河北省邢台市2022-2022学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

河北省邢台市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.

2．过双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且

BF DF =，则C 的离心率是（ ） A 5 B ．2 C 5D ．102

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ?、2Rt FDF ?可求离心率.

【详解】

如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C .

因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥.

又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.

设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.

因为FDC ?为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =.

在2Rt FDF ?中，有22249c a a =+，所以5102c e a =

==. 故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.

3．已知平面向量a b r r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3

π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ） A ．7-

B ．3-

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】

【分析】 由已知可得()()

20a b a b λ+-=?r r r r ，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可. 【详解】 依题意得22113a b cos π?=??=-r r 由()()

20a b a b λ+-=?r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-?=r r r r 即390λ-+=，解得3λ=.

故选:D .

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.

4．已知函数2,0()2,0x x x

f x e x x x ?>?=??--≤?

若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．2(0,)3e

B ．2(,0)3e -

C ．(,0)2e -

D ．(0,)2e

【答案】D

【解析】

【分析】

将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2

y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2

-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.

【详解】

由图知()y f x =与1()2

y k x =+有4个公共点即可，

即()

0,k k ∈切，当设切点()00,x y ， 则0

000011()2x x x k e x k x e -?=????+=??，0122x k e ?=??∴??=??

2k e ∴∈.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.

5．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根

据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】A

【解析】

【分析】 计算313cos sin 3322

πππ=+=+i e i i ，得到答案. 【详解】

根据题意cos sin ix e x i x =+，故313cos sin 3322πππ=+=+i e

i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A .

【点睛】

本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.

6．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）

A ．6i >，7S S =

B ．6i …7S S =

C ．6i >，7S S =

D ．6i …

，7S S = 【答案】A

【解析】

【分析】 依题意问题是()()()22212712020207S x x x ??=-+-+?+-??，然后按直到型验证即可.

【详解】

根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ??=-+-+?+-?

?， 观察程序框图可知，应填入6i >，7

S S =

， 故选：A.

【点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.

7．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转6

π，所得向量对应的复数是（ ）

A

．122-+ B

．122i -+ C

．12- D

．122

i -- 【答案】A

【解析】

【分析】

由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r 的坐标，逆时针旋转

6π，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求.

【详解】

解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1），

∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r 绕原点O 逆时针旋转6

π得到OB uuu r ， 设OB uuu r ＝(a ，b)，0,0a b <>，

则cos 62

OZ OB b OZ OB π?===u u u r u u u r u u u r u u u r ，

即2

b =， 又221a b +=，

解得：1,22

a b =-=，

∴12OB ?=- ??

u u u r ，

对应复数为12-+.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

8．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( )

A ．0或2

B ．2

C ．0

D ．1或2

【答案】C

【解析】

试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

9．使得()3n x n N x x +?+∈ ??

?的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 【答案】B

【解析】 二项式展开式的通项公式为r -n 3x ()n r r C x x （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B

【考点定位】本题考查二项式定理的应用．

10．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，

则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）

A ．55

B ．306

C ．66

D ．55

【答案】C

【解析】

【分析】

以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D

所成角的正弦值．

【详解】

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，

取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r

， 设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos

,|6EF n EF n EF n

?==?u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为6. 故选C ．

【点睛】

本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 11．已知2cos(2019)3

πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ） A ．79 B ．59 C ．59- D ．79

- 【答案】C

【解析】

【分析】

利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(

2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案. 【详解】

由2cos(2019)πα+=可得2cos()πα+=2cos 3α=， ∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=?-=-.

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.

12．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）

A ．300，0.25

B ．300，0.35

C ．60，0.25

D ．60，0.35

【答案】B

【解析】

【分析】 由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，

的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率．

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，

的频率为0.0650.3?=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，

的车辆数为：0.31000300?=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+?=．

故选：B ．

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知椭圆22

122:1x y C a b +=()0a b >>与双曲线22222:1x y C m n

-=()0,0m n >>有相同的焦点1F 、2F ，其中1F 为左焦点.点P 为两曲线在第一象限的交点，1e 、2e 分别为曲线1C 、2C 的离心率，若12PF F ?是以

1PF 为底边的等腰三角形，则21e e -的取值范围为________. 【答案】2,3??+∞

??? 【解析】

【分析】 设12,PF s PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得到,s a m t a m =

+=-，根据12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形，得到 2t a m c =-= ，从而有1

2112e e -=，根据21e >，得到1113e <<，再利用导数法求2

1

21211

2212=-=?=-e y e e e e e 的范围.

【详解】 设12,PF s PF t ==，

由椭圆的定义得 2s t a += ，

由双曲线的定义得2s t m -=，

所以,s a m t a m =+=-，

因为12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形， 所以1222F F PF c ==，

即 2t a m c =-= ， 因为12,c

c

e e a m ==，

所以 12

1

12e e -=，

因为21e >，所以2

1

01e <<， 所以12

1123e e =+<， 即11

13e <<， 而2

1

21211

2212=-=?=-e y e e e e e ，

因为()11214(1)

012-'=>-e e y e ，

所以y 在1,13?? ???上递增， 所以23

>y . 故答案为：2,3??+∞ ???

【点睛】

本题主要考查椭圆，双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14．已知点P 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B 两点，若存在点P ，使得22

||||PA PB a b ?=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.

【答案】?????

【解析】

【分析】

设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22||||,PA PB b a ??∈??,由题意得到

222a b …，据此求得离心率的取值范围.

【详解】

设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+??

=+?，(t 为参数) 代入圆2222x y a b +=+，

化简得：()22222

00002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=， ()

22222222120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+，

222200,x y b a ??+∈??Q ，

22||||,PA PB b a ??∴∈??， Q 存在点P ，使得22||||PA PB a b ?=-，

222a b b ∴-…，即222a b …，

222a c ∴…，

212e ∴…，

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