线性代数补充习题（12级）

线性代数习题集

一、选择题

1．4阶行列式det(aij)中的项a11a33a44a22和a24a31a13a42的符号分别为（ ）

Ａ．正、正 Ｃ．负、负

2.

k?122k?1 Ｂ．正、负 Ｄ．负、正

?0的充要条件是（ ）

（A）k?1 （C）k?1且k??3 3.

k?122k?1

（B）k??3 （D）k?1或k??3

?0的充分必要条件是（ ）

?A? k?C? ka11a21?1且k?3 ?B? k??1且k?3 ?1且k??3 ?D? k??1且k??3

4.若

a12a22a122a112a21?200的值为（ ） ?1?6，则a220?A?12 ?B?-12 ?C?18 ?D?0

5. 已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,?2,2，它们的余子式的值分别为3,?2,1,1，则A?（ ）

A.5

B.-5

C.-3 D.3

6.设n阶矩阵A的行列式等于D，则－5A等于 ． (A) (?5)D (B)-5D (C) 5D (D)(?5)nn?1D

7.设矩阵A、B、C满足AB＝AC，则B＝C成立的一个充分条件是 [ C ]。

(A) A为方阵 （B）A为非零矩阵 (C) A为可逆方阵 (D) A为对角阵

8.以下等式正确的是( )

?kaＡ．??kc?b??a??k???cd??b?? d?? Ｂ．

kakckbkd?kacbd

Ｃ．????a?ccb?d??a????d???cb?? ?d? Ｄ．

acbd?dbca

9.设矩阵A3?2,B2?3,C3?3，则下列运算可行的是 （ ） A.AC, B.CB, C.ABC D. A?B

10.设矩阵A、B、C分别是3?4、4?3、4?4矩阵，则下列各式有意义的是（ ）

?A?CA ?B?CBA

?C?BC ?D?AB?CB

11.设A, B，C为n阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB

(C) CBA (D) CAB

12.设A,B是n阶方阵，则下列等式成立的是 A.A?B?A?B, B.A?B?B?A, C.BA?AB D.AB?AB

13.已知A,B是n阶方阵，则下列结论中正确的是( C ) (A)AB?0?A?0且B?0 (B) A?0?A?0 (C)AB?0?A?0或B?0 (D)A?I?A?1 14.A,B均为n阶方阵，下列各式中成立的为（ ）

?A? ?AB??1?A?1B?1 ?B? AB?BA

?C? 设AB?0，则A?0或B?0 ?D? AB?BA

15.设A、B为n阶方阵，下列各式一定成立的是（ ）

(A) AB?BA ?B? AB?BA ?C? ?AB?T?ATBT ?D? ?AB?2?A2B216.A?为n阶方阵A的伴随矩阵，则A?? A.AnB.An?1C.An?1D.An?2

17.设A为n阶方阵 ，A*为A的伴随矩阵,则AA*=（ ）。 （A） A 2n ；（B） A 2n -1 ；（C） A n ；（D） A 2。

（ ） ）

（18.设矩阵

?3?A=?1???2?1012???1??4?，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）

A. –6 B. 6

C. 2 D. –2

19.若n阶方阵A与B的秩相等，则下列成立的是 （ ） （A）必存在n阶可逆矩阵P,Q使得PAQ?B （B）必存在n阶可逆矩阵P使得P?1AP?B （C）必存在n阶可逆矩阵P使得PTAP?B （D）必有A?B ??12345??01?132??20.设A???00032??, 则矩阵A的秩r?A?? （ ?00000???00000??（A）0 （B）2 （C）3 （D）4 21.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 22.设n个未知量的齐次线性方程组AX?O的系数矩阵A的秩为r， 则方程组AX?O有非零解的充要条件是（ ）

?A? r?n ?B? r?n ?C? r?n ?D? r?n

23.若R?A??r?n ，则 n元线性方程组Ax?b （ A.有无穷多解 B.有唯一解 C.无解 D.不一定

24. A为m?n矩阵，则非齐次线性方程组AX?b有唯一解的充要条件是 ．

(A)R(A,b)?m (B)R(A)?m (C)R(A)?R(A,b)?n (D)R(A)?R(A,b)?n

25.若A为n阶方阵，则A?0的必要条件是 （ （A）A有两行（列）元素对应成比例 （B）A中必有一行为其余行的线性组合

） ） ） （C）A中有一行元素全为零

（D）A的任一行为其余行的线性组合

26. 向量组?1,?2,?,?r线性相关且秩为s，则(D)

Ａ．r?s Ｂ．r?s Ｃ．s?r Ｄ．s?r

27.已 知 向 量 组?1,?,?m 的 秩 为r(r

(A) 必 有r 个 向 量 线 性 无 关 . (B) 任 意r 个 向 量 线 性 无 关 .

(C) 任 意r 个 向 量 都 是 该 向 量 组 的 最 大 无 关 组 . (D) 任 一 向 量 都 可 由 其 余 向 量 线 性 表 出.

28.设A为n阶方阵，且A的列向量线性无关, 则 （ ） A.R?A??n B.R?A??n C.A?0 D.A?0

29.向量组?1,?2,?,?s?s?2?线性相关的充分必要条件是（ ）

?A??1,?2,?,?s中含有零向量。

?B??1,?2,?,?s中有两个向量的对应分量成比例。

?C??1,?2,?,?s中每一个向量都可由其余s?1个向量线性表示。

?D??1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其余s?1个向量线性表示。

30.设 n 维 向 量 组 ?1,?2,?,?m 线 性 无 关， 则 （ ）

?A?组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关， ?B?组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关 ，

m ?C?存 在 不 全 为0 的 数 k1,?,km， 使 ?ki?i?0 ，

i?1 ?D?组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示 。

参考答案 1 A 11 A 21 C

2 C 12 D 22 B 3 B 13 C 23 D 4 B 14 D 24 C 5 A 15 B 25 B 6 A 16 C 26 D 7 C 17 C 27 A 8 D 18 B 28 B 9 C 19 A 29 D 10 B 20 C 30 B 二、填空题

1. 一个排列中 叫做这个排列的逆序数。 2. 排列7623451的逆序数是_______。 3. 排列6573412的逆序数是 ．

4. a1ia23a44a35a5j是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____ 5. 5阶行列式的展开式中共有 项.。

7. 行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于 。 8. 当线性方程组的常数项 的时候称为齐次线性方程组。

9.在 n阶 行 列 式 中， 关 于主 对 角 线 与 元 素 aij 对 称 的 元 素 是________. 10. 设行列式D有两列成比例，则D＝ 11．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ． 12. AA?? , ?AB??1? , ?AB??? , 13. 设3阶矩阵A，且矩阵行列式A?3，则矩阵行列式2A? .

12?131?5?7?10?1x035?114.行列式

0?10中元素x的代数余子式等于 。

15.设矩阵A??6??（其中A?是A的伴随矩阵） ?，则A= 。

8?16.只有当 的时候两个矩阵才能相乘.。 17.当两个矩阵 并且 时，称为这两个矩阵相等。 18.如果一个方阵可逆，则它的行列式 。

19.当一个方阵 时称为单位矩阵。 20. 设E(i,j)表示由n阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则

E(i,j)?1?__________,E(i,j)?__________.

221. 、 和 称为矩阵的初等行变换。

23. 矩阵间的等价关系具有 、 、 三个性质。 23. 如果一个矩阵的秩为k，则它至少有一个 阶子式不等于0，并且它的所有的阶数 的子式都等于0。

24.设n元非齐次线性方程组Ax?b，且R?A??R?A,b??n ，则 Ax?b有 .

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