椭圆及其标准方程 同步作业2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

二十椭圆及其标准方程

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法中正确的说法是( )

A.当a=2时,点P的轨迹不存在

B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3

C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6

D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( )

A.+x2=1

B.+y2=1或x2+=1

C.+y2=1

D.以上都不对

3.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足( )

A.a2>b2

B.<

C.0<a<b

D.0<b<a

4.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k= ( )

A.-1

B.1

C.

D.-

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.椭圆x2+ky2=1的焦距为,则k= .

6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.

当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.

8.已知点P(6,8)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若·=0.试求

(1)椭圆的方程.

(2)sin ∠PF1F2的值.

(15分钟·30分)

1.(5分)椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为

( )

A.8

B.2

C.4

D.

2.(5分)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为( )

A.+y2=1

B.+=1

C.+=1

D.+=1

3.(5分)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.

4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则

= .

5.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|= ,|EF2|=,求椭圆C的方程.

1.已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则=

( )

A. B.2 C. D.3

【加练·固】

已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点

Q,则动点Q的轨迹方程为.

2.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.

(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.

(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.

二十椭圆及其标准方程

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法中正确的说法是( )

A.当a=2时,点P的轨迹不存在

B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3

C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6

D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

【解析】选AC.当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,D错误.

2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( )

A.+x2=1

B.+y2=1或x2+=1

C.+y2=1

D.以上都不对

【解析】选A.设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0),由题意得解得

所以此椭圆的标准方程为+x2=1.

3.若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足( )

A.a2>b2

B.<

C.0<a<b

D.0<b<a

【解析】选C.由题意,曲线ax2+by2=1可化为+=1.

因为曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,

所以>>0,所以b>a>0.

4.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k= ( )

A.-1

B.1

C.

D.-

【解析】选B.由5x2+ky2=5得,x2+=1.

因为焦点为(0,2),所以a2=,b2=1,

所以c2=a2-b2=-1=4,所以k=1.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.椭圆x2+ky2=1的焦距为,则k= .

【解析】椭圆x2+ky2=1转换为标准形式+=1,

当焦点在x轴上时,c2=1-,即2c=2=,解得k=2,

当焦点在y轴上时,c2=-1,即2c=2,

解得k=.

答案:2或

6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.

【解析】由题意可得所以

故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.

答案:+=1

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.

当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.

【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(x P,y P),

因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以x P=x,且y P=y.

因为P在圆x2+y2=25上,

所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.

8.已知点P(6,8)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若·=0.试求

(1)椭圆的方程.

(2)sin ∠PF1F2的值.

【解析】(1)因为·=0,

所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,

所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|

=+=12,

所以a=6,b2=80.所以椭圆方程为+=1.

(2)如图所示,

过点P作PM⊥x轴,垂足为M,

则|PM|=8,|F1M|=10+6=16,

所以|PF1|===8,

所以sin∠PF1F2===.

(15分钟·30分)

1.(5分)椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为

( )

A.8

B.2

C.4

D.

【解析】选C.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8,由于N为MF1的中点,所以ON为△F1MF2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.

2.(5分)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为( )

A.+y2=1

B.+=1

C.+=1

D.+=1

【解析】选C.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),

令x=c,则y=±,由|AB|=3,得=3,①,

又a2-b2=c2=1,②

联立①②得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为+=1.

3.(5分)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.

【解析】椭圆方程化为+=1,

设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),

所以|AF1|=,|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,

又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.

答案:6+6-

4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则

= .

【解析】由题意知,A,C为椭圆的两焦点,

则|AC|=8,|AB|+|BC|=10.所以===.

答案:

5.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|= ,|EF2|=,求椭圆C的方程.

【解析】因为点E在椭圆C上,所以2a=|EF1|+|EF2|=+=6,即a=3.

在Rt△EF1F2中,

|F1F2|===2,

所以椭圆C的半焦距c=.

所以b2=a2-c2=9-5=4,

所以椭圆C的方程为+=1.

1.已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则=

( )

A. B.2 C. D.3

【解析】选C.设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,即(1,y0)=3(x1-1,y1),

所以又点B在椭圆C上,

所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),

所以==.

【加练·固】

已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为.

【解析】连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,

则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|,

所以Q的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,所以b=,所以点Q的轨迹方程为+=1.

答案:+=1

2.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.

(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.

(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.

【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),

由=λ得x0=,y0=-.

又+=1,所以+=1,

化简得λ2+6λ-7=0,

解得λ=-7或λ=1,

因为点C异于B点,

所以λ=-7.

(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|

≤4+|BF2|,

所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1的周长最大,最大值为8.

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