2017年全国各地中考数学模拟试卷精选汇编：矩形菱形与正方形

矩形菱形与正方形

一.选择题

1.（2017·江苏常州·一模）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为

AEFD3 27C．

5A．

B．

22 3D．2

BC答案：D

2.（2017·湖南岳阳·调研）设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3?a?4；④a是18的一个平方根；其中，所有正确说法的序号是（ ）

A. ①④； B. ②③； C. ①②④； D. ①③④； 答案：C

3．（2017·江苏江阴·3月月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，

AE⊥BC于点E，AE的长是 （ ）

AOBE第1题图

DC

B．25cm

C．

A．53cm 答案：D

48cm 5 D．

24cm 54．（2017·江苏江阴·3月月考）如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AG交BD于点F，连结EG、EF下列结论：①tan∠AGB=2 ②图中有9对全等三角形 ③若将△GEF沿EF折叠，则点G不一定落在AC上④BG=BF ⑤S四边形GFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（ ）

AOFBGEDC

第2题图

C．3个

D．4个

A．1个 答案：C

B．2个

5.（2017·江苏江阴长泾片·期中）下列命题是假命题的是（ ） A．菱形的对角线互相垂直平分 B. 有一斜边与一直角边对应相等的两直角三角形全等 C．有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形；D．对角线相等的四边形是矩形 答案：D

6.（2017·江苏江阴要塞片·一模）在平面中，下列命题为真命题的是（ ▲ ）

A．四边相等的四边形是正方形 B．四个角相等的四边形是矩形

C．对角线相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

答案：B

7. (2017·北京市朝阳区·一模)若正方形的周长为40，则其对角线长为

A．100 B．202 C．102 D．10 答案：C

8. (2017·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B?处，折痕为AE，过B?作B?P∥BC，交AE于点P，连接BP.已知BC＝3，CB??1，下列结论：①AB＝5；②sin?ABP?3；③四边形BEB?P为菱形；④S四边形BEB?P?S?ECB??1，其中正5确的是 .（把所有正确结论的序号都填在横线上）

第8题图

答案：①③④

9. (2017·合肥市蜀山区调研试卷)如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线满足：

（1）点D到直线的距离为1；（2）A、C两点到直线的距离相等，则符合题意

的直线的条数为：

A A.2

中~@%国教育出版网D C B.3 C.4 D.6 答案：C

B 第9题图

10.（2017·福建漳州·一模）正方形具有而菱形不具有的性质是 ( ) ．．．

A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等

答案：D

11.（2017·邗江区·初三适应性训练）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识

将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： AD甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形. BC对于甲、乙两人的作法，可判断（ ▲ ）

A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 答案：C

乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形. 12.（2017·重点高中提前招生数学练习）如图，四边形ABMN，BCPQ是两个全等的矩形（AB≤BC），点R在线段AC上移动，则满足∠NRP＝90°的点R有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 1个或2个 D. 无数多个 答案：C

【解析】设AB＝a，BC＝b，AR＝x.

∵∠A＝∠C＝∠NRP＝90°，∴△ANR∽△CRP， ∴

13．（2017·广东中山·4月调研）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）

A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 答案：A

ANARbx＝，即＝，∴x2－(a＋b)x＋ab＝0， RCCPa＋b－xa

14.（2017.河北博野中考模拟）如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半

圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为【 】

DCEAB（第14题图）

A．10?? B．8?? C．12?? D.6?? 答案：A

15． (2017?山东济南?模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90o，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，

C 以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是

A．2 C．4 答案：B

B．3 D．5

D

O E

B A

16. (2017?山东济南?网评培训)如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G 在线段CD上，连

接BG、DE，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b(a>b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③

DGGO；④(a?b)2?S?EFO?b2?S?DGO．其中结论正确的个数是 ?GCCEA．4个 B．3个 C．2个 D．1个

17．(2017·江苏无锡北塘区·一模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm， AE⊥BC于点E，则AE的长是( ▲ )

482412A． cm B． cm C． cm

555

AD D．53cm

OBEC（第8题）

答案: B

18．(2017·江苏无锡北塘区·一模)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线EF向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程长为

( ▲ )

A．12 B．9 C．45 D．65

DCFABE（第9题）

答案: D

19．(2017·江苏无锡崇安区·一模)如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120o，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK＋QK的最小值为………………………………………………( ▲ )

（第8题图）

B．3 C．2

D．3＋1

A．1 答案: B

20．（2017·无锡市南长区·一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长 AE交⊙O于点F，则线段AF的长为 ( )

73A．5 B．5 C．5＋1 D．5

52答案：A

21．（2017·无锡市南长区·一模）如图,正方形ABCD的对角线BD长为22 ,若直线l满足:（1）点D到直线l的距离为1,（2）A、C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D

中国@教育出%版网A 来源中@教网&% D

B 第10题图

C

22．（2017·无锡市宜兴市洑东中学·一模）在平面中，下列命题为真命题的是（ ▲ ）

A．四边相等的四边形是正方形 B．四个角相等的四边形是矩形

C．对角线相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

答案：B

23．（2017·无锡市新区·期中）矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，

M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大为（ ▲ ） A．1 B． C．

1 2

A D 1 D．2 4N C 答案：C

24．（2017·锡山区·期中）下列命题中正确的是（▲） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的平行四边形是矩形 C．两边相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案：B

二.填空题

1. （2017·江苏常州·一模）如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好

落在AD边上的点B′ 处，点C恰好落在边B′ F上.若AE＝3，BE＝5，则FC＝ ▲ .

AEB'B （第9题）

M

DC'BF第1题图

C

答案：4 2．（2017·江苏江阴·3月月考）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC

上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程长为______________．

DCFABE第1题图

答案：65 3．（2017·江苏江阴青阳片·期中）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、

CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 ▲ ．

第3题

答案：14

4．（2017·江苏江阴夏港中学·期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8， E是CD的中点，则OE的长等于 . 第4题 答案：4

5．（2017·江苏江阴夏港中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．

第5题图 答案：1或2

6．（2017·江苏江阴要塞片·一模）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积为____▲____ cm2 ． 答案：96

7. (2017·安庆·一摸)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②当CH=CB时，EC平分∠DCH；③当点H与点A重合时，BF=3；④当点H是AD中点时，EF＝43.其中正确的结论有 （把所有正确结论的序号都写在横线上）

答案：①②③；

8.（2017·广东广州·二模）如图5，菱形ABCD的边长为2，∠ADC=120°，弧CD是以

点B为圆心BC长为半径的弧．则图中阴影部分的面积为 ▲ （结 果保留?）． 答案：

2? 3（图5）

9．（2017?山东滕州东沙河中学?二模）如图1，已知在Rt△ABC中，AB=AC=32，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD，PE，在△PDE内作第二个 内接正方形HIKJ；再取线段耐的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形；……依次进行 下去，则第2017个内接正方形的边长为____．

图1

答案：

122012；

10．（2017?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模）如图2，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=答案：24；

11.（2017·重点高中提前招生数学练习）如图，在边长为2的正

图2

4，则菱形ABCD的面积为 cm2． 3方形ABCD的四边上分别取点E，F，G，H，当四边形EFGH各边的平方和EF2＋FG2＋GH2＋HE2取得最小值时，四边形EFGH的面积为 . 【答案】2

【解析】设AE＝a，BF＝b，CG＝c，DH＝d，

∴EF2＋FG2＋GH2＋HE2＝(2－a)2＋b2＋(2－b)2＋c2＋(2－c)2＋d2＋(2－d)2＋a2 ＝2a2＋2b2＋2c2＋2d2－4a－4b－4c－4d＋16

＝2[(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋(d－1)2＋4] 第3题 当a＝b＝c＝d＝1时，四边形EFGH恰好是 正方形ABCD的中点四边形， ∴四边形EFGH的面积为2.

12.（2017·重点高中提前招生数学练习）点P，Q从点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的边匀速运动，点P以每秒1个单位的速度按逆时针方向运动，点Q以每秒2个单位的速度按顺时针方向运动，则P，Q两点第11次相遇时的坐标是 ．4

【答案】（－，－2）

3

1

【解析】∵P，Q第一次相遇时，点P所走的路程为周长的，

3∴第3次相遇时点P回到A处.

以此类推，第6次、第9次相遇时点P均在A处. 2

第11次相遇时，点P从A处出发，走了周长的，

34

其坐标为（－，－2）.

3

13．（2017·山东枣庄·二模）如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在?ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO?23，那么CB的长为______________．

来&@源:*中国教育出版网

答案：26+2

14．(2017?山东济南?网评培训)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形

的顶点B、D作BF?a于点F、DE?a 于点E．若DE?8，BF?5，则EF的长为_________． 答案：13

15．(2017·江苏扬州宝应县·一模)如图，已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的高AE为 ▲ cm．

A B E O D C （第15题）

答案:

24 516．(2017·江苏南京溧水区·一模)现有一张边长大于4cm的正方形纸片，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间一块阴影部分的面积为 ▲ cm2．

（第16题） 答案: 8．

17．(2017·江苏无锡崇安区·一模)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 在

不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ▲ ．

D C

A

B （第15题图）

答案: ∠A＝90o

18．（2017·无锡市天一实验学校·一模）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积为____▲____ cm2 ． 答案：96

三.解答题

1. （2017·湖南永州·三模）（8分）已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF． （1）求证：△DOE≌△BOF．

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．

答案：（1）证明：（4分）∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO（1分），∠EDB=∠FBO， 在△EOD和△FOB中：?DO?BO??EDO?OBF???EOD??FOB?（2分），∴△DOE≌△BOF（ASA）（1分）；

（2）（4分）解：当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形（1分），理由：∵△DOE≌△BOF，

∴BF=DE（1分），又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形（1分），∵BO=DO，∠EOD=90°，∴EB=DE，∴四边形BFED为菱形（1分）．

2. （2017·湖南永州·三模） （10分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

答案：

3 （10分）解：（1）（1分）如图1，①（2分）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，

∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC（1分）．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA（1分）． ②（2分）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴OCPD?OPPA?CPDA?14=1．∴PD=2OC，PA=2OP，2DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8（1分）．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x． 在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10（1分）．∴边AB的长为10．

（2）（2分）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=1DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=1AP．22

∵∠D=90°，∴sin∠DAP=DP=1（1分）．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，AP2源:@中%#&教网^]来∠DAP=30°，∴∠OAB=30°，∴∠OAB的度数为30°（1分）．

（3）（4分）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，∴∠APB=∠MQP，∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=12PQ（1分）．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，???QMF??BNF，∴△MFQ≌△NFB（1分），∴QF=BF，∴QF=

??QFM??BFN?QM?BN?12QB，

∴EF=EQ+QF=1PQ+1QB=1PB（1分）．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，222∴PB=82?42=45，∴EF=1PB=25（1分）． 2∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为

25．

4 （2017·江苏常州·一模）（本题满分6分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，

CD边上，连接CE、AF，∠DCE＝∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明.

DFCAEB

答案：

答案：．四边形AECF是平行四边形. ---------------------------------------------------------------- 1′

证明：∵ 矩形ABCD中，AB∥DC ∴ ∠DCE＝∠CEB ------------------------------- 2′

∵ ∠DCE＝∠BAF ∴ ∠CEB＝∠BAF ∴ FA∥CE --------------------- 4′ 又矩形ABCD中，FC∥AE ∴ 四边形AECF是平行四边形. -------------- 6′

5 （2017·江苏高邮·一模）（本题满分10分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．

命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形． 已知：如图， ▲ ． 求证： ▲ ．

A

C

D

B

证明：

．解：已知： ………………………2分

求证： ………………………2分 证明： ………………………6分

6．（2017·江苏江阴青阳片·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．

（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；

（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：

①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是 形；

答案：（1）∵AF∥BC

来源^%&:@中教网中国教&^~育出#*版网② 当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形．

∴∠AFE=∠ECD，∠FAE=∠CDE…………1分 又∵E是AD的中点 ∴AE=DE…………2分 ∴⊿AEF≌⊿DEC ∴AF=DC…………3分 又∵D是BC的中点 ∴DB=DC…………4分

∴AF=DB…………5分 又∵AF∥BC

∴四边形AFBD是平行四边形…………6分

①?? 矩 ； ② ⊿ABC是等腰直角三角形 ．

7．（2017·江苏江阴夏港中学·期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．

答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD

又∵BE=AB，∴BE=CD，………………………2分

∵BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。………………………3分 ∴BD=EC。………………………4分

（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。 ……………6分

又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°∴∠ABO=40°。 …………8分

8．（2017·江苏江阴要塞片·一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，

来源:%#中&^教网DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．

ADBFEC（第8题）

答案：证明：∵DF⊥AE于F， ∴∠DFE＝90° 在矩形ABCD中，∠C＝90° ∴∠DFE＝∠C ……..2分 在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADE＝∠DEC

∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED

∴∠AED＝∠DEC ……..4′

又∵DE=DE，∴△DFE C≌△DCE ··········6分

中国%教育出&版网

∴DF＝DC ··········7分（其它方法酌情给分）

9. (2017·北京市朝阳区·一模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D

作DE∥AC且DE=于点F．

（1）求证：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长． 答案：（1）证明：在菱形ABCD中，OC=

∴DE=OC． ∵DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC⊥BD，

∴平行四边形OCED是矩形． …………………………………………2分 ∴OE=CD．…………………………………………………………………3分

（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED中，

CE= OD=AD2?AO2?3．………………4分 在Rt△ACE中，

AE=AC2?CE2?7．………………………………………………………5分

10. (2017·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.请解决下列问题：

（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，?A??C，?A＝70，?B＝75，则?C＝ ，?D＝ .

1AC，连接 CE、OE，连接AE交OD 2

1AC. 200（2）在探究等对角四边形性质时：

①小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中?ABC＝?ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明该结论；

②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” .你认为她的猜想正确吗？若正确，请给与证明；若不正确，请举出反例. （3）已知：在等对角四边形ABCD中，?DAB＝60，

0图1

?ABC＝900，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长.

图2

1400 ?D＝750 ………………………………… 2分 答案：（1）?C＝（2）①证明：连接BD， ∵AB＝AD，∴?ABD＝?ADB.

∵四边形ABCD为等对角四边形，∴?ABC＝?ADC.

∴?CBD＝?CDB，即CB＝CD. ………………………………… 5分 ②不正确 ………………………………… 6分 如图，在等对角四边形ABCD中，?A＝?C，?B??D，AB＝BC，但显然AD?DC

………………………………… 8分

（3）当?ABC＝?ADC＝90时，如图 延长BC、AD相交于点E ∵?DAB＝60，∴?E＝30. ∵AB＝5，∴AE＝10，BE＝53. 又∵AD＝4， ∴DE＝6. 在Rt?DCE中，CE?000DE?43 0cos30

∴BC＝BE－CE＝53?43?3 在Rt?ABC中，AC?AB2?BC2?27 ……………………………… 11分

当?DAB??DCB?600时，如图

过D点作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则四边形BEDF为矩形

cos600?4?在Rt?ADE中，AE?AD?∴DF＝BE＝AB－AE＝5－2＝3 在Rt?CDF，CF?13?2，DE＝AD?sin600?4??23 22DF3??3 0tan603∵BF＝DE＝23， ∴BC＝BF+CF＝33 在Rt?ABC中，AC?AB2?BC2?213 ……………………………… 14分

中国^*教育#~&出版网11. (2017·合肥市蜀山区调研试卷)四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点. （1）如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接 PC，求证: ∠AEB=∠PCD.

[w^ww&.#*zzstep.com%]（2）如图1，当PA=PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数.

（3）连接AP并延长交射线且ΔPCE是等腰三角形，求．．BC于点E，连接 PC，若∠ABC=90°∠PEC的度数.

来源:#中国&教育出版网A

DP A DADB 答案：.

C图1

EB

CBC 备用图

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形

∴∠PDA=∠PDC， AD=CD AD∥BC

来又∵PD=PD,

中

∴ΔPAD≌ΔPCD (SAS)， ∴∠PAD=∠PCD， 又∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠PAD=∠PCD……………………4分 （2）∵PA=PD ∴∠PAD=∠PDA 设∠PAD=∠PDA =x，则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD =2x ∵PC⊥BE∴2x+x=90° ∴ x=30°∴∠ABC=2x=60°……………………8分 或延长CP交AD于M，∵AD∥BC，PC⊥BC，∴CM⊥AD， ∵PA=PD∴ΔPAM≌ΔPDM (HL)， ∴AM=DM,∴CM垂直平分AD，连接AC,则AC=CD =BC=AB ∴ΔABC是等边三角形 中AMPDBCE∴∠ABC=60°……………………8分 （3）①当点E在BC的延长线上时，如图，ΔPCE是等腰三角形，则CP =CE， 来源:%zzste^p.co~m*#]∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90° , ∴菱形ABCD是正方形，∴∠PBA=∠PBC=45°， 又AB=BC，BP =BP， ∴ΔABP≌ΔCBP，∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP， ∵∠BAP+∠PEC =90°，2∠PEC+∠PEC =90° ∴∠PEC=30°.……………………11分 ②当点E在BC上时，如图，ΔPCE是等腰三角形，则PE =CE， ∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP 来APDBCEADP∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形， ∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP =BP， ∴ΔABP≌ΔCBP，∴∠BAP=∠BCP ∵∠BAP+∠AEB =90°，2∠BCP+∠BCP =90° ∴∠BCP=30°.∴∠AEB=60°. ∴∠PEC=180°－∠AEB=120°……………………14

BEC12.（2017·广东广州·二模）如图10，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G． （1）求证：BC=BF；

（2）若AB=4，AD=3，求CF．

（图10）

（3）求证：GB?DC=DE?BC

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CDB+∠DBC=90°． ∵CE⊥BD，

∴∠DBC+∠ECB=90°．

∴∠ECB=∠CDB．-----------------------------------1分 又∵∠DCF=∠ECF，

∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．-------------------------2分 ∴BF=BC ---------------------------------------------3分 （2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得

BD＝AB2?AD2?32?42?5 又∵BD?CE=BC?DC， BC?DC3?412??-----------------------------------------4分 BD55922∴BE?BC?CE? 596∴EF=BF-BE=3-?---------------------------------------------------5分 55∴CE?∴CF?CE2?EF2?65 ------------------------------------------------6分 5（3）∵四边形ABCD为矩形．FG∥DA与AB交于点G，CE⊥BD于E． ∴∠DBA=∠CDB，∠CED=∠BGF=90°．--------------------------------7分 ∴△DEC∽△BGF．----------------------------------------------------------8分 ∴GB：DE=BF：CD．

∴GB?CD=DE?BF．------------------------------------------------------------9分

13. （2017·广东高要市·一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．

证明：在正方形ABCD中，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，……2’ 在△BCE和△CDF中，∴CE=DF．……6’

……4’，∴△BCE≌△CDF（SAS），……5’

14．（2017?山东滕州东沙河中学?二模） 如图3，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，

四边形AEDF为菱形．

（1）求证：ΔABE≌ΔDCE；

（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时， 菱形AEDF为正方形?请说明理由．答案：解：（1）略．（2）AD=2AB．

图3

15．（2017?山东滕州羊庄中学?4月模拟）已知：如图4，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． （1）求证：CD=AN；

（2）若∠AMD=2∠MCD，

试判断四边形ADCN的形状，并说明理由． 答案：（本题满分10分）

证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，

图4

??DAC??NCA?∵在△AMD和△CMN中，?MA?MC，∴△AMD≌△CMN（ASA），…（2分）

??AMD??CMN?∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形，………（4分） ∴CD=AN ………（5分）

② 四边形ADCN是矩形．………（1分）

理由如下 ∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC， ∴∠MCD=∠MDC ∴MD=MC， ………（2分）

由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN，………（4分） ∴四边形ADCN是矩形．………（5分）

16．（2017?山东滕州羊庄中学?4月模拟）如图5-1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点。 （1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．

（2）若将原题中的两个正方形都改为矩形且BC =6，AB =2，如图5-2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系．

[www

图5-1

图5-2

答案：（1）证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H ∴∠MGE=∠MHF=90°．

∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH． 又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，∴∠1=∠2． 在△MGE和△MHF中

∠1=∠2，MG=MH，∠MGE=∠MHF． ∴△MGE≌△MHF． ∴ME=MF．－－（5分）

图6-1

图6-2

（2）解：①当射线MN交BC于点E，射线MQ交CD于点F时．

过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°． ∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．

来~#源:%中国图6-3

∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2，∠MGE=∠MHF ， ∴△MGE∽△MHF． ∴

MEMG?，∵M为矩形对角线AB、AC的交点，∴MB=MD=MC MFMH又∵MG⊥BC，MH⊥CD，

∴点G、H分别是BC、DC的中点． ∵BC=6，AB=2， ∴MG＝1，MH＝3．

?MEMG1??,?MF?3ME （2分） MFMH3图6-4

②当射线MN交AB于点E，射线MQ交BC于点F时．

过点M作MG⊥AB于点G，MH⊥BC于点H．∴∠MGE=∠MHF=90°． ∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°． ∴∠1=∠2．在△MGE和△MHF中，∠1=∠2， ∠MGE=∠MHF． ∴△MGE∽△MHF．∴

MEMG,∵M为矩形对角线AC、BD的交?MFMH点， ∴MB=MA=MC．又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点G、H分别是AB、BC的中点．∵BC=6，AB=2?MEMG3??,?ME?3MF，（4分） MFMH1③当射线MN交BC于点E，射线MQ交BC于点F时．由△MEH∽△FMH， 得

EH?FH?MH2?1，由△MEH∽△FEM，得ME2?EH?FE

2△FMH∽△FEM．MF?FH?FE

?1111FH?EHEF1???????122EH?EFFH?EFEH?FH?EFEH?FH?EFEH?FHMEMF （6分）

④当射线MN交BC边于E点，射线MQ交AD于点F时． 延长FM交BC于点G．

易证△MFD≌△MGB．∴MF=MG．

1111???1????1 （7分） MG2ME2MF2ME211???1 综上所述：ME与MF的数量关系是ME?3MF或MF?3ME或MF2ME2同理由③得?

图6-5

17．（2017?山东滕州张汪中学?质量检测二）如图7，等腰梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF． （1）求证：AE＝DF；

（2）若AD＝EF，试证明四边形AEFD为矩形．

答案：证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，

图7

∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB．…………2分 又∵BE＝CF，∴△ABE≌△DCF．…………4分 ∴AE＝DF…………5分

（2）∵BE＝CF，∴BF＝CE…………6分

又∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，∴△ABF≌△DCE，…………8分 ∴AF＝DE．

又∵AD＝EF，AD∥BC，∴四边形AEFD为平行四边形．…9分 ∴四边形AEFD为矩形．…………10分

18．（2017?山东潍坊?第二学期期中）已知：如图8，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、

O B

E

图8

A D F C M

FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．∵AE = AF，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF．∴BE＝DF．（4分） （2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即CE?CF． ∴OE?OF．∵OM = OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE = AF，∴平行四边形AEMF是菱形．（8分）

19.（2017?山东潍坊广文中学、文华国际学校?一模）如图9，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）求证：AP+HC=PH； （3）当AP=1时，求PH的长．

答案：（1）证明：∵ PE=BE，∴∠EPB=∠EBP， 又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形 ∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH． ----------------------4分 （2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q， 由（1）知，∠APB=∠BPH，

图9

??A??BQP?90??在△ABP与△QBP中，??APB??BPH，

?BP?BP?图10

∴△ABP≌△QBP（AAS）， ∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，

??BC?BQ，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，?BH?BH?∴AP+HC=PH． ---------------------------8分

（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x． 在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，

即32+（4-x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4． ---------------------------12分

20.（2017·邗江区·初三适应性训练）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC

上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC． （1）求证：AD=EC；

（2）当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形，请说明理由.

AEBDC答案：解：（1）由平移可得AB∥DE，AB=DE； 第5题

∴∠B=∠EDC ∵AB=AC

∴∠B=∠ACD，AC=DE ∴∠EDC =∠ACD ∵DC=CD

∴△ACD≌△ECD（SAS） ∴AD=EC

（2）当点D是BC中点时,四边形ADCE是矩形. 理由如下：∵AB=AC，点D是BC中点

∴BD=DC，AD⊥BC

由平移性质可知 四边形ABDE是平行四边形 ∴AE=BD，AE∥BD ∴AE=DC，AE∥DC

∴四边形ADCE是平行四边形 ∵AD⊥BC

∴四边形ADCE是矩形

21.（2017·网上阅卷适应性测试）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F

（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC＝2∠ABC，连接AC、BE． 求证：四边形ABEC是矩形

答案：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD． ∵EC=DC， ∴AB=EC．

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴△ABF≌△ECF． （2）∵△ABF≌△ECF，

∴ AF＝FE，BF=FC． ∴四边形ABEC是平行四边形

∵∠AFC＝2∠ABC，又∠AFC＝∠ABC＋∠BAF， ∴∠ABC=∠BAF． ∴AF＝BF．∴AE＝BC． ∴四边形ABEC是矩形．

22.（2017·山东省枣庄市齐村中学二模）（满分8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，

正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上． （1）求证：△ADE≌△BGF

（2）若正方形DEFG的面积为16，求AC的长．

证明：略 ……………………………4分 （2）AC=62 ……………………………4分

23.(2017·广东从化·一模)（本小题满分14分）

（1）猜想与证明：

如图10（1），摆放着两个矩形纸片ABCD和矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展与延伸：

如图10（2），若将”猜想与证明“中的矩形纸片换成正方形纸片ABCD和正方形纸片ECGF，并使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．

答案：解：（1）猜想：DM=ME ………………1图10（1） 分 证明：如图1，延长EM交AD于点H， ……………2分 ∵四边形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM， ………………3分 又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中，

???EFM??HAM?FM?AM ……………… 4分 ???FME??AMH∴△FME≌△AMH（ASA）……………………………5分 ∴HM=EM， ………………………………6分 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME，

∴DM=ME． …………………………………………7分 （2）猜想：DM=ME ………………………………8分 如图2，连接AC， ……………………………………9分 ∵四边形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°， ………………………10分 ∴AE和EC在同一条直线上， ………………………11分 在RT△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF， ………………………………………12分 在RT△AEF中，AM=MF，

图10（2）

∴AM=MF=ME， ………………………………………13分 ∴DM=ME． ………………………………………14分

24. .（2017.河北博野中考模拟）

如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上． （1）已知：DE∥AC，DF∥BC． ①判断

四边形DECF一定是什么形状？ ②裁剪

当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论； （2）折叠

请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

A D A F B

E

C B

备用图

C

答案：

解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF是平行四边形．………………………………2分 ②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H， ∵∠ACB=45°，AC=24cm ∴AG=

=12

，………………………………4分

设DF=EC=x，平行四边形的高为h， 则AH=12∵DF∥BC， ∴

=

， h，

∵BC=20cm，………………………………6分 即：

=

∴x=∵S=xh=x?∴﹣

=﹣

×20，

×20=20h﹣=6

，

h2．

∵AH=12∴AF=FC，

，

∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．…………………………8分

中国教~#育出版网%@]

（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．

理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．…………………11分

25．(2017?山东济南?模拟)

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．

（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕

迹）；

（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给

予证明

m解：（1）作图正确，写出结论（写出结论1分）．

（2）还有特殊的四边形是矩形OCED． 理由如下：

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 由平移知：AO=CO，BO=CE ∴OC=DE，OD=CE

∴四边形OCDE是平行四边形 ∵AC⊥BD ∴∠COD=90°

∴□OCED是矩形．

B

A O C D

~]26. (2017?山东青岛?一模)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P

是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F. （1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值，如果是，请求出它的值，如果不是，请加以说明。

（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.

解：（1）是定值

∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.

∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45??22a

（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB=acos45??22a

27．(2017·江苏无锡崇安区·一模)(本题满分8分)如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC

上，连接EB、ED. (1)求证：△BCE≌△DCE；

(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140o，求∠AFE的度数.

答案: (共8分)(1)证明：∵正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45o…………………………………………………(2分) 又∵CE＝CE…………………(3分) ∴△BCE≌△DCE(SAS)…………………(4分) 11

(2)解：由全等可知，∠BEC＝∠DEC＝∠DEB＝×140o＝70o…………………… (6分)在△

22

BCE中，∠CBE＝180o―70o―45o＝65o………………………………(7分)

∴在正方形ABCD中，AD∥BC，有∠AFE＝∠CBE＝65o…………………(8分)

28．（2017·无锡市宜兴市洑东中学·一模）

如图，在□ABCD中，E、F为BC上的两点，且 BE=CF，AF=DE. 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形．

答案： 证明：（1）∵□ABCD，∴AB=CD ∵BE=CF，∴BF=CE ∵AF=DE，∴△ABF≌△DCE （2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C ∵∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90° ∴□ABCD为矩形.

29．（2017·无锡市天一实验学校·一模）（本题满分7分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．

BFECAD（第21题）

答案：证明：∵DF⊥AE于F， ∴∠DFE＝90° 在矩形ABCD中，∠C＝90° ∴∠DFE＝∠C

在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADE＝∠DEC

∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED

∴∠AED＝∠DEC

又∵DE=DE，∴△DFE C≌△DCE

∴DF＝DC （其它方法酌情给分）

30．（2017·锡山区·期中）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC为锐角，AB=12cm，AC=15cm．按下列步骤折叠：第一次，把∠B折叠使点B落在AC边上，折痕为AD，交BC于点D；第二次折叠，使点A与点D重合，折痕分别交AB、AC于点E、F，EF与AD交于点O，展开后，连结DE、DF．

（1）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由； （2）求AF的长．

BEDOAFC

答案：（1）答：四边形AEDF是菱形．

理由：由第一次以AD为折痕的折叠可知：∠1=∠2

由第二次以EF为折痕的折叠可知：AE=DE，AF=DF，∠AOE=90°∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠3=∠4，

∴AE=AF， （3分） ∴AE=DE=AF=DF，

∴四边形AEDF是菱形． （4分） （2）由（1）可得四边形AEDF是菱形， ∴DE∥AC，AE=AF=DE，

∴△BED∽△BAC， （6分） ∴

BEDEBA＝AC， （7分） ∵AB=12cm，AC=15cm，

2分） （

∴

12－AFAF ＝121520． （8分） 3∴AF=

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