信息分析方法 - - 马尔柯夫

第一节 马尔柯夫预测法

马尔柯夫预测法是以俄国数家马尔柯夫(A.A.Markov)的名字命名的一种随机时间序列分析预测法。这种方法是将时间序列看作一个随机过程，根据现象不同状态的初始概率和状态之间转移概率，确定状态的变动趋势，对现象未来作出预测。

一、马尔柯夫预测法中的基本概念

⒈状态和状态转移 ⑴ 状态

状态是指研究系统在某一时刻可能出现或存在的状况和态势。

状态的划分通常按如下两种方式进行：一种是根据预测对象本身的明显状态界限划分；一种是根据研究目的和预测对象的实际变动情况人为划分。

在状态划分时，要遵循详尽性和互斥性原则，前者指的是，要把系统可能存在的状态都一一列举出来；后者指的是，各个状态是相互独立的，是不相容的。

⑵状态转移

状态转移是指研究系统由一种状态转移到另一种状态。

⒉ 马尔柯夫链

马尔柯夫过程是指研究系统随着时间转移而不断发生状态转移的随机过程。马尔柯夫过程中的时间和状态可以是连续的，也可以是离散的，但多数情况下是连续的。

马尔柯夫链是时间和状态均为离散的马尔柯夫过程，也是最简单的马尔柯夫过程。它具有无后效的性和遍历性两个重要特征。

无后效性是指研究系统在第t时刻所呈现的状态仅与第t-1时刻的状态有关，而与第t-2及以前时刻所处的状态无关。

遍历性是指经过较长时间的状态转移，系统所呈现的状态趋于稳定，不再随时间推移发生明显变化，并与初始状态无关。

⒊ 转移概率和转移概率矩阵

转移概率是指系统由某时刻某种状态转向另一时刻另一种状态(包括自身)的可能性大小。转移概率实际上是条件概率。我们常用Pij表示系统由第t时刻状态i转向第t+1时刻状态j的概率，并将其称为一步转移概率，i,j=1,2,?，N；N为系统可能存在的相互独立的状态数。

将所有的转移概率依次排列起来所形成的矩阵称为转移概率矩阵。 ?P11?P21? P?????PN1P12P22?PN2????P1N??P2N? ???PNN?N为一步转移概率矩阵。一步转移概率矩阵的性质： Pij≥0，(i,j=1,2,?,N)；?Pij?1

j?1(i,j=1,2,?，N)

k 步转移概率矩阵，记为P(k)。

P?k??k??P11??k?P21??????k???PN1P12??k??k?????P22PN2?k??k?P1N??k??P2N? ???k??PNN??

可以证明，k步转移概率矩阵P(k)与一步转移概率矩阵P具有如下关系： P=PP (k)k

P=P

一步转移概率通常可按以下两种方法予以确定：一是主观估计法，将专家根据自己的知识和经验对系统状态间相互转移可能性大小的主观估计值，作为一步转移概率；二是统计估计法，即根据历史统计资料或市场调查资料计算的有关频率作为一步转移概率。 ⒋ 状态概率和状态概率向量

⑴ 状态概率

状态概率是指所研究系统在某时刻呈现某种状态的可能性大小，以Si(t) 表示系统在第t时刻呈现状态i的概率，i=1,2,?，N。

以S(t)表示系统第t时刻的状态概率向量

S?t??t??t??t?=?S1,S2,?,SN?

N(k)

(k-1)

状态概率向量S具有以下性质：(1) Si≥0， (2)?Si?t??1

(t)

(t)

i?1基期(t=0)的状态概率Si(0)称为初始状态概率，相应的状态概率向量

S?0??0??0??0?=?S1,S2,?,SN?称为初始状态概率向量。

二、马尔柯夫预测模型

若所研究系统的状态转移具有无后效性特征，且有N个相互独立的状态存在。在系统的初始状态已知和一步转移概率矩阵不变条件下，经过k次转移以后，系统处于状态i的概率为Si(k)。

马尔柯夫预测模型为

Si(k)N??i?1S(k?1)iPij

(k=1,2,? ;j=1,2,?,N) 写成矩阵形式，

?S?S(k)1,S(k)2,?,SN(k)?＝

P12P22?PN2????P1N??P2N? ???PNN?(k?1)1,S(k?1)2,? ,SN(k?1)??P11?P?21????PN1或写成向量形式

S=S·P 由于 (1)(0)

S=SP

S(2)=S(1)·P=S(0)·P2 ? ?

S(k)=S(0)·Pk 又可以写成

?P11?P?21????PN1P12P22?PN2????P1N??P2N? ???PNN?k(k)

(k-1)

(0)S=SP=?S1(0),S2(0),? ,SN(k)

(0)

k

?

三、马尔柯夫链的稳态概率

经过较长时间的状态转移以后，马尔柯夫链逐渐趋于这样的状态：它与初始状态无关，第n 期的状态概率与第n-1期的状态概率相等，此时的状态则称为马尔柯夫链的稳定状态。马尔柯夫链达到稳定状态时的状态概率称为稳态概率。

由马尔柯夫链的稳定状态的定义知，S=S

(n)

(n-1)

(n)

(n-1)

,且?Si?t??1

i?1N又由于 S=S·P

从而S(n)=S(n)·P 改写成矩阵形式，则

?P11?P?21????PN1P12P22?PN2????P1N??P2N? ???PNN??S(n)1,S(n)2,?,SN(n)?＝?S(n)1,S(n)2,? ,S(n)N?展开上式，有

S1?S1P11?S2P21???SNPN1

S2?S1P12?S2P22???SNPN2

??

?n??n??n??n??n??n??n??n?SN?S1P1N?S2P2N???SNPNN?n??n??n??n??n??n??n?

S1?S2???SN?1

上式有N个变量，N+1个方程的方程组。由于最后一个方程为约束条件，因此可在前N 个方程中消去其中任一个方程。若消去第N个方程，并进行移项整理得。

?P11?1?S1?n?? ?

?n??P21S2???PN1SN?0

?n??n??n??n?P12S1??P22?1?S2???PN2SN?0 P1(N?1)S1?P2?N?1?S2???(PN?N?1??1)SN?0?n??n??n?

S1?S2???SN?1

改写为矩阵形式，则

?n??n??n???P11?1??P?12????P1?N?1???1令

P21??P22?1??????P2?N?1?1??PN2????PN?N?1??1????1?PN1?S1?n???0???n???0??S2??????????S?n??＝??

0N?1?n?????SN????1???P11?1??P12?P1?????P1?N?1???1P21??P22?1??????P2?N?1?1??PN2?????PN?N?1??1???1?PN1

S(n)T?0??S1?n??????n??0???S2????? B????

???S?n??N?1?0??n????SN???1??则有P1

S(n)T=B

S

(n)T=

P1?1B

这就是所求的马尔柯夫链的稳态概率。 四、 马尔柯夫预测法的应用条件和预测步骤

⒈ 应用条件

第一，一步转移概率矩阵逐期保持不变。

第二，预测期间状态的性质和状态的个数保持不变。

第三，状态的转移仅受前一期状态的影响，与更前若干期的状态无关。

⒉ 预测步骤

运用马尔柯夫预测法进行预测，一般应遵循以下步骤：

第一，分析预测对象是否具有马尔柯夫链特性，是否满足马尔柯夫预测法的前提条件。 第二，分析预测对象可能有几种状态存在，进行状态划分并计算初始状态的概率。

第三，采用一定的方法，确定一步转移概率矩阵。 第四，进行预测计算。利用马尔柯夫预测模型计算预测对象在预测期的状态概率以及稳态概率，并对预测结果作出分析。

五、 马尔柯夫预测法在市场预测中的应用

(一)市场占有率预测

市场占有率是指一定时期一定市场上某种产品销售量占同类产品销售总量的比重。它是反映 产品市场地位优劣和产品生产或经销企业对市场影响和控制能力大小的统计分析指标。提高 产品的市场占有率，增强对市场的影响和控制能力，进而获得丰厚的利润，是企业追逐的目标。进行市场占有率预测，了解和把握市场占有率的变动趋势，有利于企业制定有效的市场竞争策略，掌握市场竞争的主动权。 企业产品市场占有率变动，受企业的实力和所采取的营销策略、竞争者的规模、实力和所采取的营销策略、消费者消费偏好等一系列因素的影响。消费者购买企业产品往往具有一定的随机性，从而使得企业产品市场占有率的变化也具有一定的随机性，并且一定时期企业产品市场占有率仅与前一期的市场占有率有关而与更前期的市场占有率关系不大，因此市场占有率预测可以应用马尔柯夫预测法。 【例】设某地区市场上主要销售A、B、C三种品牌的牙膏，每月三种品牌牙膏的销售总量通常保持在20000支左右。其中5月份A、B、C三品牌牙膏的销售分别为8500支、65 00支、5000支。假定5月份在该地区几个大型商场，对购买这三种品牌牙膏的500名顾客进行过随机调查，调查结果是：在购买A品牌牙膏的200名顾客中，打算6月份仍购买A品牌的有140人，转购B品牌的有40人，转购C品牌的有20人；在购买B品牌牙膏的150名顾客中，打算6月 份仍购买B品牌的有100人，转购A品牌的有30人，转购C品牌的有20人；在购买C品牌牙膏的1 50名顾客中，打算6月份仍购买C品牌的有120人，转购A品

牌的有15人，转购B品牌的有15人 。若以后各月顾客在这三个品牌之间的保留率、转出率和转入率与此相同，且估计今后一段时间这三种品牌牙膏都不会退出该市场，也没有新品牌牙膏在此市场销售。要求预测：(1)6 、7月份各月三品牌牙膏的市场占有率和销售量；(2)达到市场竞争均衡状态的三种品牌牙膏的市场占有率和销售量。

解：1.划分状态和计算初始状态概率。 由于该地区牙膏市场主要三个品牌的产品占领，因此有三种状态存在。设状态1为购买A品牌牙膏，状态2为购买B品牌牙膏，状态3为购买C品牌牙膏。

5月份各品牌的市场占有率为初始状态概率，且

S1=8500/20000=0.425, S2=6500/20000=0 .325, S3=5000/20000=0.25

?0??0??0?初始状态概率向量为 S=(0.425 0.325 0.25)

2.确定一步转移概率矩阵。

将根据市场调查资料计算的各状态转移频率作为其状态转移概率的近似值，则 P11=140/200=0.7, P12=40/200=0.2, P13=20/200=0.1 P21=30/150=0.2, P22=100/150=0.67, P23=20/150=0.13 P31=15150=0.1, P21=15/150=0.1, P33=120/150=0.8 因此，一步转移概率矩阵为

(0)

?0.7?P?0.2???0.10.20.670.10.1??0.13?0.8??

矩阵中，每一行元素表示各品牌牙膏顾客的保留率和转出率；每一列元素表示各品牌牙

膏顾客的保留率和转入率。

3.利用马尔柯夫预测模型进行预测。

预测6、7各月份三种品牌牙膏的市场占有率

S?S1,S2,S3?SP

?0.7?=(0.4250.325 0.25) 0.2???0.10.20.670.10.1??0.13

?0.8???1???1??1??1???0? =(0.3875 0.3278 0.2847)

S?2??S1,S2,S3??2??2??2???S??P

1?0.7?=(0.3875 0.3278 0.2847) 0.2???0.10.20.670.10.1??0.13

?0.8??=(0.3653 0.3256 0.3091)

即A、B、C三种品牌6月份的市场占有率分别为38.75%、32.78%和28.47%；7月份的市场占有 率分别为36.53%、32.56%和30.91%。

相应地，6、7月份各品牌牙膏销售量预测值为 6月份 A：20000×38.75%=7750(支) B：20000×32.78%=6556(支) C:20000×28.47%=5694(支)

7月份 A：20000×36.53%=7386(支) B:20000×32.56%=6512(支) C:20000×30.91%=6182(支)

4.求稳定状态下的各品牌牙膏的市场占有率。

由上计算可以看出，随着时间的推移，A、B品牌牙膏的市场占有率趋于下降，C品牌牙膏的市场占有率趋于上升。由于顾客在各品牌之间不断转入、转出，经过较长时间后，各品 牌市场占有率将趋于稳定。

求得其稳定状态的市场占有率，即

?n?TS?S1?n???P11?1??n?????S2??P?12?S?n???1?3??0.20.67?11P21P22?110.1??0.1?1???1P31??P31?1???1?0???0 ????1????????0.7?1? =0.2???1?0??0.3272???0.30860=

?????0.3642?1???

即在稳定状态下，A、B、C三种品牌牙膏市场占有率分别为32.72%、30.86%和36.42%。

相应地，三种品牌牙膏的稳态销售量预测值为 A: 20000×32.72%=6544(支) B: 20000×30.86%=6172(支) C: 20000×36.42%=7284(支)

⒉ 市场销售状态预测

对产品未来市场销售状态预测，是根据其未来状态发生的概率按最大可能原则作出判断的。

【例】某大型百货商场某商品近二年的各月销售量统计数据如下表所示，试预测第25期该商品的销售状态。

某种商品各月销售量统计数据 单位：百件

时序t 1 2 3 4 5 6 7 销售量Yt 75 63 103 78 149 53 49 时序t 9 10 11 12 13 14 15 销售量Yt 143 82 98 57 115 82 89 时序t 17 18 19 20 21 22 23 销售量Yt 128 64 82 110 161 79 83 8 102 16 104 24 109 解：1. 绘出散点图。利用EVIEWS软件中的命令

Plot Y

由图可以看出，该时间序列无明显的上升或下降趋势变动，也没有明显的季节变动，因此采用确定性时间分析预测法预测是不恰当的。该时间序列含有明显的不规则变动，并经分析第t期的销售量与第t-1期销售量有一定关系，而与第t-2期及以前各期销售量关系不大，因此，可以考虑采用马尔柯夫预测法进行预测其未来月份的销售量。

2.划分状态

根据该产品的质量、性能和价格、当地居民收入水平和消费偏好、该商品保本销售量以及该商场所处的地理位置和信誉等因素综合分析，认为该商品的销售量可划分为畅销、平销和滞销三种状态。各状态之间的具体数量界限是(每月销售量)：

Yt≥120百件 畅销状态

70百件≤Yt＜120百件 平销状态 Yt＜70百件 滞销状态

3.计算一步转移概率和一步转移概率矩阵

用Mi表示销售状态点数，Mi j表示从状态i转向状态j的点数，Pij表示由状态i转向状态j的一步转移概率(i，j= 1,2,3),分别表示畅销、平销和滞销。

M1=4 M11=0 M12=2 M13=2 M2=15 M21=4 M22=8 M23=2 M3=5 M31=0 M32=4 M33=1

注意，在计算一步转移概率时，最后一个数据点不参与计算，因为它究竟转向哪个状态此时尚不清楚，也是我们进一步计算后需要作出判断的。 P11=0/4=0 P12=2/4=0.5 P13=2/4=0.5

P21=4/(15-1)=0.286 P22=8/(15-1)=0.572 P23=2/(15-1)=0.142 P31=0/5=0 P32=4/5=0.8 P33=1/5=0.2 因此，一步转移概率矩阵为

?0?P?0.286???00.50.5720.80.5??0.142

?0.2??4.进行预测

由于第24期该商品销售量为109百件，属于平销状态，由此经过一步转移到达各个状

态的概率分别为

P21=0.286 P22=0.572 P23=0.142

由于P22＞P21＞P23，按最大可能原则判断，第25期该商品的销售量 在70～120百件之间的可能性最大，因此，可预测第25期该商品的销售状态为平销状态。

六、马尔柯夫预测法的软件实现

⒈打开灰色预测软件的EXCEL文件，如果遇到EXCEL提示的安全性警告框，则调整EXCEL中宏的安全级别，选择菜单“工具－宏－安全性”，后调整安全级别为中级。

⒉再次打开EXCEL，遇到关于宏的对话框，则点击“启用宏”按钮。 ⒊进入马尔柯夫预测法软件界面（见图9-12），在工作表中输入“初始状态”、“一步转移概率矩阵”数据。

图9-12 马尔柯夫预测法软件界面

⒋点击“马尔可夫预测法” 按钮，进入初始状态输入范围对话框（如图9-13）。

图9-13 初始状态输入范围对话框

输入数据范围，例如：B2:D2，后按“确定”。 ⒌在随后出现的“一步转移概率矩阵输入范围”对话框中（见图9-14）输入数据范围，在本例中B4:D6，尔后按确认键。

图9-14 一步转移概率矩阵输入范围对话框

⒍进入转移次数对话框，输入需要转移的次数（见图9-15），按确认键后得到预测结果。

图9-15 一步转移概率矩阵输入范围对话框 ⒎在“马尔可夫法一步预测结果输出”（或“马尔可夫法多步预测结果输出”）工作薄中得到具体预测结果及最终稳态结果。本例结果如下： 一步预测结果输出：0.3875，0.32775，0.28475 最终稳态结果输出：0.32716，0.308642，0.36420

软件计算与手工计算结果相同。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/khi5.html