高三数学查漏补缺试题含答案解析

第6页 共8页 5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题

一、三角

1． 已知函数f (x )=32sin x cos x －2cos 2x +1.

(Ⅰ) 求f (π12

5)； (Ⅱ) 求函数f (x )图象的对称轴方程.

解： (Ⅰ)因为f (x ) ＝3sin2x －cos2x

＝ 2sin(2x －

6π) , 所以f (π12

5) ＝ 2sin 32π＝3. ……………………(7分) (Ⅱ) 令2x －6π= k π＋2

π(k ∈Z ), 得 x=3

2ππ+k , 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x=3

2ππ+k (k ∈Z ). ……………(14分) 2．已知函数f (x )=cos x.cos(x ?π3) (Ⅰ)求2(

)3

f π的值; (Ⅱ)求使 1()4f x <成立的x 的取值集合 解: (1) 4

1)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+?+?=?+??=x x x x x x f ππ

41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=?++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,

)2,2()6

2(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+?<+?<++=

.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈?ππππππππ所以不等式的解集是： 3．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设

π3A =，sin 3sin B C =.

（Ⅰ）若a =b 的值；

（Ⅱ）求tan C 的值. （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =，

由正弦定理 sin sin sin a b c A B C

==，

第6页 共8页 得 3b c =. ………………3分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3

A =

，a = ………………5分 得 227b c bc =+-， 所以 2

2

2()733b b b +-=， 解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin(

)3sin 3C C -=. ………………8分

1sin 3sin 2

C C C +=， ………………11分

5sin 2

C C =，

所以tan C = ………………13分 4．已知函数. (1)求的定义域；

(2)设是第二象限的角，且tan =，求的值.

二、数列

1.在等比数列{}n a 中，已知126a a +=，2312a a +=.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

1sin 2()cos x f x x

-=()f x αα3

4-()f

α

第6页 共8页 （Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且22b a =，44b a =，

求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.

解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，

由已知116a a q +=，21112a q a q +=， …………………2分 两式相除，得2q =. …………………4分

所以12a =， …………………6分

所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. …………………7分

（Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，

则14b d +=，1316b d +=， …………………9分

解得12b =-，6d =， …………………11分

1234100123499100()()()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- ………………12分

50300d =-=-. …………………13分

2．数列对任意 ，满足， .

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）若，求的通项公式及前项和． 解：（Ⅰ）由已知得 数列是等差数列，且公差

又，得，所以 ---------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，， 所以 --------------------14分

三、概率统计

1．育新中学的高二、一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名

同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

{}n a *N n ∈11n n a a 32a ={}n a 1

()3

n a n b n =+{}n b n 11n n a a {}n a 1d =32a =10a =1n a n =-11()3

n n b n -=+111(11)(2)()33n n S n -=++++???++211111(123)333

n n -=+++???+++++???+111()(1)33(1)3.122213

n n n n n n n S --+-+=+=+-

第6页 共8页 （Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的

试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

解：（Ⅰ）416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115

………………2分 设有x 名男同学，则45604

x =，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1…………4分 （Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有

121312123231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种

∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122

P =

=………………………8分 （Ⅲ）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 222

1

(6871)(7471)45s -+-==，22

22(6971)(7471) 3.25s -+-== ∴第二同学的实验更稳定………………………12分

2． 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现

音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12

，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.

根据题意，有

P (X ＝10)＝C 13×????121×????1－122＝38

， P (X ＝20)＝C 23×????122×????1－121＝38

， P (X ＝100)＝C 33×????123×????1－120＝18

， P (X ＝－200)＝C 03×????120×????1－123＝18

. 所以X 的分布列为：

第6页 共8页 P 38 38 18 18

(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则

P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18

. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－????183

＝1－1512＝511512

. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512

. (3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54

. 这表明，获得分数X 的均值为负．

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

四、立体几何

1．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O 是对角线与的交点，2AB =，60BAD ∠=，是的中点．

(Ⅰ)求证： OM ∥平面；

(Ⅱ)平面PBD ⊥平面PAC ；

(Ⅲ)当三棱锥C PBD -的体积等于3时，求PA 的长． 证明：（Ⅰ）因为在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，

所以OM ∥PB ．

又OM ?平面PAB ，PB ?平面PAB ，

所以OM ∥平面PAB ． ……………………5分

(Ⅱ)因为底面ABCD 是菱形，

所以BD AC ⊥．

因为PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，

所以PA BD ⊥．又AC

PA A =，

所以BD ⊥平面PAC ．

又BD ?平面PBD ， P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AC BD M PD PAB

第6页 共8页 所以平面PBD ⊥平面PAC ． ……………………10分

（Ⅲ）因为底面ABCD 是菱形，且2AB =，60BAD ∠=，

所以BCD S ?

又C PBD P BCD V V --=，三棱锥P BCD -的高为PA ，

所以13PA =

， 解得32

PA =． ……………………14分 2. 已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥'C ABDE -（如图）.

（Ⅰ）求证：DE ⊥平面'BC D ；

（Ⅱ）设平面'C DE 平面'ABC l =，求证：AB ∥l ；

（Ⅲ）若'C D BD ⊥，2AB =，3BD =，F 为棱'BC 上一点，设

'BF FC λ=，当λ为何值时，三棱锥'C ADF -的体积是1？

证明：（Ⅰ）∵∠B =90o ，D ，E 分别为BC ，AC 的中点

∴DE ∥AB ……………1分

∴'C D DE ⊥，BD DE ⊥ ……………3分

又∵'C D BD D = ……………4分

∴DE ⊥平面'BC D ……………5分

A B E D C C'D E F B

A

第6页 共8页

（Ⅱ）∵DE ∥AB ，DE ?面'C DE ， AB ?面'C DE ，

∴AB ∥面'C DE ， ……………7分 又∵AB ?面'ABC ，面'

ABC 面'C DE l = ……………9分

∴ AB ∥l ……………10分

（Ⅲ）∵'C D BD ⊥，'C D DE ⊥，ED

BD D =，

∴'C D ⊥平面BDE ． ∵

''1C DF BDF S C F S FB λ??==∴''1

1

C DF BC

D S S λ??=+ ……………11分 又因为BD =3，AB =2，'1C ADF V -=， ∴''''1111

'1113

C ADF A C DF A C DB C ADB ADB V V V V C DS λλλ----?==

==+++ 3

11λ

=

=+ ……………13分 解得2λ=． ……………14分

3．如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，

AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点， 2AB AF BC ===.

（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由. 解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ，

又GB GF =，所以//2AF GD .

因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是

平行四边形，

所以//CD EG

因为EG ?平面ABC ，CD ?平面ABC 所以//EG 平面ABC .

（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC 平面ACEF =AC ，

且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ，

所以AF AB ⊥，AF BC ⊥

因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .

A

B

E

D

C

C'

D

E

F

B

A

如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A xyz

-.

则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)

F B C E，

(0,2,0)

BC =是平面ABF的一个法向量.

设平面BEF的法向量(,,)

x y z

=

n，则

0,

0.

BE

BF

??=

?

?

?=

??

n

n

，即

20,

220.

y z

x z

+=

?

?

-+=

?

令1

y=，则2,2

z x

=-=-，所以(2,1,2)

=--

n, 所以

1

cos,

3

||||

BC

BC

BC

?

<>==

n

n

n

，由题知二面角E BF A

--为钝角，所以二面角E BF A

--的余弦值为

1

3

-.

（Ⅲ）因为(2,0,2)(2,2,1)20

BF AE

?=-=-≠，所以BF与AE不垂直,

所以不存在点G满足BF⊥平面AEG.

4．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B（如图（2））

在图形（2）中：

（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角E—DF—C的余弦值；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.

解：

法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB?平面DEF，EF?平面DEF.

∴AB∥平面DEF.……………………………………………………………………3分

（II）

∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角……………………4分

∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD

第6页共8页

第6页 共8页 取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD

过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF

∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角……………………6分

在Rt △EMN 中，EM =1，MN =2

3 ∴tan ∠MNE =23，cos ∠MNE =7

21………………………………8分 （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ……………………………………9分

证明如下：

在线段BC 上取点P 。使BC BP 3

1=，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴PQ ⊥平面ACD ………………………………………………………………10分 ∵3

3231==DC DQ 在等边△ADE 中，∠DAQ=30° ∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE …………………………………………………………12分

法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E

…………………………4分

平面CDF 的法向量为)2,0,0(=

设平面EDF 的法向量为),,(z y x n = 则?????=?=?0

0n DF 即)3,3,3(0

303-=?????=+=+z y y x 取……………………6分 7

21,cos =>=< 所以二面角E —DF —C 的余弦值为

721………………………………8分 （Ⅲ）在平面坐标系xDy 中，直线BC 的方程为323+-=x y 设)2,332,(),0,332,(--=-x x x x P 则

BC BP x DE AP DE AP 3

1340=?=?=??⊥∴………………10分

第6页 共8页 所以在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE …………………………………12分 另解：设3

32023),0,,(=∴=-=?y y y x P 则 又)0,32,(),0,,2(y x PC y x BP --=-=

323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x PC BP 把x y 3

1,34332=∴==代入上式得 所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE …………………………12分

五、导数

1. 已知曲线:C 2()2e 1ax f x x ax =--.

（Ⅰ）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线；

（Ⅱ）当1a =-时，求曲线C 与直线21y x =-的交点个数；

（Ⅲ）若0a >，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.

解：（Ⅰ）(0)1f =-，

因为'()(22)e 2ax f x ax ax =+-，所以'(0)2f =，

所以函数()f x 在(0,(0))f 处的切线为21y x =-.

（Ⅱ）当1a =-时，2()2e 1x f x x x -=+-

曲线C 与直线21y x =-的交点个数与方程(2e 2)0x x x -+-=的解的个数相同， 0x =显然是该方程的一个解.

令()2e 2x g x x -=+-，则'()2e 1x g x -=-+

由'()0g x =得ln 2x =

因为ln 2x <时'()0g x <，ln 2x >时'()0g x >

所以()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增

所以()g x 最小值为(ln2)ln21g =-，

因为ln2lne 1<=，所以(ln 2)0g <，

因为(0)0g =，2(2)2e 0g -=>，

第6页 共8页

所以()g x 的零点一个是0，一个大于ln2，

所以两曲线有两个交点.

（Ⅲ）'()2[(1)e ]ax f x ax ax =+-

因为0a >，所以当0x >时，0ax >，所以11,e 1ax ax +>>

所以'()2[(1)e ]2[(1)]20ax f x ax ax ax ax =+->+-=>

所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.

2．设函数()ln a f x x x

=+，a R ∈. （Ⅰ）当a e =(e 为自然对数的底数)时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）讨论函数()()3

x g x f x '=-

零点的个数； （Ⅲ）若对任意0m n >>，()()1f m f n m n

-<-恒成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －e x 2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；

当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增．

∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e

＝2， ∴f (x )的极小值为2. ----------------------------------------5分

（Ⅱ）由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －2a x －x 3

(x >0)， 令g (x )＝0，得a ＝－13

x 3＋x (x >0)， 设φ(x )＝－13

x 3＋x (x ≥0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，

当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；

当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．

∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，

∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23

. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知

①当a >23

时，函数g (x )无零点； ②当a ＝23

时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0

时，函数g (x )有两个零点； ④当a ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点（x >0）．

综上所述，当a >23

时，函数g (x )无零点； 当a ＝23

或a ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；

第6页 共8页 当0

时，函数g (x )有两个零点．-----------------------------------10分 （Ⅲ）对任意的0m n >>，()()1f m f n m n

-<-恒成立， 等价于()()f m m f n n -<-恒成立．(*)

设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋a x

－x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．

由h ′(x )＝1x －2a x

－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得a ≥－x 2＋x ＝－????x －122

＋14

(x >0)恒成立， ∴a ≥14 （对14a =，h ′(x )=0仅在 12

x =时成立），-------------------------14分 ∴a 的取值范围是???

?14，＋∞. 3．已知函数。直线经过点且与曲线相切。 （1）求切线的方程。

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的最大值。

（3）设，若函数有唯一的零点，求证。

(),()ln()x f x e g x x m ==+:l y kx b =+(1

0)P -，()y f x =l x ()kx b g x +≥m ()()()F x f x g x =-()F x 0x 0112-x <<-

第6页 共8页

4．知函数22,0()ln ,0

x x a x f x x x ?++<=?>?,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数 图象上的两点,且12x x <.

(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥; (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.

解:(Ⅰ)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A 处的切线斜率为)(1x f ',点B 处的切线斜率为)(2x f ', 故当点,A B 处的切线互相垂直时,有)(1x f '1)(2-='?x f

,

第6页 共8页 当x <0时,22)(+=x x f

因为021<+x , 因此1)22()22()]22()22([21212112=+?+-≥+++-=-x x x x x x ,

(当且仅当122)22(21=+=+-x x ,即231-=x 且2

12-=x 时等号成立) 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -≥.

(Ⅲ)当021<>x x 时,)(1x f ')(2x f '≠,故210x x <<.

当01

)()22()2(11121x x x a x x y -?+=++- 即 a x x x y +-+=2

11)22(.

当02>x 时,()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为 )(1ln 222x x x x y -?=- 即 1ln 122

-+?=x x x y . 两切线重合的充要条件是?????+-=-+=②①a x x x x 212

121ln 221,

由①及210x x <<知,2102

<

ln 222222--+-=--+=x x x x a , 令21x t =,则20<

12--= 设)20(ln 4

1)(2<<--=t t t t t h ,则023)1(1121)(2<--=--='t t t t t h 所以)20()(<h t h ,

所以2ln 1-->a ,

而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时,)(t h 无限增大,

所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.

故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.

第6页 共8页 六、解析几何

(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,

A ,连接AE ,

过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由

解: (1)因为椭圆过点P ∴22231a b

+= 且222a b c =+ ∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22

184

x y += (2)

由题意,各点的坐标如上图所示,

则QG 的直线方程:00008

08x x y y x x -

-=- 化简得20000(8)80x y x x y y ---=

又22

028x y +=, 所以00280x x y y +-=带入22

184

x y += 求得最后0?=

所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.

2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），

∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，

∴﹣b=﹣2，解得b=2．

又，a2=b2+c2，

∴a=4，，

可得椭圆C的标准方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，

可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，

直线PA的方程为：=k（x﹣2），

联立，

化为+4﹣16=0，

∴x1+2=，

同理可得：x2+2==，

∴x1+x2=，x1﹣x2=，

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第6页 共8页 k AB ===．

∴直线AB 的斜率为定值．

3. 已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．

(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

(Ⅱ)若l 过点(,)3

m m ，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形? 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．

解：(Ⅰ)设直线

将 于是直线OM 的斜率-9 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.

(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.

因为直线过点,所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是. 由(Ⅰ)得OM 的方程为. 设点P 的横坐标为, 与联立解得 即 将点的坐标代入的方程得,因此………8分 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .

()()()()1122:0,0,,,,,,.M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠()

22222229920,y kx b x y m k x kbx b m =++=+++-=代入得故12229,.299M M M x x kb b x y kx b k k

+-=

==+=++9,M OM OM M y k k k x k ==-=即l (,)3

m m l 0,3k k >≠9y x k

=-P x 9y x k =-

2229x y m +=2222981p k m x k =

+p x =(,)3m m l (3k)3m b -=2(3)3(9)

M km k x k -=+

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解得因为,

所以当的斜率为或

,四边形OAPB 为平行四边形. 4．已知椭圆C ：+（a ＞b ＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x ﹣y+=0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右顶点B 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且分别交椭圆C 于M ，N 两点，探究直线MN 是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由．

解：（I ）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，∴a 2=2b 2，

∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x ﹣y+

=0相切， ∴=b ，

∴b=1．∴a 2=2．

∴椭圆C 的方程为：．

（II ）由题意可知：直线l 1，l 2的斜率都存在，设直线l 1：y=k （x ﹣1），直线l 2：

， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立，化为（x ﹣1）[（2+k 2）x ﹣（k 2﹣2）]=0，解得x 1=，

y 1=，

把k 换成﹣，可得x 2=，，

∴k MN ==，

直线MN 的方程为：，化为，

∴直线MN 过定点

． 当k=±1时，M ，N ，此时直线MN 也过定点．

2(3)23(9)

km k k -=?+1244k k ==0,3,1,2i i k k i >≠=l 4

第6页 共8页 综上可得：直线MN 必过定点．

5． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程．

(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . ①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；

②当|TF ||PQ |

最小时，求点T 的坐标． 解：(1)由已知可得???a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，

解得a 2＝6，b 2＝2，

所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2

2

＝1. (2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，

则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）

＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m

.直线PQ 的方程是x ＝my －2. 当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得?????x ＝my －2，x 26＋y 22

＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，

其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.

所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3

， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3

. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为?

????－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m 3

， 又直线OT 的斜率k OT ＝－m 3

， 所以点M 在直线OT 上，

因此OT 平分线段PQ .

②由①可得，

|TF |＝m 2＋1，

|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]

＝（m 2＋1）???????

???4m m 2＋32－4·－2m 2＋3

第6页 共8页 ＝24（m 2＋1）m 2＋3

. 所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1

＝ 124?

???m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1

，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |

最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．

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