决战2020年中考数学压轴题综合提升训练三角形含解析

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《三角形》

1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；

（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，

∵CD∥AB，且CD＝AB，

∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，

∴BO＝DO，CO⊥BD，

∴AC垂直平分BD；

（2）由（1）知AC垂直平分BD，

∴NB＝ND，

∵ND＝NM，

∴NB＝NM．

2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．

（1）求证：△ADG≌△CDE．

精品文档，欢迎下载！（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．

证明：（1）在等腰Rt△ABC中，

∵点D为斜边AB上的中点，

∴CD＝AB，CD⊥AB，

∵AD＝AB，

∴AD＝CD，

∵CD⊥AB，

∴∠ADG＝∠CDE＝90°，

∵AH⊥CE，

∴∠CGH+∠GCH＝90°，

∵∠AGD+∠GAD＝90°，

又∵∠AGD＝∠CGH，

∴∠GAD＝∠GCH，

在△△ADG和△CDE中

∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH

∴△ADG≌△CDE（ASA），

（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，

∴AC＝AE，

∴∠CAH＝∠EAH，

∵∠CAH+∠AFC＝90°，

∠EAH+∠AGD＝90°，

∴∠AFC＝∠AGD，

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∵∠AGD＝∠CGH，

∴∠AFC＝∠CGH，

即∠CGF＝∠CFG．

3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；

（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．

解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC

∴AB＝AE＝EC

∴∠C＝∠CAE，

∵∠BAE＝32°

∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；

∴∠C＝∠AED＝37°；

（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，

∵BD＝DE，

∴AB+BD＝EC+DE＝DC，

∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，

＝AB+BD+DC+AC，

＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．

4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．

（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；

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（2）求证：AE+BF＝EF；

＝ab（直（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S

△CEF 接写出结果）．

证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，

∴，，

∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝

＝＝

（2）∵EF∥AB，

∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF

又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，

∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，

∴AE＝OE，BF＝OF，

∴EF＝OE+OF＝AE+BF；

（3）∵点O在∠ACB的平分线上，

∴点O到AC的距离等于OD，

＝（CE+CF）?OD＝?2b?a＝ab，

∴S

△CEF

故答案为：ab．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD?AD＝DE?AC．

（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．

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证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∠B＝∠C，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝∠ADC，

∴△BDE∽△CAD．

∴，

∴BA?AD＝DE?CA；

（2）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，

∵?AD?BD＝?AB?DE，

∴DE＝．

（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，

∴∠BDE＝∠BAD，

∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．

（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．

（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．

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（1）证明：如图，连接AD．

∵AB是圆O的直径，

∴AD⊥BD．

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）解：∵弧DE＝50°，

∴∠EOD＝50°．

∴∠DAE＝∠DOE＝25°．

∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABD＝65°．

（3）∵BC＝8，BD＝CD，

∴BD＝4．

设半径OD＝x．则AB＝2x．

由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，

∵AD⊥BD，DF⊥AB，

∴BD2＝BF?AB，即42＝x?2x．

解得x＝4．

∴OB＝OD＝BD＝4，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD＝60°．

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∴弧BD的长是：＝．

7．阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．

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完成下面问题：

（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；

②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．

（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：

∵AD为△ABC中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．

故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；

②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：

∵BG＝BF，

精品文档，欢迎下载！∴∠G＝∠BFG，

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EFA，

∵∠EFA＝∠BFG，

∴∠G＝∠EAF，

在△ADC和△GDB中，，

∴△A DC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∴AC＝BF；

故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；

（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：

则∠G＝∠CAD，

∵AD为△ABC中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．

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8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点D为AB中点，求OE的长；

（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴

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上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．

解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，

∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，

∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，

∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，

∴m＝2，n＝4，

∴点A为（2，0），点B为（0，4）；

（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，

设OE＝x，

∵OC平分∠AOB，

∴∠BOC＝∠AOC＝45°，

∵DE∥OC，

∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，

∴OE＝OF＝x，

在△ADF和△BDG中，

，

∴△ADF≌△BDG（SAS），

∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，

∴∠G＝∠BEG＝45°，

∴BG＝BE＝4﹣x，

∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，

∴OE＝1；

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（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），

∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，

∵∠PEF＝90°，

∴∠PEN+∠FEM＝90°，

∵FM⊥y轴，

∴∠MFE+∠FEM＝90°，

∴∠PEN＝∠MFE，

在△EFM和△PEN中，

，

∴△EFM≌△PEN（AAS），

∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，

∴点F为（m+2x﹣4，m+x），

∵F点的横坐标与纵坐标相等，

∴m+2x﹣4＝m+x，

解得：x＝4，

∴点P为（4，﹣4）．

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9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30度；

（2）设直线BE与直线AM的交点为O．

①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；

②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；

若不是，请说明理由．

解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°

∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE

∴∠ACD＝∠BCE．

在△ADC和△BEC中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

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∴AD＝BE；

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°．

∵线段AM为BC边上的中线

∴∠CAM＝∠BAC，

∴∠CAM＝30°．

故答案为：＝，30；

（2）①AD＝BE，

理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE．

②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，

理由如下：

当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，

又∠ABC＝60°，

∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线

∴AM平分∠BAC，即，

∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

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当点D在线段AM的延长线上时，如图2，

∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°

∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE

∴∠ACD＝∠BCE

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE＝∠CAD＝30°，

同理可得：∠BAM＝30°，

∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况?探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；

（2）特例启发，解答题目

王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3．

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解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，

∴∠EDB＝∠FEC，

在△BDE和△FEC中，

，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD＝EF，

∴AE＝BD，

故答案为：＝；

（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

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∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，

∴∠EDB＝∠FEC，

在△BDE和△FEC中

，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD＝EF，

∴AE＝BD．

故答案为：AE＝DB．

（3）解：分为四种情况：

如图3，

∵AB＝AC＝1，AE＝2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，

精品文档，欢迎下载！∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．

如图4，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，EC＝ED，

∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴，

∵△ABC边长是1，AE＝2，

∴，

∴MN＝1，

∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，

∴CD＝2CM＝1；

如图5，

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∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC＝ED；

如图6，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

答：CD的长是3或1．

故答案为：1或3．

11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；

（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；

（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

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（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，

∴∠B＝∠C＝72°，

∴∠A＝2∠C，

即△ABC是倍角三角形，

（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，

①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，

过C作CH⊥直线AB，垂足为H，

可得∠CAH＝45°，

∴AH＝CH＝AC＝4．

∴BH＝，

∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，

∴S＝．

②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．

（3）∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD＝∠EAD，

∵AB＝AE，AD＝AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

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∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．

又∵AB+AC＝BD，

∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．

∴CE＝DE．

∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．

∴△ADC是倍角三角形．

12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．

（1）点B的坐标为：（0，4）；

（2）求点D的坐标；

（3）求证：CM＝CN．

解：（1）∵A（4，0），

∴OA＝OB＝4，

∴B（0，4），

故答案为：（0，4）．

（2）∵C（0，7），

∴OC＝7，

过点D作DE⊥y轴，垂足为E，

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