材料力学

材料力学练习册

（后付部分题解）

迪丽娜.马合木提

新疆大学机械工程学院力学教研室

二○○五年六月

第2章 轴向拉伸与压缩

2-1 试求图示直杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并画出轴力图。

(a)F.1123F.2F.3F=2kN

(b)18kN.1123kN.25kN23.310kN

2-2 试求图示中部对称开槽直杆横截面1-1和2-2上的正应力。

12.12..FF=14kN20441020

2-3 图示桅杆起重机，起重杆AB的横截面是外径为20 mm、内径为18 mm的圆环，钢丝绳BC的横截面面积为10 mm。试求起重杆AB和钢丝绳BC横截面上的应力。

B.245C.15F=2kN.A

2-4 图示由铜和钢两种材料组成的等直杆，铜和钢的弹性模量分别为E1?100 GPa和

E2?210 GPa。若杆的总伸长为Δl?0.126 mm，试求载荷F和杆横截面上的应力。

2钢1铜?40400...600.F

2-5 图示阶梯形钢杆，材料的弹性模量E?200 GPa，试求杆横截面上的最大正应力和杆的总伸长。

?20.?40400..F=40kN800

2-6 图示电子秤的传感器为一空心圆筒形结构，圆筒材料的弹性模量E?200 GPa。在秤某一沿圆

?6筒轴向作用的重物时，测得筒壁产生的轴向线应变???49.8?10。试求此重物的重量P。

P..9.?80

第3章 材料的力学性质 拉压杆的强度计算

3-1 图示水压机，若两根立柱材料的许用应力为[?]?80 MPa，试校核立柱的强度。

..工件...?80F=600kN.

3-2 图示油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D螺栓材料的许用应力[?]?40 MPa，试求螺栓的内径。

F

?350 mm，油压p?1 MPa。若

.Dp.......

3-3 图示铰接结构由杆AB和AC组成，杆AC的长度为杆AB长度的两倍，横截面面积均为A?200 mm2。两杆的材料相同，许用应力[?]?160 MPa。试求结构的许用载荷[F]。 CB4530AF

3-4 承受轴力FN?160 kN作用的等截面直杆，若任一截面上的切应力不超过80 MPa，试求此杆的最小横截面面积。

3-5 试求图示等直杆AB各段内的轴力。

AC2F.. a2aDBFa

3-6 图示结构的横梁AB可视为刚体，杆1、2和3的横截面面积均为A，各杆的材料相

同，许用应力为[?]。试求许用载荷[F]。

ED1Aal32lF2lCaFB

3-7 图示铰接正方形结构，各杆的材料均为铸铁，其许用压应力与许用拉应力的比值为[?c][?t]?3，各杆的横截面面积均为A。试求该结构的许用载荷[F]。

FA.

Da.CaBF

3-8 图示横担结构，小车可在梁AC上移动。已知小车上作用的载荷F?15 kN，斜杆AB为圆截面钢杆，钢的许用应力[?]?170 MPa。若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确定斜杆AB的直径d。

B.

0.8mAC.F1.9m

3-9 图示联接销钉。已知F?100 kN，销钉的直径d?30 mm，材料的许用切应力[?]?60 MPa。试校核销钉的剪切强度，若强度不够，应改用多大直径的销钉。

F....dF

3-10 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为MeD0?80 mm?200 N?m?10 mm

，凸缘之间用四个对称分布在

圆周上的螺栓联接，螺栓的内径d试校核螺栓的剪切强度。

n.，螺栓材料的许用切应力[?]?60 MPa。

..螺栓.Me.........D0Me....n截面n-n

3-11 图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力F?50 kN，截面的宽度b?250 mm，木材顺纹的许用挤压应力[?bs]?10 MPa，顺纹的许用切应力[?]?1 MPa。试求接头处所需的尺寸l和a。

FballF

3-12 图示螺栓接头。已知F[?bs]?300 MPa?40 kN

，螺栓的许用切应力[?]?130 MPa，许用挤压应力

。试求螺栓所需的直径d。

F10.......2010Fd

3-13 图示结构的AB杆为刚性杆，A处为铰接，AB杆由钢杆BE与铜杆CD吊起。已知CD杆的长度为1 m，横截面面积为500 mm，铜的弹性模量E，横截面面积为250 mm，钢的弹性模量EBE杆的伸长。

2 m22

?100 GPa；BE杆的长度为

?200 GPa。试求CD杆和BE杆中的应力以及

EDA1mC0.5m0.5m200kNB

3-14 由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示，上端固定，下端与地面留有空隙

2?6??12??0.08 mm。铜杆的A1?40 cm，E1?100 GPa，?1?16.5?10 C；钢杆的A2?20 cm，

?6??1E2?200 GPa，?2?12.5?10 C，在两段交界处作用有力F。试求：

(1) F为多大时空隙消失；

(2) 当F?500 kN时，各段内的应力；

(3) 当F?500 kN且温度再上升20?C时，各段内的应力。

.1铜.F.1m2钢2m.?

第4章 扭 转

4-1 图示圆轴上作用有四个外力偶矩Me1?1 kN?m，Me2?0.6 kNMe3?Me4?0.2 kN?m。

(1) 试画出该轴的扭矩图；

(2) 若Me1与Me2的作用位置互换，扭矩图有何变化？

Me4?m，

Me3Me2Me12m2.5m2.5m

4-2 传动轴AC如图所示，主动轮A传递的外力偶矩Me1?1 kN?m ，从动轮B、C传递的

外力偶矩分别为Me2?0.4 kN?m、Me3?0.6 kN?m，已知轴的直径d?4 cm，各轮的间距l?50 cm，切变模量G?80 GPa。

(1) 试合理布置各轮的位置；

(2) 试求各轮在合理位置时轴内的最大切应力以及轮A与轮C之间的相对扭转角。

Me1AlMe2BlMe3C

4-3 一空心圆轴的外径D?90 mm，内径d?60 mm。试计算该轴的抗扭截面系数Wp。若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆轴，试比较两者的抗扭截面系数，计算结果说明了什么？

4-4 图示阶梯形圆轴的AC段和CB段的直径分别为d1?4 cm、d2?7 cm，轴上装有三个皮带轮。已知由轮B输入的功率为P3?30 kW，轮A输出的功率为P1?13 kW，轴作匀速转动，转速n?200 r/min，材料的许用切应力[?]?60 MPa，切变模量G?80 GPa，许用单位长度扭转

?角[?]?2 /m。试校核该轴的强度和刚度。

Me1A0.5mMe2Me3C0.3mD1mB

4-5 图示外径D?100 mm、内径d?80 mm的空心圆轴与直径D1?80 mm的实心圆轴用键相连。轴的两端作用外力偶矩Me?6 kN?m，轴的许用切应力[?]?80 MPa；键的尺寸为

10 mm?10 mm?30 mm，键的许用切应力[?]?100 MPa，许用挤压应力[?bs]?280 MPa。试校核该轴的强度并计算所需键的个数n。

MedDD1Me....

101030

4-6 图示两圆轴用法兰上的12个螺栓联接。已知轴的传递扭矩Tt?2 cm?50 kN?m，法兰边厚

，平均直径D?30 cm，轴的许用切应力[?]?40 MPa；螺栓的许用切应力

d1Td...[?]?60 MPa，许用挤压应力[?bs]?120 MPa。试求轴的直径d和螺栓的直径d1。

T..D.....tt

4-7 图示密圈螺旋弹簧的平均直径D?250 mm，簧杆直径d?12.5 mm，承受轴向拉力

F?180 N。已知弹簧的有效圈数n?10，切变模量G?80 GPa，试求该弹簧的轴向变形和簧杆内的最大切应力。

F

.d.D__2F

4-8 图示端部固定的钢圆杆和铜圆管以销钉联接。联接前，因制造误差，两杆的销孔中心相差一角度??0.035 rad。已知D?60 mm，d?40 mm，钢杆和铜管的长度及切变模量分别为l1?400 mm、l2?600 mm、G1?80 GPa、G2?40 GPa。试求强行联接后二杆内的最大切应力。

A.

?.d..D..Al1l2A- A

第5章 梁弯曲问题

5-1 试用截面法求图示梁中n?n截面上的剪力和弯矩。

(a) (b)

F1 =8kNA1mnn1mC2mF2 =6kNnq=4kN/mB2mCBA2mn2m

5-2 试用截面法求图示梁中1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。并讨论这两个截面上的内力特点。设1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位置。

(a) (b)

F12Me12A12Bl/2l/2A12Bl/2l/2

5-3 试写出图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

(a)

.M =12kN meA3mF=10kNC3mB

(b)

5-4 试画出图示梁的剪力图和弯矩图。(a)

(b)

(c)

qqlABCll/2

2FFaACBaa qa2qACBaa

qACBl/2l/2

(d)

q=30kN/mA1mCD1m1m1mF=20kNEq=30kN/mB

5-5 图示起吊一根单位长度重量为q（kN/m）的等截面钢筋混凝土梁，要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等，应将起吊点A、B放在何处（即a??）？

F=ql

AalBa

5-6 图示简支梁受移动载荷F的作用。试求梁的弯矩最大时载荷F的位置。

F

AlB

5-7 试用叠加法画出图示梁的弯矩图。

(a)

F=ql/4Al/2qBl/2l/2DC

(b)

qAaqaC2aB

5-8 图示桥式起重机大梁上小车的每个轮子对大梁的压力均为F，小车的轮距为d，大梁的跨度为l。试问小车在什么位置时梁内的弯矩最大？其最大弯矩值等于多少？最大弯矩在何截面？

xAFlFdB

5-9 长度l?250 mm、截面宽度b?25 mm、高度h?0.8 mm的薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为60?的圆弧。已知钢的弹性模量E?210 GPa，试求钢尺横截面上的最大正应力。

5-10 图示矩形截面简支梁。试求1-1截面上a、b两点的正应力和剪应力。

758kN110bB150...A100012001a.401000

3 5-11 钢油管外径D?762 mm，壁厚t?9 mm，油的重度?1?8.3 kN/m，钢的重度

3?2?76 kN/m，钢管的许用应力[?]?170 MPa。若将油管简支在支墩上，试求允许的最大跨长l。

5-12 图示正方形截面悬臂木梁承受载荷作用。已知木材的许用应力[?]?10 MPa。现需要在梁的C截面中性轴处钻一直径为d的圆孔，试问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d可达多少（不考虑圆孔处应力集中的影响）？

5kN2kN/mAd250C1000..

160B160yz

5-13 图示T形截面铸铁梁承受载荷作用。已知铸铁的许用拉应力[?t]?40 MPa，许用压应力[?c]?160 MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将横截面由T形倒置成?形，是否合理？为什么？

q=10kN/mA2mB3mF=20kN30E1mD200yC200C30zCy

5-14 若图示梁的许用应力[?]?160 MPa，许用切应力[?]?100 MPa，试选择工字钢的型号。

4kN10kN/mA4mB2mCyz

5-15 为了改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为Wz1和Wz2，材料相同，试求a的合理长度。

FCAl-a 2a2a2l-a 2DB

5-16 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F?5 kN，a?1.5 m，木材的许用应力[?]?10 MPa。试确定当抗弯截面系数最大时矩形截面的高宽比h/b以及锯成此梁所需木料的最小直径d。

FAa3aFBahydbCDz

5-17 一悬臂梁长为900 mm，在自由端受集中力F作用，此梁由三块50 mm?100 mm的木板胶合而成，如图所示，图中z轴为中性轴，胶合缝的许用切应力[?]?0.35 MPa。试按胶合缝的切应力强度条件确定许用载荷[F]，并求在此载荷作用下梁的最大正应力。

5050

z50y100

5-18 试问用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和连续性条件。

(a)

MeAaCaMeB

(b)

(c)

(d)

5-19 试用积分法求图示外伸梁的?A、?B及yA、

FqMeCABDaba

FABCDabl

Cql1ABl

yD。

F= ql12qABDCl/2l/2l

5-20 试用叠加法求图示梁指定截面的挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为已知。

(a) ?A,yC

FMeBl/2Al/2C

(b) ?C,yC

F=qaqAaBaC

5-21 已知一钢轴的飞轮A重P?20 kN，轴承B处的许用转角[?]BE?200 GPa。试确定轴的直径d。

A

?0.5?，钢的弹性模量

Bd...CPa=1mb=2m

5-22 欲在直径为d的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁。试求该截面高度h和宽度b的合理比值。

.d..h.b

5-23 图示悬臂梁AB和简支梁CD均用№18工字钢制成，BG为圆截面钢杆，直径

d?20 mm，钢的弹性模量E?200 GPa。若F?30 kN，试求简支梁CD中的最大正应力和G点的挠度。

AB

1.4mGCF2m2mD

5-24 图示简支梁的左右支座截面上分别作用有外力偶矩MeA和MeB。若使该梁挠曲线的拐点位于距左端支座l/3处，试问MeA和MeB应保持何种关系？

MeAAlMeBB

5-25 试用FQ、M与q之间的微分关系判断图示梁的内力图形态，画出内力图，并求出

FQmax和(a)

Mmax。

qACqaBa (b)

qA2aCaqa2B

(c)

F=qaqAaCaDaB

(d)

.M =8kN meAC1m1mD4mq=6kN/mB

5-26 图示木梁受移动载荷F?40 kN作用。已知木材的许用应力[?]?10 MPa，许用切应力[?]?3 MPa，木梁的横截面为矩形截面，其高宽比h/b?3/2。试选择此梁的横截面尺寸。

FbBh1myAz

5-27 图示外伸梁用№25a工字钢制成，其跨长l?6 m，且在全梁上受集度为q的均布载荷作用。当支座处的截面A、B以及跨中截面C上的最大正应力均为??140 MPa时，试问外伸部分的长度a及载荷集度q各等于多少？

qDAl/2alaCBEyz

材料力学习题及解答

习题1：

1、求下面所示杆指定截面上的轴力,并绘制轴力图.

[解]

一、求固定端反力（略） 二、求各截面上的轴力

1）1-1截面：如图

2）2-2截面：如图

3）3-3截面：如图

三、绘制轴力图 如图

2、图中所示传动轴的转速n=400rpm，主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1，3，4和5的输出功率分别为P1=18kW,P3=12kW,P4=22kW,P5=8kW。试绘制该轴的扭矩图。

一、计算各个外加力偶

二、计算各个截面的扭矩:

首先简化为力偶矩矢的表示方式,如图:

1)1-1截面 如图:

2)2-2截面 如图:

3)3-3截面 如图:

4)4-4截面 如图:

三、根据上面的计算结果绘制扭矩图

二、习题

2

1、求图2-35（d)所示各梁指定截面上的剪力和弯矩，设q,F均已知.

[解] ：：

2、绘制图2-36所示各梁的剪力图和弯矩图，并求出剪力和弯矩绝对值的最大值。设F、q、l已知。

[解] 本题仅给出结果和支座反力。具体计算请大家自己算一下。

（b) (C)

（e) (h)

3、绘制图2-38所示各梁的剪力图和弯矩图，并求出剪力和弯矩绝对值的最大值。设F、q、l已知。

[解] 除(a)外，本题仅给出结果和支座反力。具体计算请大家自己算一下。 [头部] (a)

(b) (c)

(d) 三、习题3

1、补充题1，绘制剪力图和弯矩图 2、补充题2，绘制剪力图和弯矩图

[解]

3、补充题3，用叠加法绘制剪力图和弯矩图

4、变截面杆,如横截面面积A1=200mm2,A2=300mm2,A3=400mm2，求杆各个横截面上的应力

[头部] 5、（3-4）图中所示钢杆CD直径20mm，用来拉住刚性梁AB,已知F=10kN，求钢杆横截面上的正应力。

[头部]

6、（3-5）图中所示的结构中，1，2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。

四、习题4

1、阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮1输入功率P1=30kW ，齿轮2和齿轮3分别输出功率P2=17kW,P3=13kW 。如轴作匀速转动，转速n=200rpm ，求该轴的最大切应力。

2、A-1(b) 试求图所示各平面图形中阴影线部分对形心轴z的静矩Sz

[头部]

[头部]

[头部]

3、A-2 试求图中各截面图形的形心位置。

[头部]

4、A-4 试求图中各截面图形对形心轴z的惯性矩Iz。

5、A-7试求图中所示平面对z，y轴的惯性积Izy。。

五、习题5

1、3-10 图中所示铸铁梁，若h=100mm，δ=25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为1/3，试确定b的尺寸。

2 试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。

3 拉杆如图所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量E=150GPa

[头部]

4、试计算刚性梁AB的B处位移。其它杆件为弹性杆，刚度EA。

5、试计算刚性梁AB的B处位移。其它杆件为弹性杆，刚度EA。

利用拉伸压缩杆的变形求结构上点的位移

拉伸（压缩）杆的变形计算公式大家都是知道的：

如果是在结构中，求某点的位移，光利用这个公式是不够的。比如求桁架节点的位移： 我们对书上的70-71页的例题作一个详细的说明，题目是这样的：

求C点的位移。

根据这个题目，首先我们可以算出AC和BC杆的内力，根据内力，可以算出由内力引起的变形（假定没有C点的铰接约束。 Δl1和Δl2,如图2所示。AC杆显然受拉，如果没有C点的约束，在内力作用下，将伸长到C1点，同样，BC杆显然受压，在内力作用下，将缩短到C2点。那么同时AC变为

AC1,BC变为BC2，而且C1和C2必须为同一点，怎么办？实际上，我们知道，以A为圆心，AC1为半径作弧线，以B为圆心，BC2为半径作弧线，两者的交点C'就是C点实际的变形后的位置。如图3中蓝线所示。

根据弧线计算C'的位置实际上很麻烦，如果取BC为直角坐标系的x轴，垂直于BC作直角坐标系的y轴，则很难确定C点的x和y方向的位移，而根据材料力学开篇的基本假设中的小变形假设，如果变形很小的话，那么通过AC1作的垂线和通过BC2作的垂线的交点C3（图3绿线）应该几乎接近于C'，因此实际计算中，我们以C3取代C'来求C点变形后的x方向和y方向的位移，如图4所示。根据图4，利用几何关系，可以得到图4中的公式来求解C点的水平和垂直位移。

而习题4-5中和上面的情况有所不同，上面的情况是：AC杆和BC杆都是二力杆，习题中指明是刚性梁！刚性梁是不考虑梁的变形的。总结上面的例题可以得出求结构中点的位移的基本步骤： 1 计算轴力

2 若为二力杆，则计算轴力引起的位移，若是主要受弯的梁，则忽略轴力引起的位移。 3 假定杆节点解除，画出在轴力作用下的位移。

4 分别对伸长（或缩短）后的单个杆作垂线，交点即为变形后的节点位置。 下面依照上面所述4点对习题4-5（b)来进行求解。 原题：计算刚性梁AB的B点位移

从图1可以看出，AB是刚性梁，主要受弯，因此忽略AC梁的水平位移。而CD是受拉的杆，根据题目的要求可以算出CD杆的内力。根据内力，可以算出CD杆的拉伸变形ΔlCD，并且沿CD画出该变形，CD伸长至C''。然后通过C''做垂直于CC''的垂线,通过C做垂直于AC的垂线，相交于C'点，则CC'即为C点变形后的位移，根据AC,CB的几何关系，可以求出B点的位移BB'如图2,具体计算过程见作业答案。

习题3-5（c）原题如下

取梁AB作为研究对象进行受力分析，从而可算出AO1，杆的内力。由内力可以算出三杆各自的独立变形Δl1，Δl2和Δl3而且可知AO1受拉，CO1和CO2受压，而AB梁水平方向位移不计，由此可以简单画出梁AB变形后的位置图。如图2中的红线所示。根据分析可知，δ1=Δl1，δ2和Δl2有关，而δ2可通过δ2和δ2的几何关系来求得。关键问题是求δ2。对C和C'进行局部放大，如图3所示：

图3中，Δl2和Δl3是CO1和CO2的单独变形，通过C2作CC2的垂线，通过C3作CC3的垂线，两者的交点C'即是C点变形后的位置。根据内力的计算，可知，Δl2和Δl3相等，故CC'垂直，CC'=δ2。具体计算过程见作业答案。

六、习题6

1、求习题3-7中的最大单位长度扭转角和齿轮1和齿轮3的相对扭转角。已知齿轮1和齿轮2的间距为0.2m，齿轮2和齿轮3的间距为0.3m，G=90Gpa。

2 一直径d=25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm 。当它受一对矩为0.2kN·m 的外力偶作用而扭转时，在标距200mm长度内相对扭转了0.732度的角度，求钢杆的E、G、ν 。

3 用积分法求图所示梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁EI均为常数。

利用叠加法求梁具体点的挠度和转角

在一些弯矩方程分段较多的情况下，我们可以采用叠加法来求梁上具体点的挠度和转角，在这里我不打算说明叠加法的原理，而是结合作业的情况说明叠加法的应用。

习题4-15a 求C点的转角和B点的挠度，原题如下：AB=BC=l

首先很清楚,可以利用叠加法把图A转换为图B

在图B-1中，可以直接求出在M单独作用下B'点的挠度和C点的转角，实际上M单独作用下C点的转角等于B'的转角。但是图B-2不能直接求出在均布载q单独作用下B点的挠度和转角。对图B-2进一步处理，如图C

图C-1是q单独作用的原图，为了求解，我们在B处对梁进行刚化，图C-2的集中力可以看成是B点左段的B截面上的剪力，这个剪力也会引起挠度和转角，同样，图C-3中的集中力偶可以看成是B点左段的B截面上弯矩。同时刚化后q单独作用B店右段引起的挠度和转角也要考虑。由此可以看出，C点的转角共由四项叠加：

B点的挠度由三项叠加：（对应图中的红线）

倘若要求C点的挠度，那么可以写成：

具体求解结果请看答案。

习题4-16a 求最大挠度和转角，原题如下：AC=CB=l

由于AC和CB段的抗弯刚度不同，所以要在C处截断进行刚化处理，原题转换为下面的图

在C处进行刚化，原题可以看成是图A-1,图A-2,图A-3,图A-4,的叠加。其中图A-2中的F是C截面上的剪力，图A-3中的Fl是C截面上的弯矩。很显然，B点是挠度和转角都是最大值的点。 那么，B点的挠度和转角为：

具体求解结果请看答案。

习题4-16f,求D点转角和挠度，首先可以将原题按照下面的图进行处理：

原题可以看成是图A-1~图A-3的叠加。其中图A-2中要求出θ2，这样可以求出ω2，但是不能查表,所以要用积分法来具体求图A-2.当然图A-2也可用反对称的方法来求，实际上习题4-16C就是图A-2的解。在习题解答中我给出了4-16C的具体解法。最后的叠加不再详述。

习题4-18a 求C点截面铅直方向位移

在求出C点的反力以后，直接按照图A-2，求图A-2中C点的转角和挠度就可以了，因为图A-2中C点的集中力F=ql对AC段的作用效果即为右段CBD对AC段的作用效果。

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