高中数学解题方法谈 - 线性规划求最值问题

线性规划求最值问题

一、与直线的截距有关的最值问题

?x?2≤0，?例1 已知点P(x，y)在不等式组?y?1≤0，表示的平面区域上运动，则z?x?y的

?x?2y?2≥0?取值范围是（ ）． （A）［－2，－1］ （B）［－2，1］

（C）［－1，2］ （D）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z?x?y， 把它变形为y?x?z，这是斜率为1且随z变化的一族平行 直线．?z是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z?x?y取得最大值为2；

直线经过点（0，1）时，目标函数z?x?y取得最小值为－1．故选（C）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［?1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．

二、与直线的斜率有关的最值问题

?x?y?2≤0，y?例2 设实数x，y满足?xc?2y?4≥0，，则z?的最大值是__________．

x?2y?3≤0，?

解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），z?yx?y?0x?0表示两点

要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜O(0，0，)P(x，y确定的直线的斜率，)率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为x?2y?4?0与2y?3?0的交点，即A点．

∴P?1，?．故答案为

?2??3?32．

yxy?0x?0注：解决本题的关键是理解目标函数z?几何意义，当然本题也可设

yx?的

?t，则y?tx，即为求

y?tx的斜率的最大值．由图2可知，y?tx过点A时，

t最大．代入y?tx，求出t?即得到的最大值是

3232，

．

三、与距离有关的最值问题

1

?x?y?2≥0，?例3 已知?x?y?4≥0，，求z?x2?y2?10y?25的最小值．

?2x?y?5≤0，?解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而z?x2?(y?5)2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC上，故z的最小值是MN2?92．

注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等． 四、与实际应用有关的最值问题

例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？ 分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数 之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问 题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上 得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设． 解：设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成 ?50x?20y≤2000，??y≥x，不等式组，即约束条件为?

y≤1.5x，??x，y?N?，?

200?x?，??50x?20y?2000，?7 由?解得?．

y?x，200??y?.?7?∴ A点的坐标为??200200?，?， 7??7?x?25，?50x?20y?2000，? 由?解得?75．

y?1.5x，.??y??2∴ B点的坐标为?25，?．

?2??200200，77?75???，B25，0)为顶点的三角形区???，O(0，2????75?所以满足约束条件的可行域是以A?域（如图4）．由图形可知，目标函数z?x?y在可行域内的最优解为25，，但注意到

x，y?N，故取y?37．答：应买桌子25张，椅子37把．

? 2

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