江苏省镇江市中考数学试题分类 专题2 代数式和因式分解

2001-2012年江苏镇江中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题2：代数式和因式分解

一、选择题

1. （2001江苏镇江3分）用代数式表示“比a 的平方的2倍小1的数”为【 】

A ．2a 2－1 B. (2a)2－1 C. 2(a －1)

2 D. (2a －1)2 【答案】A 。

【考点】列代数式。

【分析】a 的平方的2倍表示为2a 2，比它1的数为2a 2－1。故选A 。

2. （2002江苏镇江3分）下列运算中，正确的是【 】

A 、 a 2·a 4=a 8.

B 、

1a b --＝－1a b - C 、 D 、（tan300－31）0=1. 【答案】C 。

【考点】同底幂乘法，分式化简，二次根式化简，0次幂的意义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据同底幂乘法，分式化简，二次根式化简，0次幂的意义逐一计算作出判断：

A. a 2·a 4=a 6，选项错误；

B. 11=a b a+b

---，选项错误；

a ＜0

D. ∵tan3000

==，∴（tan300）0无意义，选项错误。 故选C 。 3. （2003江苏镇江3分）下列运算正确的是【 】

A 、2a 3·3ab=5a 4b

B 、10－3÷102=10

－1 C =、11b a a b =--- 【答案】D 。

【考点】单项式的乘法，同底数幂的除法，二次根式的化简，分式的基本性质。

【分析】根据二次根式的化简、单项式的乘法、同底数幂的除法法则和分式的基本性质，逐一检验：

A 、错误，2a 3?3ab=6a 4b ；

B 、错误，10-3÷102=10-5；

C

==； D 、正确。故选D 。 4. （2004江苏镇江3分）下列运算中，正确的是【 】

（A ）11x y x y =---- （B

（C ）236(a )a -= （D

x 1-

5. （2004江苏镇江3分）如果x 3-是多项式22x 5x m -+的一个因式，则m 等于【 】

（A ）6 （B ）6- （C ）3 （D ）3-

【答案】D 。

【考点】待定系数法。

【分析】∵x 3-是多项式22x 5x m -+的一个因式，∴设()()22x 5x m=2x 3x A -+-+。

∵()()()22x 3x A =2x +2A 6x 6A -+--，∴2A 6=56A=m --??-?，解得1A=2m=3

????-?。故选D 。 6. （2005江苏镇江3分）已知|a|=5

3 ，且ab ＞0，则a+b 的值为【 】

A ．8

B ．－2

C ．8或－8

D ．2或－2

【答案】C 。

【考点】分类的思想，绝对值的定义，二次根式的性质，不等式的性质。

【分析】∵ab＞0，∴a、b 同号。

若a 、b 同正，由|a|=53=，得a=5，b=3，则a+b=8；

若a 、b 同负，由|a|=53，得a=－5，b=－3，则a+b=－8。

∴a+b=8或－8。故选C 。

7. （2006江苏镇江2分）下列计算正确的是【 】

A ．123=-x x

B ．2x x x ?=

C ．2222x x x =+

D ．()423a a -=-

【答案】B 。

【考点】合并同类项，同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方。

【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质对各选项分析判断后利用排除法求解：

A 、错误，应为32x x x -=；

B 、2x x x ?=，正确；

C 、错误，应为224x x x +=；

D 、错误，应为()()223

3261=a a a ?-=-。故选B 。 8. （2007江苏镇江3分）下列运算正确的是【 】

A ．426a a a =

B ．225a b 3a b 2-=

C ．325(a )a -=

D ．2336(3ab )9a b = 【答案】A 。

【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方的性质与合并同类项法则，利用排除法求解：

A 、424+26a a a

a ==，故本选项正确； B 、应为2225a

b 3a b 2a b -=，故本选项错误；

C 、应为322326(a )(1)a

a ?-=-=，故本选项错误； D 、应为2336(3a

b )27a b =，故本选项错误。

故选A 。

9. （2008江苏镇江3分）用代数式表示“a 的3倍与b 的平方的差”，正确的是【 】

A ．23a b -（）

B ．2a b -（）

C ．23a b -

D ．2a 3b -（）

【答案】C 。

【考点】列代数式。

【分析】列代数式，主要是明确题中给出的文字语言包含的运算关系：先求a 的3倍：3a ，然后求b 的平方b 2

：最后求差，即：23a b -。故选C 。 10. （2009江苏省3分）计算23()a 的结果是【 】

A ．5a

B ．6a

C ．8a

D ．23a 【答案】B 。

【考点】幂的乘方。

【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案：23236()a a a ?==。故选B 。

11. （2009江苏省3分）下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：11122-??-+ ???

； 第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????

； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ???????????

； ……

第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????

． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【 】

A ．第10个数

B ．第11个数

C ．第12个数

D ．第13个数 【答案】A 。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：

第1个数：111022-??-+= ???

； 第2个数：2311(1)(1)1111113234326

????---??-+++=-=- ??? ???????； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111111423456424????????-----??-+++++=-=- ??????? ???????????；

按此规律，

第1n -个数：232311(1)(1)(1)11211112342222n n n n n n -??????-----??-++++=-= ??? ? ?-??????

??； 第n 个数：()232111(1)(1)(1)1111111123421221n n n n n n -??????-----??-++++=-= ??? ? ?+++????????

。 ∵()()()()()()

2112110221211n n n n n n >n n n n n n -+-----==+++， ∴n 越大，第n 个数越小，所以选A 。

12. （2011江苏镇江2分）下列计算正确的是【 】

A ．632a a a =*

B ．y y y =÷33

C ．mn

n m 633=+ D ．()6

23x x = 【答案】D 。

【考点】指数运算法则。

【分析】A 、23235a a a a +?==，故本选项错误；B 331y y ÷=，故本选项错误； C 、3m 与3n 不是同类项，不能合并，故本选项错误；D 、()23326x x x ?==，正确。故选D 。 13. （2011江苏镇江2分）若2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围【 】

A ．x ≥2 B．x ≤2 C．x ＞2 D ．x ＜2 【答案】A.

【考点】函数自变量的取值范围, 二次根式。

202x x -≥?≥，故选A 。

14. （2012江苏镇江3分）x 的取值范围是【 】

A.4x 3≥

B. 4x>3

C. 3x 4≥

D. 3x>4

【答案】A 。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，必须3x 40-≥，即4x 3≥。故选A 。

15. （2012江苏镇江3分）下列运算正确的是【 】

A.248x x x ?=

B. 3x+2y=6xy

C. ()23

6x x -= D. 33y y =y ÷ 【答案】C 。

【考点】同底幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂除法。

【分析】根据同底幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂除法运算法则逐一计算作出判断：

A.242+46x x x x ?==，故本选项错误；

B.3x 和2y 不是同类项，不可以合并，故本选项错误；

C. ()()223

326x 1x x ?-=-?=，故本选项正确；D. 33y y =1÷，故本选项错误。故选C 。

二、填空题

1. （2001江苏镇江2分）a 3b －4 a 3b ＝ ▲ ；a 3b ×（－4a 3b ）＝ ▲ 。

【答案】－3 a 3b ；－4a 6b 2。

【考点】合并同类项，单项式乘单项式。

【分析】根据合并同类项和单项式乘单项式运算法则计算即可：

a 3

b －4 a 3b ＝－3 a 3b ；a 3b ×（－4a 3b ）＝－4a 6b 2。

2.（2001江苏镇江2分）若(n －2)2=0，则m= ▲ ，n= ▲ 。

【答案】1；2。

【考点】算术平方根和偶次幂的非负性质。

(n －2)2=0，必有m 1-=0和n －2=0，即 m=1，n=2。

3. （2001江苏镇江2分）分解因式：a 2－9= ▲ ；a 2＋4a －5= ▲ 。

【答案】()()a 3a 3+-；()()a+5a 1-。

【考点】应用公式法因式分解。

【分析】对a 2－9直接应用平方差公式即可：()()2a 9a 3a 3-=+-；对a 2＋4a －5应用十字相乘法，得 ()()2a 4a 5a+5a 1+-=-。

4. （2002江苏镇江2分）若代数式

x 2x 1-+的值等于零，则x= ▲ ；若代数式（x-2）(x+1) x 的值等于零，则x= ▲ 。

【答案】x=2；x=2或x=－1或x=0。

【考点】代数式为0的条件。

【分析】由x 2=0x 1-+得x 2=0x=2x=2x 10x 1

-??????+≠≠-??。 由（x-2）(x+1) x=0得x-2=0或x+1=0或x=0，即x=2或x=－1或x=0。

5．（2002江苏镇江2分）计算：（x+3）(x-4)= ▲ ；分解因式：x 2-4= ▲ 。

【答案】2x x 12--；（x ＋2）（x －2）。

【考点】多项式的乘法，应用公式法因式分解。

【分析】根据多项式的乘法法则进行计算，得()22x 3x 4x 4x 3x 12=x x 12+-=-+---（）；

直接应用平方差公式即可：x 2—4 =（x ＋2）（x －2）。

6. （2002江苏镇江2分）x 平方的3倍与－5的差，用代数式表示为 ▲ ；当x=－1时，代数式的值为 ▲ 。

【答案】3x 2－（－5）；8。

【考点】列代数式，求代数式的值。

【分析】x 平方的3倍为3x 2，与－5的差，代数式为：3x 2－（－5）；

把x=－1代入代数式求值：当x=－1时，3＋5=8。

7. （2003江苏镇江2分）x 的相反数与3的和，用代数式表示为 ▲ ；当x=2时，这个代数式的值为 ▲ 。

【答案】－x+3；1。

【考点】列代数式，相反数，求代数式的值。

【分析】x 的相反数为－x ，与3的和，代数式为：－x+3；把x=2代入代数式求值：当x=2时，－x ＋3=1。

8.（2003江苏镇江2分）计算：()2

x 1+= ▲ ；分解因式：x 2—9= ▲ 。 【答案】2

x 2x 1++；（x ＋3）（x －3）。

【考点】完全平方公式，提公因式法因式分解。

【分析】根据完全平方公式进行计算，得()22x 1x 2x 1+=++； 直接应用平方差公式即可：x 2—9 =（x ＋3）（x －3）。

9. （2004江苏镇江2分）分解因式：3x x -= ▲ ；计算(x 1)(x 2)--= ▲ .

【答案】()()x x+1x 1-；2x 3x+2-。

【考点】提公因式法与公式法的综合运用，多项式乘多项式。

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，

先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()

()()32x x x x 1x x+1x 1-=-=-。 (x 1)(x 2)--）根据多项式乘以多项式的法则计算即可：22(x 1)(x 2)=x 2x x+2=x 3x+2-----。

10. （2004江苏镇江3分） 若代数式

x 22x 3--的值等于零，则x = ▲ ；当x 3=时，代数式x 22x 3--的值等于 ▲ .

【答案】2；13。

【考点】分式的值为零的条件，求分式的值。

【分析】根据分式的值为0的条件，要使代数式x 22x 3

--的值等于零，则要（1）分子x 2-=0；（2）分母2x 3-≠0。解得x=2。

把x=3代入代数式x 22x 3

--，得x 2321==2x 32333---?-。 11. （2005江苏镇江2分）计算：（x ＋2）（x －3）= ▲ ；分解因式：x 2－9= ▲ ．

【答案】2x x 6--；()()x 3x 3+-。

【考点】单项式乘单项式，运用公式法因式分解。

【分析】()()x 2x 3+-可利用多项式乘多项式法则计算：()()22x 2x 3x 3x 2x 6x x 6+-=-+-=--。

2x 9-两项都是平方，且符号相反，故可用平方差公式分解：()()2x 9x 3x 3-=+-。

12.（2005江苏镇江2分）若代数式

x 2x 1-+ 的值是零，则x= ▲ ；若代数式（x －2）（x ＋1）的值是零，则x= ▲ ．

【答案】x=2；x=2或－1。

【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程。 【分析】分式x 2x 1

-+的值为0的条件是：（1）分子x 2-=0；（2）分母x 1+≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答第一个题目：解得x=2；

代数式（x －2）（x ＋1）的值是零，即x －2与x ＋1的积是0，因而至少其中一个是0．据此可以解答第二个题目：x=2或－1。

13. （2005江苏镇江2分）a 平方的2倍与3的差，用代数式表示为 ▲ ；当a=-1时，此代数式的值为 ▲ ．

【答案】2a 2

－3；－1。

【考点】列代数式，代数式求值。

【分析】由题意可列代数式是：2a 2－3；将a=－1代入得：2×（－1）2－3=2－3=－1。

14. （2007江苏镇江2分）计算：(x 3)(x 4)+-= ▲ ，分解因式：2x 4-= ▲ ．

【答案】2x x 12--；()()x 2x 2+-。 【考点】多项式乘多项式法, 运用公式法因式分解。

【分析】第一题中，(x 3)(x 4)+-可以利用多项式乘以多项式法则进行计算：

22(x 3)(x 4)=x 4x 3x 12=x x 12+--+---；

第二题中，分解因式2

x 4-中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可：()()2x 4=x 2x 2-+-。

15.（2007江苏镇江2分）若代数式

x 1x 3

+-的值为零，则x= ▲ ；若代数式(x 1)(x 3)+-的值为零，则x= ▲ 。

【答案】－1；－1或3。

【考点】分式的值为零的条件，因式分解法解一元二次方程。

【分析】第一题中，根据分式的值是0的条件，分子=0，而分母≠0，即可求解： 若代数式x 1x 3+-的值为零，则x 1=0x 30+??-≠?

，解得x=－1。 第二题中根据两个因式的积是0，则其中一因式必须为0，即可转化为一元一次方程求解：

若代数式(x 1)(x 3)+-的值为零，则x ＋1=0，x －3=0，即x=－1或x=3。

16. （2008江苏镇江2分）计算： 2a a a ?+= ▲ ；34a a -?= ▲ ．

【答案】22a ；a 。

【考点】同底数幂的乘法，合并同类项。

【分析】根据同底数幂的乘法，应底数不变，指数相加和合并同类项的法则计算：

2222a a a a a 2a ?+=+=；343+4a a a a --?==。

17.（2008江苏镇江2分）计算：()()x 2x 1+-= ▲ ；分解因式：2x 1-= ▲ ．

【答案】2x x 2+-；()()x 1x 1+-。

【考点】多项式乘多项式，运用公式法因式分解。

【分析】()()x 2x 1+-利用多项式乘以多项式法则进行计算：()()22x 2x 1x x 2x 2x x 2+-=-+-=+-；

分解因式2x 1-中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可：()()2x 1x 1x 1-=+-。

18. （2008江苏镇江2分）如果1m 1m -

=-，则2m m += ▲ ；22m 2m 1+-= ▲ ． 【答案】1；1。

【考点】利用整体思想求代数式的值。 【分析】由代数式1m 1m

-=-，变为2m m 1+=的形式，再代入求值： 2m m 1+=；()222m 2m 12m m 1=211=1+-=+-?-。

19. （2009江苏省3分）使x 的取值范围是 ▲ ．

【答案】1x ≥。

【考点】二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须101x x -≥?≥。

20. （2009江苏省3分）若2320a a --=，则2526a a +-= ▲ ．

【答案】1。

【考点】代数式求值。

【分析】观察2320a a --=，找出与代数式2526a a +-之间的内在联系后，代入求值；

∵2320a a --=，∴232a a -=，∴()

225265235221a a a a +-=--+=-?=。 21. （2010江苏镇江2分）化简：a 5÷a 2＝ ▲ ； (a 2)2＝ ▲ .

【答案】a 3，a 4。

【考点】同底数幂的除法，幂的乘方。

【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方运算法则计算即可：

∵同底数幂的除法，底数不变，指数相减，∴a 5÷a 2＝a 3；

∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴(a 2)2＝a 4。

23. （2010江苏镇江2分）分解因式：a 2－3a ＝ ▲ ；化简：(x ＋1)2－x 2＝ ▲ .

【答案】a(a －3)，2x ＋1。

【考点】因式分解、整式的计算。

【分析】第一空提公因式a 即可：a 2

－3a ＝a(a －3)；

第二空用平方差公式因式分解或用完全平方公式展开再合并同类项均可：

(x ＋1)2－x 2＝(x ＋1＋x) (x ＋1－x) ＝2x ＋1或(x ＋1)2－x 2＝x 2＋2x ＋1－x 2＝2x ＋1。

27.（2012江苏镇江2分）化简：()22m+1m -= ▲ 。

【答案】2m+1。

【考点】乘法公式。

【分析】根据平方差公式或完全平方公式直接计算：

应用平方差公式：()()()22m+1m =m+1+m m+1m =2m+1--；

或应用完全平方公式：()2222m+1m =m +2m+1m =2m+1--。

28. （2012江苏镇江2分）若

117+m n m+n =，则n m +m n 的值为 ▲ 。 【答案】5。

【考点】求分式的值，完全平方公式的应用。 【分析】∵()22222117m+n 7+m+n 7mn m +2mn+n 7mn m +n 5mn m n m+n mn m+n =?=?=?=?=，

∴22n m n +m 5mn +===5m n mn mn

。 三、解答题

1. （2001江苏镇江7分）计算：22x 4x 2x x 4x 4x 2x 2??--- ?-?

÷++-? 【答案】解：原式=()()()2x 2x 2x 2x x 2x 2x 2=x 2x 2x 2x 2x

x 2??+--+--??-÷-??? ?+--+??-???? ()()()()

()()22x 2x 2x 28x x 28===x 2x 2x x 2x 2x x 2

+----??+-+-+。 【考点】分式运算法则。 【分析】将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。

2. （2002江苏镇江4分）计算： 2x 1x 1x x 1x 1x 1+-??-÷ ?-+-??

. 【答案】解：原式=()()()()

()()()()

()()22x 1x 1x 1x 1x 4x ==4x 1x 1x 1x 1x 1x 1x +--+-÷?+-+-+-。 【考点】分式运算法则。 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。

3. （2003江苏镇江4分）先化简，再求值(x ＋3) (x —4)—x(x —2)，其中1x 12

2= 【答案】解：(x ＋3) (x —4)—x(x —2) ＝x 2－4x ＋3x －12－x 2＋2x ＝x －12。

【考点】整式的混合运算（化简求值）。

【分析】运用多项式的乘法法则，单项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项，最后代入数据求值。

4. （2003江苏镇江4分）化简：22a a 2b a b a b a b ??-÷ ?-+-??

【答案】解：原式＝()()()()()()()()()()22a b a b a b a b a ab a ab 2ab a a b a b a b a b 2b a b a b 2b ??+-+-+--?=?=??-+-++-????

。 【考点】分式的混合运算。

【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简。

5. （2004江苏镇江6分）请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值：

216a 3a 9++- 【答案】解：原式=()()()()()()a 36a 361a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3--++==+-+-+--。

取a=4，原式= 1=143

-。 【考点】开放型，分式的化简求值。

【分析】最简公分母是a 2－9，通分后把分式化简，然后找一个a≠±3的值代入化简后的式子求值即可。

6. （2006江苏镇江5分）化简：

2422---m m m 【答案】解：原式24m m

-=2= 。 【考点】分式的加减法。

【分析】同分母分式的加减法分母不变，分子相减即可。

7.（2007江苏镇江5分）化简：211()(x 1)x 1x 1

---+． 【答案】解：原式=()()()()

()()x 1x 1x 1x 1=x 1x 1=2x 1x 1+--?+-+-++- 【考点】分式的混合运算。

【分析】先将括号里面的通分后，约分化简。本题也可直接应用乘法分配律运算。

8. （2008江苏镇江5分）化简：241x 4x 2

+-+． 【答案】解：原式=()()

()()()()()()4

14x 2x 21x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2-++=+==+-++-+-+--。 【考点】分式的加减法。

【分析】找到两式公分母，进行通分，再约分化简。

9. （2009江苏省4分）计算：2121a a a a a -+??-÷ ??

? 【答案】解：原式2221(1)(1)(1)1(1)1

a a a a a a a a a a a --+-+=÷=?=-- 【考点】分式的混合运算。

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。

10. （2010江苏镇江5分）计算化简：261x 9x 3

+-+。 【答案】解：原式616x 3x 31(x 3)(x 3)x 3(x 3)(x 3)(x 3)(x 3)x 3

+-+=+===+--+-+--。 【考点】分式的计算。

【分析】第一个分式的分母可以因式分解为（x －3）(x ＋3)，然后通分。

11. （2010江苏镇江6分）描述证明：海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：

（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；

（2）请你证明海宝发现的这个有趣现象.

【答案】解：（1）a b 2ab b a

++=，a+b ＝ab （2）证明：∵a b 2ab b a

++=，∴22a b 2ab ab ab ++=。 ∴a 2＋b 2＋2ab ＝(ab)2。∴(a＋b)2＝(ab)2

。

∵a＞0，b ＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0，

∴两边开方得：a ＋b ＝ab 。 【考点】阅读型号，代数恒等式，分式的加减法，完全平方公式。

【分析】（1）把文字叙述改写在数学符号语言，即如果

a b 2ab b a ++=，那么a+b ＝ab 。 （2）对条件中的式子两边同乘以ab 可得a 2＋b 2＋2ab ＝(ab)2，再对这个式子变形就能得到结论。

12. （2011江苏镇江4分）化简：

21422---x x x 【答案】()()()()()()2221===2222222

x x x x x x x x x x +--+-+-+-+解：原式 【考点】分式运算法则，平方差公式。

【分析】利用平方差公式和分式运算法则，直接得出结果。

13. （2012江苏镇江4分）化简：()22x 1x+1x 2x+1

-÷-。 【答案】解：原式=()()()

2x+1x 111=x+1x 1x 1-?--。 【考点】分式运算法则。

【分析】将第一个分式的分子分母因式分解，将除法转换成乘法，约分化简即可。

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