2015年高三高考（文科）数学复习专题七：概率与统计 - 图文

概率与统计

聚焦高考

1．高考考点：

(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． (2)了解两个互斥事件的概率加法公式． (3)理解古典概型及其概率计算公式．

(4) 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． (5)了解随机的意义，能运用模拟方法估计概率． (6)了解几何概型的意义． 2．易错易漏：

(1)对频率与概率的关系与区别理解不正确，将二者混为一谈． (2)对互斥事件与对立事件概念认识不明确，理解不到位．

(3)求复杂事件的概率时，缺乏将所求事件转化成彼此互斥的事件之和的意识． (4)忽视古典概型与几何概型各自的概率计算公式的适用条件． 3．归纳总结：

概率部分的高考试题多为中档题和容易题，背景常新，着重考查应用意识与应用能力，但问题难度不大，解题思路较常规，所以在学习中应能识别古典概型与几何概型，正确计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，能运用模拟方法估计概率．

温故知新

1.下列事件是随机事件的是( )

A. 三个球全部放入两个盒子，其中有一个盒子有一个以上的球

B. 直线ax+by+c=0右侧区域内的点的坐标可使不等式ax+by+c>0成立 C. 当角x取某一实数时可使sinx+1<0成立 D. 平面上凸多边形外角和等于360° 2.在区间[?1，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为(　　) 2221212A. B. C. D. 3?23??3.一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机

取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )

A.3111 B. C. D. 10510124.(11.厦门双十)在区间??2,2?任取一个实数，则该数是不等式x2?1解的概率为__________． 5. (2011.深圳模拟)掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为________．

知识梳理

1．随机事件的关系与运算

(1)包含关系：对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A或称事件A包含于事件B，记作B?A或A?B.

(2)相等关系：若B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等，记作A=B. (3)和事件（并事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件，记作A∪B或A+B.

(4)积事件（交事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件或积事件，记作A∩B或A·B.

1

(5)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B=?)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不可能同时发生．

(6)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中，有且只有一个发生． 2．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围为：0≤P(A)≤1； (2)必然事件的概率为1； (3)不可能事件的概率为0； (4)互斥事件概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)． 特别地，若事件A与事件B对立，则P(A)=1-P(B)．

（A）=3. P（A）=4. 在几何概型中，事件A的概率公式为P典例精析

题型一 古典概型问题

例1:((12福州) 某教室有4扇编号为a,b,c,d的窗户和2扇编号为x,y的门，窗户d敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．

（Ⅰ）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A，请列出事件A包含的基本事件； （Ⅱ）求至少有1扇门被班长敞开的概率． 例2：（12厦门）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生 表二：女生 等级 优秀[来源学科网] 合格 x 尚待改进 5 A包含的基本事件个数是古典概型求概率的一个基本公式．

总的基本事件个数构成事件A的区域长度（或面积或体积）实验的全部结果构成的区域长度（或面积或体积）

等级 频数 优秀 15 合格 3 15 频数 （Ⅰ）计算x,y的值； 尚待改进 y （Ⅱ）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

例3:（12泉州）某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生， 得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图 （图（2））.已知图（1）中身高在170 ~175cm的男生人数有16人．

图（1） 图（2）

2

（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分

层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

例4:((12莆田) 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人。为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人。 （1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖。求a

和b至少有一人上台抽奖的概率。 例5：（12漳州）

题型二 几何概型问题

例6:((12莆田) 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二高三各代表队人数分别为120人、120人、n人。为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人。 （1）求n的值；

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之

间的均匀随机数x，y，并按如右所示的程序框图执行。若电脑显示 “中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率。

例7：（12福州）（1）在区间(0,A.

?2)上随机取一个数x，使得0?tanx?1成立的概率（ ）

1112 B. C. D. 832?(12漳州)（2）若A是圆C:x?y?4y?0上的定点，B是圆C上不同于A的动点，则?ABC的周

22长小于6的概率是_________________。

例8：（周练8）设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段， （1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； （2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．

第二讲 统 计

聚焦高考

1．高考考点：

3

(1)理解随机抽样的必要性和重要性．

(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．

(3)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，了解它们各自的特点．

(4)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．

(5)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．

(6)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想 .

(7)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． (8) 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

(9)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(不要求记忆线性回归方程系数公式)．

(10)了解独立性检验(只要求2′2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用；了解回归的基本思想、方法及其简单应用． 2．易错易漏：

(1)对随机抽样的必要性和重要性认识不足，理解不到位，三种抽样方法混淆不清． (2)列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图时发生常规错误． (3)作散点图时马虎描点，根据给出的公式建立回归方程时发生计算错误．

(4)不理解列联表、独立性检验、假设检验、线性回归分析等统计方法，记忆混乱不清． 3．归纳总结：

统计是新高考数学的重点内容之一，高考数学在选择题、填空题、解答题三种题型中均有各种类型的统计问题，但多属常规的问题，难度不大，熟读书本，整体地理解统计学的基本思想方法是学习的关键．

温故知新

1.下列说法错误的是( )

A. 在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体 B. 一组数据的平均数一定大于这组数据的中位数

C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总 2.某单位员工按年龄分为A体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是位员工总数为(　　)1，则该单 45A.110 B.100 C.90 D.80

3.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)125,124,121,123,127，则该样本标准差s=___2___(克)(用数字作答)． 4.

工人日工资y(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y?50?80x，则劳动生产率提高1000元时工资约提高_____80___元．5. 下列关于K2的说法中正确的是( )

A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大

C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合

4

(a?b?c?b)(ad?bc)2 D．K的观察值k的计算公式为K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

2知识梳理

1．随机抽样有：

(1)简单随机抽样； (2)系统抽样； (3)分层抽样．

要注意合理选用三种抽样方法．这三种抽样中，简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，其他两种抽样方法建立在它的基础上．三种抽样方法的共同点是：它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性．三种抽样方法各有其特点和适用范围，在抽样的实践中要根据具体情况选用相应的抽样方法． 2.分层抽样要正确

抽样比?样本容量总体容量?各层样本容量各层个体数量.各层个体数量比等于各层样本的容量比．

3．用样本估计总体：

由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布．一般地，样本越大，估计越精确．

复习时要注意以下三点：

(1)用样本的频率分布估计总体分布的各种手段： ①频率分布表和频率分布直方图； ②频率分布折线图； ③总体密度曲线； ④茎叶图．

(2)对样本的频率的分析中的相关概念：

众数：在样本数据中，频率分布最大值叫做众数．

中位数：样本数据中，累积频率为0.5时所对应的样本数据值，叫做中位数．

平均数：样本数据x1，x2，?，xn，则平均数x?(注意:利用分布直方图求上述数据的方法)1(x1?x2???xn)．n

?3?变量间的相关关系(回归分析)：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫相关关系．对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线. (4)独立性检验的问题：

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表 (称为2×2列联表)为 x1 x2 y1 a c y2 b d 总计 a＋b c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (a?b?c?b)(ad?bc)2则K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)25

若K?3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K?6.635，则有99%的把握说两个事件有关

特别应注意：若是问“两个变量无关”有多大的把握其处理方式。

22典例精析

题型一 频率分布问题

【例1】为了估计某种产品的使用寿命的分布，对产品进行跟踪调查．对200个产品跟踪调查的记录如下：

寿命(h) 100～200 200～300 300～400 400～ 500 500～600 数量 (个) 20 30 80 40 30 (1)列出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图； (3)估计产品寿命在300 h以上的概率； (4)估计总体的平均值．

【解析】(1)频率分布表如下：

分组 [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600] 合计 频数 20 30 80 40 30 200 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1.00 累积频率 0.1 0.25 0.65 0.85 1.00 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如下：

?3?P(寿命在300 h以上)?0.4?0.2?0.15?0.75.?4?x?150?20?250?30?350?80?450?40?550?30 200 ?365.6

所以总体的平均值约365 h.练习：（12莆田）某同学统计某道试题（满分4分）的得分情况并作成频率分布条形图，如图所示，请你

根据图中的数据信息，估计该道试题的得分率（得分率=

平均得分?100%）等于 65% 。

满分值题型二 茎叶图的应用

【例2】某班甲乙两同学的高考备考成绩如下： 甲：512,554,528,549,536,556,534,541,522,538； 乙：515,558,521,543,532,559,536,548,527,531. (1)用茎叶图表示两学生的成绩；

(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数． 【解析】(1)两学生成绩的茎叶图如下图所示： 甲 乙 2 2 8 8 4 6 1 9 6 4 51 52 53 54 55 5 1 7 2 6 1 3 8 8 9 ?2?将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲512,522,528,534,536,538,541,549,554,556乙：515,521,527,531,532,536,543,548,558,559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为乙学生成绩的中位数为532?536?534.2538?536?5372

甲学生成绩的平均数为：12?22?28?34?36?38?41?49?54?56500+?53710

乙学生成绩的平均数为：500+15?21?27?31?32?36?43?48?58?59?53710题型三 线性回归方程应用问题

【例3】下表提供某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据

x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=a+bx. (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

7

【解析】(1)表中数据的散点图如下图．

y =3.5,所以b??2?因为x?4.5，?xyii?14i?4xy2?xi?14所以y=0.35+0.7x.

2i?4x 19.65吨标准煤．?3?因为90?(0.35?0.7?100)?19.65 (吨)，所以生产能耗比技改前节省了【例题4】在某种产品表面进行酸性腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(微米)与腐蚀时间x(秒)的一组数据如

下所示：

x(秒) 5 10 15 20 30 40 50 60 y(微米) 6 10 11 13 16 17 19 23 (1)画出数据的散点图；

(2)根据散点图你能得出什么结论； (3)求回归直线方程．

【解析】(1)数据的散点图如下图．

?2?根据散点图得出结论：x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于几组观测值的几个点大致分布在一条直线附近，其中整体上与这几个点最接近的一条直线最能代表变量x与y之间的关系．y?6.62?0.27x.?3?计算得：练习：

（12莆田）某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几

??0.7x?a，那么组对应数据如右表所示，根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y

a的值等于 A．0.35

B．3.15

（ ） C．3.5

D．0.4

8

题型四 独立性检验的应用问题

【例题5】

（11福建省质）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老

师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”。 (I )在乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；(II)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.

甲班 乙班 总计 (B(A方式） 方式） 成绩优秀 成绩不优秀 总计

k 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2. 706 0.05 3. 841 0.025 5. 024 9

例6.（12厦门）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生 表二：女生 等级 优秀 15 频数 （Ⅰ）计算x,y的值； 合格 x 尚待改进 5

等级 频数 优秀 15 合格 3 尚待改进 y （Ⅱ）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （Ⅲ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有

关”．

参考数据与公式：

n(ad?bc)2 ，其中n?a?b?c?d． K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2临界值表： P（K2?k0） 0.10 0.05 0.010 10

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