正定矩阵的判定、性质及其应用

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。

关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质

1 I

正定矩阵的判定、性质及其应用

Abstract

We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.

Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.

II

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目 录

摘 要............................................................... I Abstract ............................................................ II 目录............................................................... III 引言................................................................ 1 1 正定矩阵的定义.................................................... 1

1.1 正定二次型的定义............................................. 1 1.2 正定矩阵的定义............................................... 1 2 正定矩阵的判定.................................................... 2 3 正定矩阵的性质.................................................... 6 4 正定矩阵的应用.................................................... 6

4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用................................. 6 4.2 正定矩阵在数学分析中的应用................................... 7 4.3正定矩阵的其他应用 ........................................... 8 小结................................................................ 9 参考文献........................................................... 10 谢 辞.............................................................. 11

III

正定矩阵的判定、性质及其应用

引言

在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。

在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵”，而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。[1]在公元前1世纪，在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在18世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。[2]

[3] 矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。历史上，在对于二次型和Hermite

型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。[4]如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。

正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。 下面我首先介绍正定矩阵的定义。

1 正定矩阵的定义 1.1 正定二次型的定义

定义1[5]：在实二次型f?x1,x2,?xn?中若对于任意一组不全为零的实数则称该二次型为正定的;若f?x1,x2,?xn??0，c1,c2,??cn都有f?x1,x2,?xn??0，

则称f为半正定二次型；若f?x1,x2,?xn??0，则称f为负定二次型；若

f?x1,x2,?xn??0，则称f为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半负定的则称为不定二次型。

1.2 正定矩阵的定义

定义2：若实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX正定，则称实对称阵A正定;若实二次

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型f?x1,x2,?xn??XTAX半正定，则称实对称阵A半正定；若实二次型

f?x1,x2,?xn??XTAX负定，则称实对称阵A负定；若实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX半负定，则称实对称阵A半负定；若实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX不定，则称实对称阵A不定。

事实上，正定二次型与元数有关系，例如x1?x2 当作为二元实二次型时正

x2?0，定（取任何不为零的数即可）；但当作为三元实二次型时不正定（取x1?0，

22x3?1则结果不满足

[6] ）。

2 正定矩阵的判定

[7]

定理1： n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX是正定的充要条件是它的标准形

的系数全为正。

?a11??a21证: 因为 A=????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n? 对A作合同变换，即 ????ann???a11?a21?A?E???????a?n1a12?a1n1a22?a2n??an2?ann??d1??1?????????1???b11d2?dnb21?b12b22?bn1bn2?b1n???b2n?????bnn???b11b12?b1n???b?b2n??b取C??2122作非线性退化X?CY，则实二次型的标准形为 ???????b??n1bn2?bnn?f?x1,x2,?xn??d1y1?d2y2???dnyn

222又因为A为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即

?d1???d1d?0也是正定矩阵。则，?d??d1d2?0，????11d2??dn??d1?dn形的系数全为正。

定理2[8]：n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX是正定的充要条件是它的正惯性指数为n。

?d1?dn?0即d1?0， d2?0，?? dn?0，所以实二次型的标准

2

正定矩阵的判定、性质及其应用

证：因为f?x1,x2,?xn??XTAX是正定的，所以矩阵A是正定矩阵，则

f?x1,x2,?xn??XTAX

T那么f?x1,x2,?xn??XAX可化为f?x1,x2,?xn???aixi2，且ai?0?i?1,2,?,n?由此可得，正惯性指数为n。

矩阵，根据定理1可得矩阵A为正定矩阵。

推论：实对称矩阵A正定的充要条件是A的正惯性指数等于A的级数。 定理3：n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的秩与符号差均为n。

证：必要性 因为A是实对称正定矩阵，所以实对称矩阵A所对应的实二次型的正惯性指数为n、负惯性指数0，从而可得实二次型符号差为n。

因为矩阵A的主对角线上的元素对应n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的系数，又矩阵A为正定矩阵，所以正定矩阵A的主对角线上的所有数全部大于零，进而可推出正定矩阵A的秩为n。

充分性 因为二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的秩与符号差均为n，所以

i?1n反之，若该n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX的正惯性指数为n，且A为对称

f?x1,x2,?xn??XTAX正惯性指数为n，从而由定理2可得矩阵A为正定矩阵。 定理4[9]：n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是A与单位矩阵E合同，即存在实可逆矩阵C，使的A?CTC。

证：n阶实对称矩阵A正定的充要条件是n元实二次型f?x1,x2,?xn??XTAX正定，当且仅当A的正惯性指数为n，当且仅当A与单位矩阵E合同。 定理5：n阶实对称矩阵A??aij?m?n是正定的充要条件是A的顺序主子式?0 证：必要性 设实二次型f?x1,x2,?xn????aijxixj是正定的。将任意一组不

i?1j?1nn全为零的实数c1,c2?cn代入实二次型f?x1,x2,?xn????aijxixj,有

i?1j?1nn因此，fy?x1,x2?xn?是正定二fy?c1,c2?cn????aijcicj?f?c1?cn,0?0??0。

i?1j?1nna11a12??a1k??0,k?1,2?n。这就证明

次型的。由此，fy的矩阵的行列式

a21?ak1a22?a2kak2?akk了矩阵A的顺序主子式全大于0。 充分性 对n作第二数学归纳法

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（1）设当n?1时，f?xi?=a11x1，由题可得 a11?0,则易得f?xi?是正定的。

2（2）假设当n?m?1时，命题成立。 （3）下面证明n元时的情形：

?a11??a21 令A1?????a?n?1,1a12a22?an?1,2?????a1n?????，a????

?a???nn???an?1,n?1?a1,n?1a2,n?1??A1于是矩阵A可以写成A???aT?a?? ?ann?因为A的顺序主子式全大于零，从而A1的顺序主子式也全大于零。

由假设A1是正定矩阵，则存在一个可逆的n?1阶矩阵G，使得GTA1G?En?1

?GT?G0?T令C1???01??，于是C1AC1???0????En?1?GTa??，有 再令 C2???01???0??A1???aT1???a??G0??En?1GTa?? ???????T??ann??01??aGann??0??En?10??En?1GTa??En?1?GTa??En?1????=?? ?CCAC1C2??TT???aTG1??aTGa??0??0a?aGGa1?????nn?nn??T2T1?1???2?1?CA?a 令 C?C1C2，ann?aTGGTa?a 就有 CTAC??，进而有?????a???由条件，A?0，因此a?0。显然：

?1??1????1??1 ??=????????a??????1??1??????1??1????????????a?1????????? ?a??即矩阵A合同于单位矩阵，从而得出A是正定矩阵，进一步可得

XTAX??PY?APY?YTPTAPY?YT实二次型f?x1,x2,?xn?是正定的。

T??定理6[10]： n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是A的特征值都大于零。 证：因为矩阵A为正定矩阵，所以存在一个正交矩阵p，使得pT?p?1 ，进而

4

正定矩阵的判定、性质及其应用

?a1????有PTAP?P?1AP??? 其中a1?an 均为矩阵A的特征值。那么A所对?an???应的二次型为f?x1,x2,?xn??XTAX，其中令X?PY。则有

?a1???Tf?x1,x2,?xn??XTAX??PY?APY?YTPTAPY?YT???Y?g?y1y2?yn??an?????又因为g?y1,y2?yn??0 即其为正定二次型。所以a1,a2?an 均大于零，即A的特征值均大于零。

定理7：n阶实对称矩阵A是正定的充要条件是该矩阵对角线上各个元素均大于零。

注：（1）正定矩阵必须为对称矩阵。所以在判定一个矩阵是否为正定矩阵的时候必须先判定该矩阵是否为对称阵，若不是则一定不是正定矩阵，若是则可继续对其进行判定。（2）在题目若给出的是一个含有具体数字的实对称矩阵A，那么要判断矩阵A是否为正定矩阵，则要验证A的各阶顺序主子式是否都大于零。若均大于零，则为正定矩阵，否则不是正定矩阵。（3）在题目中若给出的是一个不含具体数值的抽象矩阵，则证明矩阵是否正定通常使用以下两种方法：方法1 利用定义：即对任意列向量x?0，恒有二次型xTAx?0,则矩阵A为正定矩阵。方法2 利用特征值：如果矩阵A的特征值全部大于零则可得出矩阵A为正定矩阵[11]。

例1：当?取何值时，f?x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型？

22?1??1???解：设二次型f的矩阵A???42?，则

??124??? ?1?1，?2???4??2，?3???411??12??4???1????2? 44?12由二次型正定的充要条件可知当?2?0，?3?0时f正定。

由?2?0得?2???2；由?3?0得?2???1。于是，?2???1当且仅当f为正定二次型。

例2：设n阶实对称矩阵为A，且满足A4?4A3?7A2?16A?12E?0，证明矩阵A是正定矩阵。

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证:设Ax??x,即?是A的特征值，x是A的特征向量，由题可以得出：

0?(A4?4A3?7A2?16A?12E)x?(?4?4?3?7?2?16??12E)x 由x?0得(?4?4?3?7?2?16??12E)?(??1)(??3)(?2?4)?0 显见，原式的特征值为?1?1，?2?3，?3??2i

又因为实对称矩阵的特征值为实数，所以根据上式可得A的特征值为1和3，又1和3均为大于零的数，从而矩阵A是正定矩阵。

3 正定矩阵的性质

性质1[12]：正定矩阵主对角线上的元素全大于零。

证：设正定矩阵为A，得对任一非零向量X，都有XTAX?0。取

X?(0,0?ei,0?0)，则有eiAei?aii?0?i?1,2?n?，所以正定矩阵A的主对角

TT线上元素全大于零。

性质2：正定矩阵的行列式必大于零且正定矩阵一定可逆。

性质3：若A是正定矩阵，则A?TTT(其中T是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵)。

证：因为正定矩阵A可以写为A?QTQ，其中Q为可逆矩阵。

再设Q?UT其中U为正交矩阵T为主对角线上元素全大于零的矩阵，所以

A?(UT)TA(UT)?TT(UTU)T?TTT。

性质4：若A是正定矩阵，则A的逆矩阵、伴随矩阵及A?AT、各阶主子矩阵均为正定矩阵。

证：因为A正定，则A?1CAC?E，则CT?1????A??A。又C为存在的一个可逆实矩阵，使得A?C??E 即??C??A?C??E。所以A是正定矩阵

TT?1?1?1T?1T?1T?1?1T?1注：类似可证得正定矩阵A的伴随矩阵A*也为正定矩阵。

性质5：若A是可逆矩阵，则对任意n阶可逆矩阵P，PTAP是正定矩阵。 性质6：若正定矩阵A,B为n阶正定矩阵，则A?B也为正定矩阵。

证：由A,B正定，故?A?B??AT?BT?A?B,所以A?B是对称矩阵。对于任

T意非零列向量X,有XTAX?0，XTBX?0,从而XT?A?B?X?0,故

XT?A?B?X?0正定,所以A?B为正定矩阵。

4 正定矩阵的应用

4.1 正定矩阵在证明不等式中的应用

例1 证明：x2?4y2?2z2?2xy?2xz(x,y,z均不等于零) 证：由原题可设

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正定矩阵的判定、性质及其应用

f?x,y,z?=x2?4y2?2z2?2xy?2xz

?1?11??x?????f?x,y,z?=?x,y,z???140??y?

?102??z??????1?11???易得：A???140?的各级顺序主子式均大于零，即A为正定矩阵，进而

?102???1A??11?1140又因为x,y,z均不等于零，所以f?x,y,z??0，则命题得证。0?0。

2例2 设A是n阶正定矩阵，证明A?2E?2n

证：设矩阵A的特征值为?1,?2??n，由A正定可知?i?0?i?1,2,??n?。又由所以A?2E???1?2????n?2??2n。 A?2E可知其特征值为?1?2,?2?2??n?2，

4.2 正定矩阵在数学分析中的应用

定理[13]：n元实函数f?x1,x2?xn?的一阶偏导数等于零的点为X0??x10,x20?xn0?,且在点X0处具有二阶连续偏导数,

???则黑塞矩阵H?X0?=????fx1x1fx2x1?fxnx1fx1x2fx2x2?fxnx2???fx1xn??fx2xn??X?为正定矩阵时，f?x0?为f?x?的极???fxnxn??小值；当H?X0?为负定矩阵时，f?x0?为f?x?的极大值；当H?X0?为不定矩阵时，

f?x0?不是f?x?的极值。

例3 求函数f?x,y,z?=4x2?2y2?z2?2xy?2x?4的极 解：fx?8x?2y?2，fy?4y?2x，fz?2z 令fx=fy=fz=0，则x=

216?216?，y=，z?0，即驻点X0??,,0?。 77?77?又由fxx?8，fyy?4，fzz?2，fxy?fyx??2，fzx?fxz?0，fyz?fzy?0知

?8?20???f?x,y,z?有二阶连续偏导数，所以H?X0?=??240?且易得H?X0?的各阶顺

?002???

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?216?序主子式全大于零，即H?X0?为正定矩阵，故而f?x,y,z?在?,,0?处有极小

?77??216?564值且f?,,0??。

7749??4.3正定矩阵的其他应用

例4 证明：A是正定矩阵的充要条件是存在n阶正定矩阵B使得A?B2。 证：充分性 因为矩阵A是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得

??1????1TQAQ?QAQ??????,其中?i?0?i?1,2??n?

??n??? 则：

??1?TA?Q?Q?Q????????1?????????n??????QT???n????1?Q????????1??T?QQ??????n??????1??T2?Q?B,其中B?Q??????n??????QT其??n??中?i?0，易得B为正定矩阵。

必要性 已知A?B2，其中B是正定矩阵。由于AT?BT??2?B2?A,所以矩

阵A是实对称矩阵。设B的特征值为?1,?2???n，由上矩阵B为正定矩阵知

?i?0?i?1,2,??n? 而A的特征值为?i2?0，故矩阵A是正定矩阵。

例5 设A为n?m实系数对称矩阵，证明：r?A??n的充要条件是存在一实系数

n?n矩阵B，使得AB?BTA正定。

证：必要性 因为AB?BTA??AB?T?AB?BTA?AB，所以AB?BTA为对称矩阵。若r?A??n，则A?1存在，令B?A?1，则： AB?BTA?AA?1?A?1AT?E?AA?1?2E， 由此可知AB?BTA正定。

充分性 已知AB?BTA正定，则对?x?Rn且x?0有

??T??T??xTAB?BTAx??Ax?Bx??Bx?Ax?0，由上式可知Ax?0，从而Ax?0仅有零

TT??解，故r?A??n。

例6 设A,B都是n阶正定矩阵且AB?BA，证明：AB是正定矩阵。

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正定矩阵的判定、性质及其应用

证：因为?AB?T?BTAT?BA?AB，所以AB为对称矩阵。

又因为A.B是正定矩阵，由例4知存在正定矩阵U,V使得A?U2，B?V2。于是，

U?1?AB?U?U?1U2V2U?UV2U??VU??VU??C得：C与AB相似。

T由于CT??VU??VU??C,所以C是实对称矩阵。又对任意实n维列向量x?0，

T由VU可逆知VUx?0，从而

xTCx?xT?VU??VU?x??VUx??VUx??0TT

即：矩阵C为正定矩阵，由此可得矩阵C的全部特征值都大于零，进而AB的特征值大于零，所以AB为正定矩阵。

例7 设n阶实对称矩阵A满足A2?2A2?3A?0，且r?A??r,又A的正惯性指数为k，其中n?r?k?0，求2E?A的值。

解：设Ax=?x，即A的特征值是?，A的特征向量x是由A2?2A2?3A?0 ， 得

?A2?2A2?3Ax??2?2?2?3?x?0。

???又由于x?0，则?2?2?2?3??????1????3??0 得?1?0,?2??1,?3?3。 因为A是实对称矩阵，所以矩阵A与对角矩阵相似。又因为r?A??r和正惯性指数为k，知3是A的k重特征值，-1是A的r?k重特征值，0是A的n?r重特征值。于是存在n阶正交矩阵Q，使得

?3Ek? Q?1AQ???????Er?k??? On?r???Ek则2E?A?2E?Q?Q?1?Q(2E??)Q?1?3Er?k2En?r???1?3r?k2n?r。

k小结

本文主要介绍了正定矩阵的定义、判定、性质及其应用，并且对部分判定和性质进行了证明，对我们能更深入的了解正定矩阵奠定了一些基础。在高等代数的研究中还有对正定矩阵更深入的研究和发现，比如广义正定矩阵，但由于我目前还没有接触到，所以有待我做进一步的学习和归纳总结。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/khv7.html