框剪结构结构振动分析毕业论文

河北大学2008届本科生毕业论文（设计）

一引言

框架结构，既能为建筑平面布置提供较大的使用空间，又具有良好的抗侧力性能。这种结构构造简单，施工便利且改装起来比较容易因此，这种结构已被广泛地应用于各类房屋建筑。

框架结构的变形是剪切型，上部层间相对变形小，下部层间相对变形大。框架结构由梁柱构成，构件截面较小，因此框架结构的承载力和刚度都较低，它的受力特点类似于竖向悬臂剪切梁，楼层越高，水平位移越慢，高层框架在纵横两个方向都承受很大的水平力，这时，现浇楼面也作为梁共同工作的，装配整体式楼面的作用则不考虑，框架结构的墙体是填充墙，起围护和分隔作用。

随着高层建筑的不断发展，对高层建筑的承载力、稳定性和抗弯、抗剪要求越来越高，各种结构和施工方法不断涌现，框架—剪力墙结构就是在这种背景下出现的。框架—剪力墙结构的基本原理就是对于梁，柱线刚度比值大于5的强柱弱梁多层框架结构，在动力分析中采用层间剪切模型。层间剪切模型是把横梁视为刚性梁，并假定结构质量集中在各层楼面及屋面处。当横梁发生水平震动时，不考虑柱的轴向变形，横梁只产生水平位移而不产生转角以此来计算它的抗弯刚度。这样计算简便，且结果与实际很接近。

FORTRAN语言逻辑性强，程序结构清晰，语法语义简捷好懂，特别适合用于科学计算，数据采集处理，调用绘图库（例如GKS,DISPLA等）可以绘图。大型 MainFrame 计算机，DEC 计算机等都用 FORTRAN。从FORTRAN90开始，加入了可视化。FORTRAN语言是目前世界上仍广泛流行的、适用于数值计算的一种计算机语言。

本文采用FORTRAN语言，编制了剪切型框架结构动力分析程序，通过工程实例讨论其振动周期和振型型与质量和刚度之间的关系，为平面刚架计算提供理论依据。

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二 框剪结构结构振动分析计算模型

2.1 运动方程的建立

多自由度结构的运动方程为：

{})(}]{[}]{[}]{[t F x

k x c x M =++ （2.1） 式中，[]M －质量矩阵；

[]c －阻尼矩阵；

[]k －刚度矩阵；

{x

}-速度 {x

}-加速度 对于梁，柱线刚度比值大于5的强柱弱梁多层框架结构(如图1所示)，在动力分析中采用层间剪切模型。层间剪切模型是把横梁视为刚性梁，并假定结构质量集中在各层楼面及屋面处。当横梁发生水平震动时，不考虑柱的轴向变形，横梁只产生水平位移而不产生转角。一般情况是把每层楼面积屋面简化为一个质点，将剪切型多层框架定一步简化为质点体系（如图2所示），这些质点只能有水平线位移。下图中i m 为第i 层集中质量，i k 为第i 层柱上，下端错动单位位移所需的水平力，成为第i 层的层间刚度。它等于该层所有柱的侧位移刚度之和，即

∑=)(312i i c i h EI k （2.2）

式中，c EI 为柱的抗弯刚度；i h 为第i 层层高。

`

图2.1 多层剪切型框架计算图示 图2.2 简化计算图示

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图 2.3 楼层变形图 图2.4 简化后计算图示

根据刚度系数的定义，容易得到剪切性框架结构的侧位移刚度为：

1,11,,1_1_,1

=-==-==+=++++ir i i i i i i

i i i i i i ii k k k k k k k k k k （2.3）

于是得到剪切型结构的刚度矩阵为

[]?????

???????----+--+=--n n n n n n k k k k k k k k k k k k k k 113322

221 （2.4） 剪切型多层框架的质量矩阵式对角阵：

[]?????

???????=n m m m m M 32100 （2.5） ][][][K M C βα+=

2.2剪切多层框架结构的自振特性

考虑无阻尼系统的自由振动：

}0{}]{[}]{[=+x k x M

应用雅克比法，其矩阵特征值问题为：

[]{}[]{}020?=?M K ω （2.6） 首先要将矩阵化为同阶对称矩阵的标准值问题。

（1）将结构质量阵[M]进行乔列斯基（Cholesky ）分解

质量矩阵[M]是对称正定矩阵，根据线性代数理论，一个对称的正定实矩阵总可以分

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解为一个下三角矩阵[L]及其转置矩阵[]T

L 的乘积，即

[ M]= [L] ×[]T L （2.7） （2）形成对称矩阵[A]。 将上式带入上上式得，

[]{}[][]{}020?=?T L L K ω （2.8a ）

或 [][

]()[]{}[][]{}0

2

1

?=?-T

T

T L L L L K ω （2.8b ）

将[]1

-L 左乘上式，并注意到[]()1

-T

L =[]()

T

L 1-，则有

[][][

]()[]{}[]{}02011?=?--T T T

L L L K L ω （2.9） 令 2ωλ= （2.10）

{}[]{}0?=T L X （2.11）

[][][][

]()

T

L K L A 11

--= （2.12）

则式（a ）变为

[]{}{}X X A λ= （2.13）

因为[K]为对称矩阵，由上上式可见[A]=[]T

A ,即[A]为对称矩阵。这样就可以利用雅克

比法求的上式中对称矩阵[A]的特征值和特征向量。

将结构质量矩阵[M]进行乔列斯基分解。 式（3.21）可以写为：

????????????????nn n n n n n m m m m m m m m m m m m

2

1

33231

222

21

11211

=??

?

????????

????

?????????????????nn n n n nn n n n l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

333

223

22

11312113

2

1

333231

22

21

11

（2.14）

根据矩阵乘法可得

111112

1111,l l m l m i ==（i=2，3，

···，n ） （2.15） jj ij jk j k ik jj ij j i j i ij l l l l l l l l l l m +=+++=∑-=1

1

2211 （ 3,2,1.=j i ） （2.16）

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于是可得计算[L]下三角元素的公式：

1111111,i i i l m l m l ==（i=2，3，···n ） （2.17） ()n j l m l j k jk jj jj ,3,21

12=-=∑-= （2.18）

jj

j k jk

ik ij ij l l l m l ∑-=-=

1

1

(n i ,3,2=)(1,3,2-=j j ) (2.19)

由于现在是对角阵，处理起来比较简单。

由[]{}[]{}020?=?M K ω可得 (2.20) [][][]{}[]{}0

2

1

?=?-M M M K ω

（b ）

其中

[]

?????

?

?????

??

?=n m m m M

002

1

(2.30)

以

[]

1

-M 前乘（b ）式的两边得

[]

1

-M [][

][]{}[]{}0

2

1

?=?-M M M

K ω

（d ）

令 2ωλ=

{}[]{}0?=M X

（2.31） [][

]

[][

]

1

1

--=M

K M

A

（2.32）

则式（d ）可写成

[]{}{}X X A λ= （2.33）

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6 ????????????

??????????????---+--+=--m k m m k m m k m m k m k k m m k m m k m k k A n n n n n n m 1132312121221212100][ （2.34）

2.3剪切型多层框架的水平地震作用

单自由度体系的反应谱理论可得，但自由度体系的地震作用为：

)()(2t x m t F ω= （2.35）

根据反应谱理论，但自由度体系的最大地震作用为：

G F α=（a ） （2.36）

对于多自由度体系，第j 振型第I 质点的地震作用为：

)()(2t x m t F ij j i ji ω= （2.37）

由振兴分解法可得，

)()()(t X t q X t x j j ji j ji ij ?==γ （2.38）

将其带入式（a ）的

)()(2t m X t F j j i ji j ji ?=ωγ （2.39）

利用单自由度反应谱的概念，得到第j 振型第I 质点的最大最大地震作用为：

i ji j j j j ji j ji G X G X F γααγ== （2.40）

式中，)(t F ji ——j 振型I 质点的水平地震作用；

j α——与第j 振型自振周期相应的地震影响系数；

i G ——集中于质点I 的重力荷载代表值；

ji X ——j 振型I 质点的水平相对位移；

j γ——j 振型的参与系数。

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由上式即可求得各阶振型下各个质点的最大水平位移，下图为一三质点体系各振型的地震水平作用示意图。

体系简图第一振型第二振型第三振型

图2.5三质点体系各振型下的示意图

2.4水平地震影响系数

地震影响系数α就是单指点弹性体系在重力加速度为单位的质点最大加速度反应。同时，地震影响系数α也指作用于单质点弹性体系上的水平地震作用与质点重力荷载代表值之比。

在不同烈度下，地震系数k为一具体数值。则α曲线的形状由β谱决定。通过地震系数k与动力系数β的乘积，即可得到抗震设计反应谱α－T曲线。用某一次地震的地面

运动加速度计卢梭的反应谱曲线作为依据是不准确是的。为了满足房屋抗震设计需要，应根据大量强震地面运动加速度纪录算出对应于每一条记录的反应谱曲线，按影响其形状的因素进行分类，再进行统计分析，求出最具代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为标准反应谱。规范中采用的抗震设计反应谱曲线就是有上述方法得到的标准反应谱曲线。

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图2.6 地震影响系数曲线

α为地震影响系数曲线；T 为自振周期（s ）；m a x α为地震影响系数最大值，按表1确

定；g T 为特征周期，与场地条件和设计分组有关，按表2确定；2η为阻尼调整系数，按下式计算，当小于0.55时，取0.5；

（2.41）

式中 ξ——阻尼比，一般情况下，对钢筋混凝土结构去为0.05，钢结构取0.02；当ξ=0.05时，2η=1.0；

γ为曲线的下降段的衰减指数，按下式计算：

γ=0.9+ξξ55.005.0+- （2.42）

1η为直线下降段的下降斜率调整系数，按下式计算，小于0取0；

1η=0.02+()8/05.0ξ-

（2.43）

ξξ

η7.106.005.012+-+=

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表1 水平地震影响系数最大值

注：括号中的数值分别用于基本地震加速度为0.15g 和0。30g 的地区

表2 特征周期值

注：当计算8度，9度罕遇地震时，特征周期应增加0.05s 。

由上图可以看出，α曲线由4部分组成，及直线上升段()1.00<≤T ；水平段

()g

T T ≤≤1.0；曲线下降段()g g

T T T

5≤<；直线下降段0.65≤

可以用下式表示

()[]()

()

()[]

()

??

?

????≤<--≤<≤≤<≤-+=0.6552.0)5()(1.01.005.41045.0max 12max 2max

2max 2T T T T T T T T T T T T T g g g

g g g

αηηαηαηηαγ

γ

（2.44）

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10 三 程序设计及工程实例

3.1程序设计

根据前面给出双排桩支护结构内力计算，采用Visual Fortrain 6.0 编制可视化的使用计算程序。计算界面如图3.1所示，该计算程序界面友好，操作灵活，便于用户修改，为工程设计人员提供了设计依据。计算结果的输出采用列表形式和文档形式两种方式出入，便于计算结果的整理。

3.1 程序总框图

3.2工程实例

计算五层混凝土框架的水平地震作用。已知：集中与各楼层出得质量为；

6.1081=m t ，6.1082=m t ，4.853=m t ，5.604=m t ，2.405=m t 各层柱的截面尺寸均为400mm*500mm ，横梁EI=∞；混凝土的弹性模量E=3.0*1010kN/2m ；地震类别为小震，远

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11 震；设防烈度为8度；建筑场地为三类场地；拟组合前3个振型的地震作用。

图 3.1 计算图示图 3.2 计算简图

由于横梁刚度无限大，所以可以把各楼层出的质量简化为一个质点。简化以后的模型如图所示3.5。柱侧位移刚度的计算公式：

()∑=i i c i h EI k 312可得，

()31131

11212h EI h EI k c c ==∑=33

105106.12100.312-????=36000kN/m ()32

23221212h EI h EI k c c ==∑=33

105106.12100.312-????=36000kN/m ()3333331212h EI h EI k c c ==∑=3

3105106.12100.312-????=36000kN/m ()34

43441212h EI h EI k c c ==∑=33

104104.8100.312-????=47300kN/m ()35535

51212h EI h EI k c c ==∑=33

104104.8100.312-*???=47300kN/m 应用所编制的计算程序，进行计算，计算结果见表3.1~表3.8，图3.6～3.13所示。

表3.1 改变质量时的固有频率

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固有频率

图3.6 改变质量时的固有频率

表

3.2 改变刚度时的固有频率

河北大学2008届本科生毕业论文（设计）固有频率

图3.7 改变刚度时的固有频率

表3.3 改变第三层质量时的固有频率

图3.8改变第三层质量时的固有频率

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河北大学2008届本科生毕业论文（设计）表3.4 改变第三层刚度时的固有频率

固有频率

图3.9改变第三层刚度时的固有频率

表3.5 改变质量时的层间剪力（kN）

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102030405060708090100110120层间剪力

图3.10 改变质量时的层间剪力（kN ）

表3.6 改变刚度时的层间剪力（kN ）

图3.11 改变刚度时的层间剪力

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表3.7 改变第三层质量时的层间剪力（kN）

层间剪力

图3.12改变第三层质量时的层间剪力

表3.8 改变第三层刚度时的层间剪力（kN）

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层间剪力

图3.13 改变第三层刚度时的层间剪力

由表3.1～3.8和图3.6～3.13可以得到如下规律：

随着结构质量的和刚度的改变，结构的自振周期和频率也有较大变化。结构的固有频率随着结构质量的减少而增加，随着刚度的减小而减小。当其他参数不变，仅将结构质量减少20%时，结构的各阶固有频率增加12%左右；当其他参数不变，将结构的刚度减少20%时，结构自振频率减少10.5%。当其他参数不变，改变第三层层质量时，其一到三阶基本不变，而四阶和五阶固有频率改变明显大；而改变第三层刚度时，其各阶固有频率都有所减少，但第四阶较其他明显。

随着结构质量的和刚度的改变，结构的层间剪力变化很大。当其他参数不变，仅将结构质量减少20%时，结构的各阶固有频率增加12～17%左右；当其他参数不变，将结构的刚度减少20%时，结构自振频率减少3～9%。而当仅仅改变中间某一层刚度时，各层层间剪力无明显变化；同样，当仅仅改变中间某一层质量时，除该层外，其他层层间剪力无明显变化，而该层则有很大变化，变化率超过了15%。

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四结论

本文采用Fortran语言，编制剪切型多层框架结构动力分析的计算程序，计算结果包括结构的固有频率、振型、水平地震作用，并通过工程实例验证了程序的可靠性。

计算结果表明：随着结构质量的和刚度的改变，结构的自振周期和频率也有较大变化。而随着结构质量减小，结构自振频率增加；随着刚度的减小，结构自振频率减小。

随着结构质量的和刚度的改变，结构的层间剪力变化很大。随着刚度的减小，结构的层间剪力减小。剪切型框架结构的自振频率的变化对刚度变化敏感，而其层间剪力变化对质量变化敏感。

由于时间所限，本文在建立计算模型时的过程中没有考虑非线性影响影响，今后将对计算模型进步改善，也要尝试用有限元等其他方法对框剪结构进行考虑。

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谢辞

本论文的选题和完成是在导师丁继辉教授的悉心指导和严格要求下完成的。丁老师的学识渊博，严谨治学，平易近人的学者风范以及乐观正直的人生态度另学生一生受益。在此，向丁继辉老师表示最真诚的感谢。

在过去的几年中，还得到了河北大学机械与建筑工程学院领导和多位老师的鼓励还教导，在此表示由衷的感谢。同时，感谢在论文编写过程中帮助我的同组同学及其他同学。

深深的感谢在家乡的父母多年来对我的养育及经济上的支持和精神上的鼓励。

感谢所有给予我帮助的师长、同学和朋友们。

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参考文献

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附录

program seis 主程序的源程序dimension m(50),k(50),a(50,50),s(50,50),t(50),

&af(50),r(50),om(50),gm(50),f(50,50)

integer xd,cd

real m,k

open(1,file='rSEIS.dat') 打开文件open(2,file='wSEIS.dat')

read(1,*)n,xd,jy,LD,cd,nx 读取文件read(1,*)(m(i),i=1,n)

read(1,*)(k(i),i=1,n)

WRITE(2,4)'N','XD','JY','LD','CD','NX'

4 FORMAT(3X,6A5)

write(2,5)n,xd,jy,LD,cd,nx

5 format(5x,I2,3X,I2,3X,I2,3X,I2,3X,I2,3X,I2)

write(2,10)(m(i),i=1,n)

10 format(12x,'lumped-mass of story'/(2x,5f12.3))

write(2,*)(k(i),i=1,n)

15 format(12x,'shear stiffness of story'/(2x,5f12.3))

call fma(n,m,k,a,r)

call jacobi(n,a,s,1e-6) 调用jacobi子程序call tvm(n,a,s,t,r,om) 调用tvm子程序call alfa(xd,jy,LD,cd,nx,t,af,n) 调用alfa子程序call fij(n,nx,m,s,af,gm,f) 调用fij子程序

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kgpl.html