指数方程与对数方程

指数、对数方程练习与解析

【知识点】

1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。 3.指数方程的基本类型： （1）a（2）a（3）ax?c(a?0,a?0,c?0),其解为x?logac；

?ag(x)(a?0,a?1)，转化为代数方程f(x)?g(x)求解；

?bg(x)(a?0,a?1,b?0,b?1)，转化为代数方程f(x)lga?g(x)lgb求解； )?0(a?0,a?0)，用换元法先求方程F(y)?0的解，再解指数方程ax?y。

f(x)f(x)（4）F(ax4. 对数方程的基本类型： （1）logax?b(a?0,a?1),其解为x?ab；

?f(x)?g(x)?（2）logaf(x)?logag(x)(a?0,a?1)，转化为?f(x)?0求解；

?g(x)?0?（3）F(loga

典型例题

【例1】 解下列方程： (1)9+6=2

xx2x+1

x)?0(a?0,a?0)，用换元法先求方程F(y)?0的解，再解对数方程logax?y。

；

(2)log4(3-x)+log1(3+x)=log4(1-x)+log1(2x+1)；

44x-1

(3)log2(9-5)-log2(3-2)=2. 【解前点津】 (1)可化为关于（于3的一元二次方程.

【规范解答】 (1)由原方程得：3+3·2=2·2，两边同除以2得：(因式分解得：

2xx-1

23）的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关

xx-1

xx2x2x32)+（

2x32）-2=0.

x323∵(

2[（

）-1]·[(

xx32)+2]=0.

x)+2>0，∴ (

32)-1=0，x=0.

x(2)由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)?(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7，经检验知：x=0为原方程解. (3)log2(9-5)=log24·(3-2)

x-1

x-1

x-1

?9

x-1

-5=4·(3)-8因式分解得：(3-1)(3-3)=0

x-1x-1x-1

?3

x-1

=1或

3=3?x=1或2.经检验x=2是原方程解.

【解后归纳】 指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则. 【例2】 解关于x的方程：lg(x-2ax)-lg(6a-3)=0.

【解前点津】 利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”.

2

?x2?2ax?01?a?????【规范解答】 化原方程为： ?6a?3?0 2?x2?2ax?6a?3?(x?a)2?a2?6a?3??∵a>

12，∴a+6a-3>

2

14+6×

12-3>0，故由(x-a)=a+6a-3得：x-a=±

22

a2?6a?3即x=a±

a2?6a?3 (a>

12).

【解后归纳】 含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围. 【例3】 解关于x的方程：a·4+(2a-1)·2+1=0.

【解前点津】 令t=2，则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0，决定了方程的“次数”.【规范解答】 ①当a=0时，2=1，x=0；

②当a≠0时，Δ=(2a-1)-4a=1-4a；若Δ≥0则a≤

2

2

2

22

xxxx14 (a≠0).

且关于t的一元二次方程a·t+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为

1a2>0，故两根之和为正

数，即

1?2a1>0a

14 (a≠0)时，2=

x?(1?2a)?2a21?4a?，故a≤1 (a≠0)时，

4x=log2

1?2a?1?4a2a2为原方程之根.

【解后归纳】 方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.

【例4】 当a为何值时，关于x的方程4-(2a+1)·2+a+2=0的根一个比另一个大1.

【解前点津】 令y=2，则问题转化为：关于y的方程y-(2a+1)y+(a+2)=0中的根一个是另一个的两倍. 【规范解答】 令y=2，∵x1=x2+1，故2

xx2

2

xx2

x2?1=2·2

x2，即y2=2y1，故关于y的方程y-(2a+1)y+(a+2)=0

22

中的根一个是另一个的两倍，不妨设为m，2m.

7??(2a?1)2?4(a2?2)???0a??4???由?m?2m?2a?1??3m?2a?1 ???a?4. 22a?1?2?m?2m?a2?2?2m2?a2?2?2??a?2?????3???【解后归纳】 在不等式与方程式的混合不等式组中，常从解方程入手，将方程之根代入不等式检验便知真伪.

例5．（1）方程2logx25?3log25x?1的解集为________________；

44（2）方程log4(3?x)?log1(3?x)?log4(1?x)?log1(2x?1)的解集为_______。 解：（1） 设t（2）x?log25x，则3t2?t?2?0?t??1,t?21,x?535。 。x?325?0。

注意：在对数方程求解过程中，有些变形会改变未知数的范围，方程可能产生增根或失根，故对数方程求解后必须检验。 例6．关于x的方程k?9x?k?3x?1?6(k?5)?0在区间?0,2?上有解，求k的取值范围。

解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。 解：由k?9x?k?3x?1?6(k?5)?0，得

3030?9x?3x?1?6，因为方程在?0,2?上有解，所以在kk函数u?9x?1??3x?1?6,x??0,2?的值内取值即可，不难求得其值域为?,8?，

?2?所以

1?k?8。 2x例7．解关于x的方程4?(a?1)?6x?2(a2?a)?9x。

x?2??2??2?2解：原方程可化为???(a?1)????2a?a?0，设t????3??3??3?2x??x

则

?t?2a??t?a?1??0

?0时，x?log2(1?a)；

3（1）当a（2）当0?（3）当a

a?1时，x1?log2(1?a),x2?log2(2a)；

33?1时，x?log2(2a)。

3练习： 一、填空题 1．方程92x?1?4x的解是_______________。

2．方程3x?2?32?x?80的解集为_______________。

3．方程log9x?logx23?1的解集为______________。

x4．方程log3(1?2?35．方程lg(4二、选择题

x)?2x?1的解集为_____________。

?2)?lg2x?lg3的解是___________________。

6．方程log2(x?4)?2x的根的情况是 ( )

(A)仅有一个正根 (B)有两个正根 (C)有两个负根 (D)有一个正根和一个负根 7．方程2log3x?1的解为 ( ) 4 (C)x2(A)x?13 (B)x?934?3 (D)9

8．方程lg(x?1)??log1?的解是 ( )

2??4??(A)?0.99 (B)9 (C)9或-11 (D)-99 三、解答题 9．若关于x的方程910．若32xx?(a?4)?3x?4?0有实数解，求实数a的取值范围。

?9?10?3x，求x2?1的值。

211. 解方程:lgx?4lgx?3?0

ax12.已知lny-ax=lnc,求证:y=ce对数指数方程测试 一．选择题: 1．下面四个方程：

1x4?()?3?0lg(x?1)?5?lg2 (4) 2x?4x?5,其xlg2?3lg5?0 (2)2 (1) (3)

2中是指数方程或对数方程的有（ ）。

（A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 （D） 4个 2．当a>0且a≠1时，两组方程 （1）af(x)?a?(x)和f(x)??(x)，

（2）

logaf(x)?loga?(x)和f(x)??(x)中（ ）

。

（A） （1）组同解，（2）组不同解。 （B） 两组都同解。 （C） （1）组不同解，（2）组同解。 （D）两组都不同解。 3．下列方程中。与方程

logaf(x)?logag(x)同解的是（ ）

。

(A)f(x)?g(x);(B)

1f(x)?1g(x);f(x)g(x)(C)a?a;(D)f(x)?g(x).

2logx?loga(a?1?a)?loga(a?1?a)(a?0,a?1)的解为（ ）a 4．方程。

(A) (C)

a?1?a (B) a?1?a

?(a?1?a) (D) ?(a?1?a)

2x(x?4)(3?9)[lg(x?1)?1]?0的不同的x的值有（ ）

5．满足方程。

（A）1个 （B） 2个 （C） 3个 （D）4个 6．方程

logax?x?2(0?a?1)实数解的个数是（ ）

。

lgx?lg(x?1)?lga(0?a?1)实数解的个数是（ ）

。

（A）0个 （B） 1个 （C） 2个 （D）3个 7．方程

（A）0个 （B） 1个 （C）0个或1个 （D）2个 8. 下列四个方程中有实数解的是（ ）。

1?xxxx （A）2=0 （B）(3)=－1 （C）0.1=3 （D）3=－3 142

9．方程lg(x＋1)=[log2(4)]的解集是（ ）。

99 （A）{－100} （B）{9} （C）{9, －11} （D）φ

10．关于x的方程lg(ax)=2lg(x－1)有解的条件是（ ）。 （A）a≤－4或a≥0 （B）a<－4或a>0 （C）a>0 （D）a<－4 二．填空题：

11．求下列指数方程的解集：

2x?2?x1?x?x2的解集为 。 (1) 2?2 (2) 5x?103x?8x的解集为 。

2 (3)

25x?x?0.5?45的解集为 。

12．求下列对数方程的解集：

lg(3?x)?lg(3?x)?lg (1)

1?x2x?1的解集为 。

lg2x1lg(x?)2=2的解集为 。 (2)

(3)

log(x?1)(2x2?2x?1)?2的解集为 。

13．已知函数

f(x)?2x,g(x)?log1/2x，则方程

f[g(x)]?g[f(x)]?2的解集

为 。

logax?1(x)?a(a?0,a?1)的解集为 。

14．关于x的方程

15．方程

2logx25?3log25x?1的解集为 。

三．解答题： 16．解下列方程：

xx(2?3)?(2?3)?4. lg2x?lg3x?lg2?lg3 (1) ; (2)

xlgx2lgx2xx?1000x (3) (4)

1x=10

(5)

log4(3?x)?log0.25(3?x)?log4(1?x)?log0.25(2x?1).

2x?2(Log3N?1)x?Log9N?0 有两个相等的实根，求N。

17．已知方程

18．a为何值时，方程答案

lg2x?2lg(x?a)有两解。 3B4D5B6B7B8C9C10C题号答案1B2A 11. (1) {log2

313} (2) {0} (3) {2, －2} 12. (1) {0} (2) φ (3) {4} 13. {21132

－1} 14 {a,a} 15. {55,25}

三.解答题

1116. (1) x=1,x=6 (2)x=2,x=－2 (3) x=1000, x=10 (4)x=100, x=10 (5)x=0, x=2

17. n=

3113,n=9 18. 0

lg(3?x)?lg(3?x)?lg (1)

1?x2x?1的解集为 。

lg2x1lg(x?)2=2的解集为 。 (2)

(3)

log(x?1)(2x2?2x?1)?2的解集为 。

13．已知函数

f(x)?2x,g(x)?log1/2x，则方程

f[g(x)]?g[f(x)]?2的解集

为 。

logax?1(x)?a(a?0,a?1)的解集为 。

14．关于x的方程

15．方程

2logx25?3log25x?1的解集为 。

三．解答题： 16．解下列方程：

xx(2?3)?(2?3)?4. lg2x?lg3x?lg2?lg3 (1) ; (2)

xlgx2lgx2xx?1000x (3) (4)

1x=10

(5)

log4(3?x)?log0.25(3?x)?log4(1?x)?log0.25(2x?1).

2x?2(Log3N?1)x?Log9N?0 有两个相等的实根，求N。

17．已知方程

18．a为何值时，方程答案

lg2x?2lg(x?a)有两解。 3B4D5B6B7B8C9C10C题号答案1B2A 11. (1) {log2

313} (2) {0} (3) {2, －2} 12. (1) {0} (2) φ (3) {4} 13. {21132

－1} 14 {a,a} 15. {55,25}

三.解答题

1116. (1) x=1,x=6 (2)x=2,x=－2 (3) x=1000, x=10 (4)x=100, x=10 (5)x=0, x=2

17. n=

3113,n=9 18. 0

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