停车场车位分配问题

停 车 场 车 位 分 配 问 题 研 究

一． 摘要

某写字楼的停车位数目一定，主要提供写字楼办公人员办卡包年或包月使用，为了使停车场空置率减少，以及免于有卡却没有车位产生冲突的尴尬，我们必须对停车流量进行模拟分析，建立合理的最佳的车位分配管理方法，并得到最大的收益。

首先，对附表中数据进行分析，因为我们得到的是四月份的停车流量，为了方便分析研究，我们应该把数据转化为停车量。我们从中引入了概率进行模拟。假设停在停车场中的车辆在各个时间段离开是按照泊松分布，即可分别求的到来的和离开的车辆数目，就可以方便得得到停车量这个关键的数据，对停车量进行曲线估计，得出停车量与时间段的二元一次方程。

其次 ，先定义冲突概率，经过分析得出在停车量高峰期时，可能来停车的数目的占用率与停车量的占用率的差值 为允许发生冲突概率0.05下的停车数目，得到计算最大售卡量的公式为：

m=222+ 212

即可求出当 0.05时的最大售卡量为239张。

最后，制定更好的车位分配方案时则将卡的种类分为年卡、月卡和临时卡，通过设定年卡和月卡的价格来控制相应的销量，从而使年收益最大。建立数学线性规划模型，设立目标函数和约束条件，用Lingo软件即可计算出当 0.05时年卡和月卡最佳销售价格以及张数如下表所示：

关键词：泊松分布，正态分布，SPSS，计算机模拟

二、问题分析与重述

问题一：题目要求模拟附表中停车流量，分析停车量的统计规律。停车流量与停车量是两个不同的概念，要分析停车量的统计规律就必须弄清楚来到停车场的车辆数目以及离开停车场的车辆数目。而题目所给的条件中我们只知道停车流量，也就是车离开与来到的总的次数，因此我们假设车的离开服从泊松分布，运用泊松分布模拟来求出单位时间内车辆离开的数目，这样也就可以知道单位时间内车辆到来的数目，它们两者的差值也就是我们所要求的停车量。

问题二：定义冲突概率，求若冲突概率低于 0.05情形下，计算最大售卡量。根据附表中停车流量数据，以及上题对停车量的分析，我们可以知道在第四个时间段，即早上13:00—14:00停车量是最多的，也就是在这段时间产生冲突的概率是最大的，为了计算最大售卡量，我们就取这段时间进行分析。

问题三：此问要求设计出最佳车位分配管理方式，使得收益最大。也就是在满足冲突概率低于一定值的条件下，找到它与收益的平衡点。我们从售卡种类，价格，数量出发，设计方案将利润最大化。首先将卡分为年卡和月卡和临时卡，两者的价格和销量则按照数学线性规划模型计算得出，列出目标函数和约束条件，用Lingo软件即可求出我们所需的数据。

三、符号说明

四、模型假设

（1）假设在第i个时间段初到段末来到停车场停车的车辆不会在这个时间段离开，都是在第(i 1)之后的时间段离开。 假设在一天结束之后，所有车都离开停车场。

（2）假设车辆在各个时间段离开的数量服从泊松分布。 （3）假设汽车来到停车场的时间服从均匀分布。 （4）假设忽略工作日和休息日的区别。 （5）假设停车场现售出212张卡

五、模型的建立与求解

第一问

SPSS统计回归模型

（1）对各个时间段的停车流量做近似模拟

考虑到题目中统计资料以及相关数据较少，建立一个准确的数据模型比较困难，我们利用随机误差统计的处理方法，利用SPSS统计软件对附录中的数据进行处理，得如下的表（1）和表（2）。 偏度：随机变量x的偏度定义为

g1

E x E x

3

Var x 3

2

它度量了分布的偏斜程度及偏向．是一个无量纲的数值。g1若>O，则称x的分布是正偏(或右偏)的；若g1<O，则称x的分布是负偏(或左偏)的。g1越大，说明x的分布偏斜得越厉害。正(负)偏度往往反映的是分布在右(左)方向的尾部比在左(右)方向的尾部有拉长的趋势。

峰度：是一个反映随机变量分布形状的量。随机变量x的峰度定义为 g2

E x E x

4

Varx2

3

它度量了分布尾部的厚度。同偏度一样．峰度也是一个没有量纲的数值。峰度g2的取值范围是[一2，∞]。正态分布的g2 0。人们以正态分布为标准，若

g2>o，则说明随机变量x分布的尾部比正态分布的尾部粗，并且g2值越大，倾

向认为尾部越粗；若g2<0，则说明x分布的尾部比正态分布的尾部细，g2值越大，倾向认为尾部越细。峰度g2可用来比较已标准化了的各随机变量分布的尾部厚度。

表（1）

对表（1）进行分析，各个时间段内停车流量的标准差都比较小，则说明各时间段内停车流量的频率分布范围较小。各个时间段内停车流量的偏度值较小，

峰度值都比较接近0，则说明各个时间段内停车流量频率分布应当服从同一种分布。因此，我们利用12:00-13:00这一时间段内，4月1日—4月30日的停车流量来模拟这一时间段的停车流量。

利用SPSS统计软件对12:00-13:00这一时间段内，4月1日—4月30日的停车流量绘制P-P图，如：图（1）

P-P图 是根据变量的累积比例与指定分布的累积比例之间的关系所绘制的图形。通过P-P图可以检验数据是否符合指定的分布。当数据符合指定分布时，P-P图中各点近似呈一条直线。如果P-P图中各点不呈直线，但有一定规律，可以对变量数据进行转换，使转换后的数据更接近指定分布

由下图（1）可以明确得出12:00-13:00这一时间段内停车流量的频率分布近似服从正态分布

图（1）

所以，我们可以使用SPSS软件对12:00-13:00这一时间段内的停车流量用正态分布函数进行模拟，得出下面的解，如下表（2）

表（2）

（2）对停车量的统计规律

已知各时间段的停车流量Ti，目的是要求出各个时间段的停车量ni。停车流量是单位时间内来到停车场的车辆数目与离开停车场的车辆数目的和，单位时间的停车量则是来到停车场的车辆数目与离开停车场的车辆数目的差值。 这两者的关系如下面两式所示：

Ti Ii Oi （1） Ni Ii Oi （2）

由（1）式，（2）式可知：

Ni Ti 2Oi（3）

因此，问题的关键就是要求出Oi。

由假设第二条即：假设车辆在各个时间段离开的数量服从泊松分布:

P(X k)

k

k!

e (k 0,1,2,...)

再根据假设第一条即：假设在第i个时间段初到段末来到停车场停车的车辆不会在这个时间段离开，都是在第(i 1)之后的时间段离开，就可以列出以下式子：

第1个时间段：

I1 T1 N1； O1 0；

第2个时间段：

O2 I1 P(X 1)； I2 T2 O2； N2 T2 2O2；

第3个时间段：

O3 I1 P(X 2) I2 P(X 1)；

I3 T3 O3； N3 T3 2O3；

第i个时间段：

Oi I1 P(X i 1) I2 P(X i 2) ... Ii P(X 1)；

Ii Ti Oi； Ni Ti 2Oi；

由SPSS软件根据泊松分布模拟出4月1日的停车量，如表（3）

用上述计算公式即可计算出单位时间内也就是每个时间段的进入停车场车辆的数目和离开停车场车辆的数目。用折线图来表示如下图所示：

图（2）

根据上图容易得到各时间段停车量如图表所示：

图（3）

综上所述，各时间段的进入停车场的车辆的数目，离开停车场的车辆的数目以及停车量如 下表所示：

各时间段停车量与停车数

表（3）

从图（2），图（3）和表（3）中可以看出，在13点以前停车量总体上是上升的，但是有在13点到14点之间有一个停车量最大值，然后就是稍稍下降和持平。到了17点，出现一次明显的下降，停车量迅速减小直至所有车都离开停车场。 利用SPSS软件对4月1日的停车量进行二次曲线拟合，得到如表（6

）和图（4）

表（4）

图（4）

表（4）中，R 方表示复相关系数的平方，反映的是自变量与因变量之间的密切程度，通常衡量二元线性回归模型的拟合程度，取值在0到1之间，越靠近1说明拟合程度越高。由表（4）中可知R 方是0.721说明该模型拟合程度很好，

Sig.值为0小于0.05，因此，线性回归方程显著。由表（4）可得其方程为

y 1.28x2 20.215x 7.073

x表示时间段，y表示停车量 第二问

定义冲突概率 ：一天中的某个时间段出现车位不够的现象。即停车场发生冲突

也就是来到停车场的车的数量比停车场车位的数量多。

由第一问可知，在第八时间段即13:00—14:00停车量是最多的，所以这个时间段发生冲突的概率最大，如果其他时间段发生了冲突，这个时间段必然也会发生冲突，因此，想要得到最大售卡量，只要考虑这个时间段即可。

利用SPSS软件对13:00—14:00的停车流量做频数分布表分析，可得如表（5) 和图（5），由第一问可知，停车流量样本分布大致呈正态分布。

表（5）

以13:00—14:00这个时间段来到停车场的车辆数目为横坐标，以达到相同来车数目的次数为纵坐标作柱状图得到这个时间段即最高峰来车数分布直方图如下图所示:

图（5）

由表（5）可得中位数M为134。

由于该停车场有212各车位，允许发生冲突的概率为0.05，所以该时间段的停车上限为212*1.05=222，所以，加上冲突后可以让222个人来停车。在停车量高峰期时，可能来停车的数目的占用率与停车量的占用率的差值 为允许发

生冲突概率0.05下的停车数目，那么计算最大售卡量的公式为：

m=222+ 212

的得来：停车的数目的占用率与停车量的占用率如下表（6）

表（6）

图（7）

由图（7）可知，第八时间段的可能来停车的数目的占用率与停车量的占用率的差值

=0.547169811-0.419811321 0.13

m=222+ 212=222+0.13 212=239

综上所述：当 0.05时，最大售卡量m 239。 第三问

数学线性规划模型

我们建立数学线性规划模型解决该问题 ， 首先我们做出以下假设 ： 近似认为该停车场将车位划分为包月或者包年的停车流量和临时的停车流量两种。

设每天售年卡、月卡、临时卡分别为x1,x2,x3,三种卡的单价分别为

a1,a2,a3,

建立目标函数：

max z a1x1 12a2x2 360a3x3

.st. x1 x2 x3 239 （1） a1 12a2 （2）

a2 30a3 （3） x1,x2,x3,a1,a2,a3 0 （4）

利用Lingo软件可以从该结果中得到，我们在售卡时在冲突概率小于0.05的条件下年卡卖120张，月卡卖95张，临时卡卖16张，其中年卡单价为3200，月卡单价为300，临时卡单价15。这样得到的收益最高为1590000.

六、模型的检验

利用SPSS软件对12:00-13:00时间段的停车流量进行配对样本T检验，输出结果为下表：

表（7）

表（9）

由以上表知Sig.值为0.474大于0.05，说明理论值和实际值的差异不显著，则用正态分布模拟较为准确。

七、模型的评价

问题一 ： 由于本题中的统计资料以及相关数据较少 ， 建立一个准确的数据模型比较困难 ， 因此我们使用了SPSS统计回归方法 得到了停车量的曲线方程，虽然是一个较为近似的结果 ，但可信度比较高。

问题二： 第二题中的冲突概率 α 的定义随机性较大 ，没有准确的定义 ，

在之后的解题过程当中会有一定的影响。

八、参考文献

（1）姜启源，谢金星，叶俊 编《数学模型（第三版）》，高等教育出版社 （2）罗应婷.SPSS统计分析从基础到实践【M】.北京：电子工业出版社，2007.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kidm.html