2006年数二考研真题答案解析

2006年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析

一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线

y?1x?4sinx 的水平渐近线方程为 y?.

55x?2cosx【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.

4sinxx?4sinxx?1.

【详解】lim?limx??5x?2cosxx??2cosx55?x1 故曲线的水平渐近线方程为 y?.

51?（2）设函数

?1x21?3?0sintdt,x?0在x?0处连续，则a?. f(x)??x3?a,　　　　 x?0?【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可. 【详解】由题设知，函数

f(x)在 x?0处连续，则

limf(x)?f(0)?a，

x?0?又因为 limf(x)?limx?0x?0x0sint2dtx3sinx21?lim?. x?03x23所以

a?1. 3（3） 广义积分

???01xdx?(1?x2)22.

【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.

【详解】

???02bd(1+x)xdx111?lim??lim22(1?x2)22b???0(1?x)2b??1+xb021111??lim?2?.

2b??1+b22（4） 微分方程

y??y(1?x)?x的通解是y?Cxe(x?0). x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】原方程等价为

dy?1????1?dx， y?x?两边积分得

lny?lnx?x?C1，整理得

（5）设函数

C?x.（C?e1） y?Cexdyx?0??e. dx【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x求导（注意y是x的函数），一阶微分形式不变性

y?y(x)由方程y?1?xey确定，则

和隐函数存在定理求解.

【详解】方法一：方程两边对x求导，得

y???ey?xy?ey.

又由原方程知，x?0时,y方法二：方程两边微分，得

ydy??exd?xy?1.代入上式得

dydxx?0?y?x?0??e.

x?0,y?1，得ey，代入ddydxx?0??e.

方法三：令F(x,y)?y?1?xey，则

y?1e

?F?xx?0y,?x??F?ey?0,1,?yx?y??0?,?1x1y?ex?y??，0 ,11故

dydxx?0?F???x?F?yx?0,y?1??e.

x?0,y?1（6）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则

??12?

B? 2 .

【分析】将矩阵方程改写为AX?B或XA?B或AXB?C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行

计算即可.

【详解】由题设，有

B(A?E)?2E

于是有

BA?E?4，而

11A?E??2，所以B?2.

?11二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数

y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，

?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则

(A)

0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C)

?y?dy?0.

(D)

dy??y?0 .

[ Ａ ]

【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由加，曲线

f?(x)?0,f??(x)?0知，函数f(x)单调增

y?f(x)凹向，作函数y?f(x)的图形如右图所示，?0时，

显然当?x?y?dy?f?(x0)dx?f?(x0)?x?0，故应选(Ａ).

（8）设

f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一

类间断点，则

?x0f(t)dt是

（B）连续的偶函数 （D）在x（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数

x?0间断的偶函数. [ B ]

【分析】 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数

f(x)去计算F(x)??f(t)dt，然后选择正确选项.

0【详解】取

?x,x?0. f(x)???1,x?0?0时，F(x)??f(t)dt?limtdt???0xx则当x??0?11lim??x2??2??x2， 2??02而F(0)?0?limF(x)，所以F(x)为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.

x?0（9）设函数g(x)可微，h(x)?e

（A）ln3?1.

1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于

（B）?ln3?1.

[ C ]

（D）ln2?1.

（C）?ln2?1.

【分析】题设条件h(x)?e【详解】h(x)?e

1?g(x)1?g(x)两边对x求导,再令x?1即可.

两边对x求导,得

h?(x)?e1?g(x)g?(x).

?1，又h?(1)?1,g?(1)?2，可得

上式中令x1?h?(1)?e1?g(1)g?(1)?2e1?g(1)?g(1)??ln2?1，故选（C）.

（10）函数

y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是 y???y??2y?3xex.

（B）

（A）

y???y??2y?3ex.

（C）

y???y??2y?3xex.

（D）

y???y??2y?3ex. [ D ]

【分析】 本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.

【详解】 由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为

?1?1,?2??2.

则对应的齐次微分方程的特征方程为

(??1)(??2)?0,即?2???2?0.

故对应的齐次微分方程为 又

y???y??2y?0.

y*?xex为原微分方程的一个特解，而??1为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项

f(x)?Cex（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）

?1应具有形式

（11）设

f(x,y)为连续函数，则?4d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

00（Ａ）

?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.

(C)

?220dy?1?y2yf(x,y)dx.

(D)

?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ Ｃ ]

【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.

【详解】 由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则

原式?故选（Ｃ）. （12）设

?220dy?1?y2yf(x,y)dx.

f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知

(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若(B) 若

fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

[ Ｄ ]

(C) 若(D) 若

【分析】 利用拉格朗日函数F(x,y,?)?的参数?的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】 作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)在(x0,y0,?0)（?0是对应x0,y0f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为

?0，则

?F?(x,y,?)?0?f?(x,y)????(x,y)?0?x000?x000x00， 即? . ???????Fy(x0,y0,?0)?0?fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?0

消去?0，得

fx?(x)?y0,y0??(xy0,?0)yf(??,0yx)0x0?(xy, 0,)0整理得

fx?(x0,y0)?1?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).（因为?y?(x,y)?0），

若

fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故选（Ｄ）.

A为m?n矩阵，下列选项正确的是

（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，

(A) (B)

若?1,?2,?,?s线性相关，则若?1,?2,?,?s线性相关，则

A?1,A?2,?,A?s线性相关. A?1,A?2,?,A?s线性无关.

(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则

A?1,A?2,?,A?s线性相关.

A?1,A?2,?,A?s线性无关.

[ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记B?(?1,?2,?,?s)，则(A?1,A?2,?,A?s)?所以，若向量组

AB.

r(AB)?r(B)?s向量组，

?1,?2,?,?s线性相关，则r(B)?s，从而

A?1,A?2,?,A?s也线性相关，故应选(Ａ).

（14）设

A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记

?110???P??010?，则

?001???（Ａ）C?P?1AP.

（Ｂ）C?PAP?1.

（Ｃ）C?PTAP.

（Ｄ）C?PAPT.

［ Ｂ ］

【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得

?1?B??0?0?1100??0A　　　,C???1??1???B0?0?1?0???1???0?0??1?1?1?0???0?1?A0?0??0?11??0?， 10??001而

?1?10???P?1??010?，则有C?PAP?1.故应选（Ｂ）.

?001???三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得

ex(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，

其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的无穷小.

x【分析】 题设方程右边为关于x的多项式，要联想到e的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得

A,B,C的值.

x2x3??o(x3)代入题设等式得 【详解】 将e的泰勒级数展开式e?1?x?26xx

整理得

?x2x33?1?x???o(x)?[1?Bx?Cx2]?1?Ax?o(x3) ?26??1?1???B1?(B?1)x??B?C??x2???C???o(x3)?1?Ax?o(x3)

2?6???2比较两边同次幂系数得

??B?1?A?1?B?C??0，解得 ?2?1?B?C??0?6?21?A??3?2?B??. ?3?1?C??6?（16）（本题满分10分）

求

arcsinex?exdx.

【分析】 题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.

arcsinexexx?x?xx－x【详解】

?exdx???arcsinede??earcsine??e?1?e2xdx

??e?xarcsinex??令t11?e2xdx.

?1?e2x，则x?1tln(1?t2),dx??dt， 221?t所以

?11?e2xdx??11?11?dt????dt 2?t?12?t?1t?1?.

1t?111?e2x?1?ln?C?ln2t?121?e2x?1（17）（本题满分10分）

设区域D?(x,y)x2?y2?1,x?0??， 计算二重积分

1?xydxdy. 22??1?x?yD 【分析】 由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.

【详解】 积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称， 函数

f(x,y)?11?x?y22是变量

y的偶函数，

函数g(x,y)?则

xy1?x2?y2是变量

y的奇函数.

??1?xD12?ydxdy?2??21?021?x?yD1dxdy?2?2d??2r?ln2dr2?01?r21xydxdy?0， 22??1?x?yD故

1?xy1xy?ln2dxdy?dxdy?dxdy?. 222222??????1?x?y1?x?y1?x?y2DDD（18）（本题满分12分）

设数列

?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)

（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n???xn? 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.

【详解】 （Ⅰ）因为0?可推得

x1??，则0?x2?sinx1?1??.

0?xn?1?sinxn?1??,n?1,2,?，则数列?xn?有界.

于是

xn?1sinxnsinx?x）（因当x?0时，， 则有xn?1?xn，可见数列?xn?单调减??1，

xnxnn??少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.

设limxnn???l，在xn?1?sinxn两边令n??，得 l?sinl，解得l?0，即limxn?0.

n??11（Ⅱ） 因

?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn?xn2?，由（Ⅰ）知该极限为1型， ?lim??n???xn?令t?xn，则n??,t?0，而

sint?1t?1t211??sintsint?sint?t?sint?t???1lim??1??lim??1??1?t???lim?1?t?0t?0t?0???tt?t??????2211，

又

t3t??o(t3)?t1?sint?sint?t13!lim2??1??lim?lim??. 33t?0tt?0t?0ttt6??x的麦克劳林展开式）

12xn（利用了sin故

?x?lim?n?1?n???xn?1??sinxn?xn2?lim??e6. ?n???xn?1（19）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令则

f(x)?xsinx?2cosx??x?asina?2cosa??a,0?a?x?b??，且

，

f?(x)?sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??f?(?)?0.

又

f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，（0?x??时,xnsix0??x?b??时，

），

故当0?af?(x)单调减少，即f?(x)?f?(?)?0，则f(x)单调增加，于是

f(b)?f(a)?0，即

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

（20）（本题满分12分）

设函数

f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2?满足等式

?2z?2z?2?0. 2?x?y（I）验证（II）若

f??(u)?f?(u)?0； uf(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.

?2z?2z?2z?2z【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出,2代入2?2?0即可得（I）.按常规方2?x?y?x?y法解（II）即可.

【详解】 （I） 设u?x2?y2，则

?zx?zy?f?(u),?f?(u)?xx2?y2?yx2?y2. ?zxx???f(u)???f?(u)?22222?xx?yx?y2x?y?x?y222x2x2?y22

x2?f??(u)?2?f?(u)?2x?y?2zy2?f??(u)?2?f?(u)?22?yx?y?2z?2z?2z?2z将,2代入2?2?0得 2?x?y?x?y

y2?x?x2?yx2322，

?2?y322?.

f??(u)?f?(u)?0. u（II） 令

f?(u)?p，则p??pdpdu?0???，两边积分得 upu 由

，即lnp??lun?lCnp?1C1u，亦即

f?(u)?C1u.

f?(1)?1可得 C1?1.所以有 f?(u)?1，两边积分得 u 由

f(u)?ln?u2，

Cf(1)?0可得 C2?0，故 f(u)?lnu.

（21）（本题满分12分）

?x?t2?1,已知曲线L的方程?(t?0)

2?y?4t?t（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；

x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

【分析】 （I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用 (?1,0)在切线上 ； （III）

利用定积分计算平面图形的面积.

（III）求此切线与L（对应于x?dydxdydydt4?2t2【详解】 （I）因为?2t,?4?2t?????1

dxdtdtdx2ttdt

d2yd?dy?1?2?11????????0,(t?0) ??dx?2?23dxdt?dx?t?t?2tdt?0时是凸的.

故曲线L当t（II）由（I）知，切线方程为

?2?22， y?0???1?(x?1)，设x0?t0?1，y0?4t0?t0?t?

?2?2232则4t0?t???1?(t0?2)，即4t0?t0?(2?t0)(t0?2)

?t0?20

整理得 将t02. t0?t0?2?0?(t0?1)(t0?2)?0?t0?1,?2(舍去），故切线方程为 ?1代入参数方程，得切点为（2，3）

?2?y?3???1?(x?2)，即y?x?1.

?1?

（III）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为

A(1,0),B(2,0),C(2,3),D(?1,0)，

设L的方程x则S3?g(y)，

????g(y)?(y?1)???dy 0?由参数方程可得

t?2?4?y，即x?2?4?y由于（2，3）在L上，则x?3??2?1.

g(y)?2?4?y??2?1?9?y?24?y.于是

S???9?y?44?y?(y?1)?dy

0????(10?2y)dy?4?0330??4?ydy

30??10y?y（22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

2?3038??4?y?23?7. 3?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵

A的秩r?A??2；

（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.

【分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵

A的秩确定参数

a,b，然后解方程组.

【详解】 （I） 设?1,?2,?3是方程组

Ax??的3个线性无关的解，其中

?1111???1?????A??435?1?,????1?.

?a13b??1?????则有 则

A(?1??2)?0,A(?1??3)?0.

?1??2,?1??3是对应齐次线性方程组Ax?0的解，且线性无关.（否则，易推出?1,?2,?3n?r(A)?2，即4?r(A)?2?r(A)?2.

线性相关，矛盾）.

所以

又矩阵

A中有一个2阶子式

11??1?0，所以r(A)?2.

43因此

r(A)?2.

（II） 因为

111??1111?1111??1???????A??435?1???0?11?5???0?11?5?.

?a13b??01?a3?ab?a??004?2ab?4a?5??????? 又r(A)?2，则

?4?2a?0?a?2. ???b?4a?5?0b??3??对原方程组的增广矩阵

A施行初等行变换，

?1111?1??102?42?????A??435?1?1???01?15?3?，

?213?31??00000?????故原方程组与下面的方程组同解.

x?2?x1??2x3?44. ?43?x2?x3?5x?选x3,x4为自由变量，则

?x1??2x3?4x4?2?x?x?5x?3?234. ??x3?x3??x4?x4 故所求通解为

??2??4??2???????1?5?3x?k1???k2?????，k1,k2为任意常数.

?1??0??0???????0???1??0?A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT（23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵组

是线性方程

Ax?0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.

A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；

由齐次线性方程组Ax?0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A的

【分析】 由矩阵

线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q.

【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵

A的各行元素之和均为3，所以

?1???A?1????1?????3????3???3?1????3，??1 ??1???3是矩阵A的特征值，??(1,1,1)T是对应的特征向量.

?则由特征值和特征向量的定义知，

对应??3的全部特征向量为k?，其中k为不为零的常数.

又由题设知 所以?A?1?0,A?2?0，即A?1?0??1,A?2?0??2，而且?1,?2线性无关，

?0是矩阵A的二重特征值，?1,?2是其对应的特征向量，对应??0的全部特征向量为

k1?1?k2?2，其中k1,k2为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为取

A是实对称矩阵，所以?与?1,?2正交，所以只需将?1,?2正交.

?1??1，

?1???0???1??2????,????3????2??2?21?1???1?2?0??. ?????,?6?11??1???1??1????????2?

再将?,?1,?2单位化，得

??????1????????1??1??1?????3?6???2????1?2??2?1??,?2?????,?3????0?， 3??1?12?6???1??1????2????3??6?

令

Q???1,?2,?3?，则Q?1?QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得

?3????.

QTAQ??0???0???

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