二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)图象与性质

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函数y?a(x?h)2?k(a?0)的图象与性质

要点一、函数y?a(x?h)2(a?0)与函数y?a(x?h)2?k(a?0)的图象与性质 1.函数y?a(x?h)2(a?0)的图象与性质

a的符号 a?0 开口方向顶点坐标对称轴向上 0? ?h，0? ?h，性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 x=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 2.函数y?a(x?h)2?k(a?0)的图象与性质

a的符号 a?0 开口方向顶点坐标对称轴向上性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随?h，k? ?h，k? x=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 x=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值k．要点诠释：

二次函数y?a(x?h)2+k(a≠的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与0）性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：

k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，2⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

例1．将抛物线y?2(x?1)2?3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】

抛物线y?2(x?1)2?3的顶点为(1，3)．

(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，

所以a＝2，得到抛物线解析式为y?2(x?1)2?2x2?4x?2． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则a??2，所得抛物线解析式为y??2(x?1)2?3??2x2?4x?1．

(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向， ∴ a??2．故所得抛物线解析式为y??2(x?1)2?3??2x2?4x?5．

【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a的符号，故可利用移动后

的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式．

举一反三：

【变式】将抛物线y??3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．

例2．二次函数

的图象可以看作是二次函数1的图象向平移4个单位，再向平122y?xy?(x?3)?422移3个单位得到的．

例3．已知y1?a(x?h)2与y2?kx?b的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．

(1)确定此二次函数和直线的解析式； (2)当y1?y2时，写出自变量x的取值范围．

【答案与解析】

(1)∵ y1?a(x?h)2，y2?kx?b的图象交于A、B两点，

??1?a(0?h)?k?b?0,∴ ?且? 2?b??1.?0?a(1?h)解得?2?a??1,?k?1, 且?

?h?1,?b??1.

∴ 二次函数的解析式为y??(x?1)2，直线方程为y?x?1． (2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，y1?y2．

【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取

值范围．

例4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：

y?1211x，y?x2?3，y?x2?3． 222（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线y?

【答案与解析】（1）列表： x … 12x?c的开口方向，对称轴及顶点坐标． 2-3 -2 2 -1 0 0 1 2 2 3 … … y?12x 2… 14 21 21 214 2描点、连线，可得抛物线y?将y?12x． 2121212x的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到y?x?3与y?x?3的图象（如222图所示）．

抛物线y?1211x，y?x2?3与y?x2?3开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次 222是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．

12x?c的开口向上，对称轴是y轴（或直线x?0），顶点坐标为（0，c）． 212【总结升华】先用描点法画出y?x的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．

2（2）抛物线y?向上平移向下平移2?y?ax2?????y?ax2?k(k?0)．规律总结：y?ax?k?????k个单位k个单位练习

1．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（）

A． B． C． D．

3．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（）

A． B． C． D．

4．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（）

A．C．

B．