xf(x)dx

程序如下：

EX?int(x*f(x),?inf,inf)

1（2）假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量?（单位：吨），服

?1?从区间?a,b?上的均匀分布，其概率密度为： ?(x)??b?a??0计算我国该种商品在国际市场上年销售量的期望.E?.

6

a?x?b

其它

解 E??????xf?x?dx??xab1dx b?aclearsymsxab

E?=int(x/(b?a),x,a,b) E? =1/2/(b-a)*(b^2-a^2)

即 E?=(a?b)/2

（3）用MATLAB计算随机变量函数的数学期望

若g(X)是随机变量X的函数，则当X为离散型随机变量且有分布律

，2?）时，随机变量g(X)的数学期望为： P{X?xk}?pk(k?1,2,?n或k?1E[g(X)]??g(xk)pk

k?0?其MATLAB计算程序为：

E[g(X)]?symsum(g(xk)*pk,0,inf)

当X为连续型随机变量且有概率密度?(x)时，随机变量g(X)的数学期望为：

E[g(x)]??g(x)?(x)dx

????其MATLAB计算程序为：

EX?int(g(x)*f(x),?inf,inf)

1（3）假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X（单位：吨），服从[20,40]

上的均匀分布，已知该商品每售出1吨，可获利3万美元，若销售不出去，则每吨要损失1万美元，如何组织货源，才可使收益最大？

解 设y为组织的货源数量，R为收益，销售量为?.依题意有

??y3y?R?g(?)??

??y3??(y??)???y?3y化简得 g(?)??

??y4??y?又已知销售量?服从[20,40]上的均匀分，即

?1????(x)??20??0于是 E(R)?E[g(?)]?? ?????20?x?40其它

g(x)?(x)dx

140g(x)dx ?2020 7

1y140(4x?y)dx?3ydx ??20y2020>>clear;symsxy

?>>EY=1/20*(int((4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40))

1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 将其化简，

>>simplify(1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)) -1/10*y^2-40+7*y

再对y在区间?20,40?上求最大值，在命令窗口输入 >>fminbnd('1/10*x^2?7*x?40',20,40)

3.5000e+001

即当组织35吨货源时，收益最大。

(注： simplify（f）是对函数f化简；fminbnd(‘f’,a,b)是对函数f在区间[a,b]上求极小值。要求函数的极大值时只需将‘f’变为 ‘-f’)

2． 用MATLAB计算方差

计算方差的常用公式为：D(X)?E(X2)?[E(X)]2

，2?）若离散型随机变量X有分布律P{X?xk}?pk(k?1,2,?n或k?1，

其MATLAB计算程序为

X?[x1,x2,?,xn];P?[p1,p2,?,pn];EX?X*P?;

D(X)?X.2*P??EX^2

若X是连续型随机变量且密度函数为f(x)，则方差的MATLAB计算程序为

EX?int(x*f(x),?inf,inf);

D(X)?int(x2*f(x),?inf,inf)?EX^2

2（1）用MATLAB计算：设有甲、乙两种股票，今年的价格都是10元，一年后它们的价格及其分布分别如下表： X(元) P

Y(元) P 6 0.3 8.6 0.5 23 0.2 8 0.4 12.1 0.5 15 0.1 试比较购买这两种股票时的投资风险.

解 两公司的股票价格都是离散型随机变量.先计算甲公司股票的方差，在MATLAB命令窗口输入

X?[8,121,15];P?[0.4,0.5,0.1];EX?X.*P?;

?DX?X.^2*P?EX^2 DX?5.7425 DY?39.09

8

相比之下，甲公司股票方差小得多，故购买甲公司股票风险较小。

2（2） 用MATLAB计算：1（2）中我国商品在国际市场上的销售量的方差.

解 已知销售量为?a,b?上均匀分布，即密度函数为

?1??(x)??b?a??0在MATLAB命令窗口输入

cleara?x?b

其它symsxab

E?=int(x/(b?a),x,a,b)；

D??int(1/(b?a)x^2,x,a,b)?E?^2

1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2

将其化简，

simplify(1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2)

1/12*a^2-1/6*b*a+1/12*b^2

即 ?b?a?/12，这与前面的结论是一致的。

3． 常见分布的期望与方差

常见分布的期望与方差可以调用如下函数完成（表3.1） 分布类型名称 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布 连续均匀分布 指数分布 正态分布 函数名称 Binostat Geostat Hygestat Poisstat Unifstat Expstat Normstat Tstat Chi2stat fstat 函数调用格式 [E,D]= Binostat(N,P) [E,D]= Geostat(P) [E,D]= Hygestat(M,K,N) [E,D]= Poisstat(?) [E,D]= Unifstat(N) [E,D]= Expstat(MU) [E,D]= Normstat(MU,SIGMA)) [E,D]= Tstat(V) [E,D]= Chi2stat(V) [E,D]= fstat(V1,V2) 2t分布 ?2分布 F分布

3（1） 求二项分布参数n?100,p?0.2的期望方差 解 程序如下

n?100;p?0.2;

[E,D]?binostat(n,p)结果显示

E=20 D=16

3（2）求正态分布参数MU?100,SIGMA?0.2的期望方差 解 程序如下

MU?6;SIGMA?0.25;

[E,D]?normstat(MU,SIGMA)

9

结果显示

E= 6 D=0．062 5

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