初中数学竞赛精品标准教程及练习28：三角形的边角性质

初 中数学竞赛精品标准教程及练习(28)

三角形的边角性质

一、内容提要

1.三角形边角性质主要的有：

边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：

?a?b?c???a,b,c是△ABC的边长??b?c?a??a?b＜c?a?b?c?a?b???推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和

?2.角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180， 五边形内角和=3×180

???六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180

3.?边与角的关系

在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；

大边对大角，大角对大边。

在直角三角形中，

①②△ABC中∠C=Rt∠?a?b?c(勾股定理及逆定理)△ABC中

222?C?Rt???a：b：c=1：3：2???A?30??C?Rt??△ABC中? a：b：c=1：1：2???A?45?二、例题

例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。

解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组

?3a?1?4a?1?12?a?a?1.5??4a?1?12?a?3a?1 解得??13??1 ∴1.5

例2.如图

A B C D

AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？

①x<

zzz, ②y

式组：

z?y??2?x?y?x?z?y?2y?z?z???y?x?x?z?y?y?x2x?z?2y 即∴???2?y?x?z?y?x?z?2x???z?x??2?答y

zz和y<必须满足。22例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5, b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。

解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c

它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；

555，556，557，558，559。

例4. 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和 D A 解：四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D

∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度 N M ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度

BC2 1 F E例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围

解：根据题意，得

??A??B??C52???2?C?5?A得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B)?77??A??B??C?180??∴

25????(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B) ∴ 40≤∠B≤7577例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2 求各内角的度数

A解：作∠BCD的平分线交AD于E， 13△BCE≌△DCE（SAS） ∴∠D＝∠CBE D △BCE≌△BAE（SSS） ∴∠CBE＝∠ABE＝∠DB 24C

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