山东省淄博市2017届高三3月模拟考试数学理试题 Word版含答案

淄博市2016-2017学年度高三模拟考试试题

理科数学

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

21.已知集合A?xx?4，B??0,1,2,3?，则A?B?（ ）.

?? A．? B．?0? C．?0,1? D．?0,1,2? 2.已知

x?1?yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x?yi的共轭复数为（ ）. 1?i A．2?i B．2?i C．1?2i D．1?2i 3.下列命题为真命题的是（ ）. A．若x?y?0，则lnx?lny?0 B．“???4”是“函数y?sin(2x??)为偶函数”的充要条件

xxC．?x0?(??,0)，使30?40成立

D．已知两个平面?,?，若两条异面直线m,n满足m??,n??且m//?,n//?，则?//? 4.设随机变量?服从正态分布N(3,4)，若P(??2a?3)?P(??a?2)，则a的值为 （ ）. A．

57 B． C. 3 D. 5 33225.已知圆C：(x?a)?(y?2)?4(a?0)，若倾斜角为45°的直线l过抛物线的

y2??12x焦点，且直线l被圆C截得的弦长为23，则a等于 （ ）.

A．2?1 B．2 C. 2?2 D．1?2 6.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）上使减函数的为（ ）.

2?x2x?2?xA．y?log1x B．y?x C. y? D. y?lg

2?x2212????????????7.设向量OA?(1,?2)，OB?(a,?1)，OC?(?b,0)，其中O为坐标原点，a?0,b?0，

若A,B,C三点共线，则

12

?的最小值为（ ）. ab

A．4 B．6 C.8 D．9

?x?0,?y?0,?8.已知x,y满足不等式组?当3?m?5时，目标函数z?3x?2y的最大值的变

x?y?m,???y?2x?4.化范围是（ ）.

A．[7,8] B．[7,15] C.[6,8] D．[6,15]

9.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的7时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切8（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（ ）. A．

7?4?2?? B． C. D． 633210.如图所示，由直线x?a,x?a?1(a?0)，y?x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即a?2a?12?2?n?N.类比之，若对，不等式xdx?(a?1)?a111111??...??A???...?恒成立，则实数A等于（ ）. n?1n?22nnn?12n?1

A．ln511 B．ln2 C. ln2 D．ln5 222第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．

12.函数f(x)?A?(A?0,??0,??)的部分图像如图所示，则

sin(?x??)2f()= ．

4?

13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有 种．

x2y214.已知A为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右顶点，B1,B2分别为虚轴的两个端点，

abF为右焦点，若B2F?AB1，则双曲线C的离心率是 ．

15.在研究函数f(x)?x2?4?x2?12x?40的性质时，某同学受两点间距离公式启发，

将f(x)变形为f(x)?以下五个描述：

(x?0)2?(0?2)2?(x?6)2?(0?2)2，并给出关于函数f(x)①函数f(x)的图像是中心对称图形；②函数f(x)的图像是轴对称图形； ③函数f(x)在[0,6]上使增函数；④函数f(x)没有最大值也没有最小值； ⑤无论m为何实数，关于x的方程f(x)?m?0都有实数根. 其中描述正确的是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16. 已知函数f(x)?3sin?xcos?x?sin2?x?1(??0)相邻两条对称轴之间的距离为

?. 2（Ⅰ）求?的值及函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）已知a,b,c分别为?ABC中角A,B,C的对边，且满足a?3,f(A)?1，求?ABC面积S的最大值.

17. 如图，四棱锥中P?ABCD,?ABC??BAD?90?，BC?2AD，?PAB与?PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点. （Ⅰ）求证：AE//平面PCD；

（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小.

18.为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛.经过层层选拔,最终甲乙两人进入总决赛,争夺冠军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.已知甲、乙答对每道题的概率分别为

23和，且每次答题的结果相互独立. 34（Ⅰ）若乙先答题，求甲3:0获胜的概率；

（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为X，求X的分布列和数学期望EX.

19. 数列?an?是公差为正数的等差数列，a2和a5是方程x?12x?27?0的两实数根，

2?bn?数列满足

3n?1bn?nan?1?(n?1)an.

（Ⅰ）求an与bn；

（Ⅱ）设Tn为数列的前n项和，求Tn，并求Tn?7时n的最大值. 20. 设f(x)?xlnx?ax2?(2a?1)x,a?R. （Ⅰ）令g(x)?f?(x)，求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a?0时，直线y?t(?1?t?0)与f(x)的图像有两个交点A(x1,t),B(x2,t)，且

x1?x2，求证：x1?x2?2.

x2y23321.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点(1,，点A为椭圆C的)，离心率为

ab22右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P(x1,y1),Q(x2,y2). （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

????????（Ⅱ）当AP?AQ?0时，求?OPQ面积的最大值；

（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：?OPQ的外接圆恒过一个异于点A的定点.

淄博市2016-2017 学年度高三模拟考试

理科数学试卷答案

一、选择题

1-5:CBDBD 6-10:ACACB

二、填空题

11. 12； 12. 43； 13.48； 14. 5?132； 15.①③④.

三、解答题

16. 解：（Ⅰ）f(x)?32sin?x?1?cos2?x?12?1?sin(2?x?6)?2. 因为相邻两条对称轴之间的距离为?2， 所以T??，即

2?2???，所以??1. 所以f(x)?sin??2x???1?6???2. 令

??2k??2x???3?262?2k?(k?Z)， 解得?2?6?2k??x?3?k?(k?Z). 所以f(x)的单调递减区间为???2?6?k?,?3?k????(k?Z).

（Ⅱ）由f(A)?1得sin(2A??)?1.因为2???13??62A?6???6,6??. 所以2A??6?5??,A?. 63222由余弦定理得a?b?c?2bccosA， 即(3)?b?c?2bccos22222?3.

所以bc?3?b?c?2bc，解得bc?3. 当且b?c仅当时等号成立. 所以S?ABC?11333. bcsinA??3??222417. 解：（Ⅰ） 因为?ABC??BAD?90?，

BC?2AD，E是BC的中点.

所以AD//CE， 且AD?CE，

四边形ADCE是平行四边形，所以AE//CD.

AE?平面PCD，CD?平面PCD

所以AE//平面PCD.

（Ⅱ）连接DE、BD,设AE交BD于O,连PO, 则四边形ABED是正方形，所以AE?BD. 因为PD?PB?2,O是BD中点,所以PO?BD. 则PO?PB2?OB2?4?2?2,又OA?2,PA?2.

所以?POA是直角三角形,则 PO?AO； 因为BD?AE?O,所以PO?平面ABCD. 如图建立空间坐标系，

则P(0，0，2),A(?2,0，0),B(0，2,0)，E?2,0，0,D0，?2,0.

???所以PA??2,0，2,PB?0，2,?2,PD?0，2,?2,AE?22,0，0.

??????????????????n1?PA?0???2x1?2z1?0设n1?(x1,y1,z1)是平面PAB的法向量，则??????， ?????n1?PB?0??2y1?2z1?0??取x1?1，则y1?z1??1，所以n1?(1,?1,?1).

???n2?(x2,y2,z2)是平面PCD的法向量， ?????????????????n2?PD?0?n2?PD?0???2y2?2z2?0??. ?????????????????22x2?0??n2?DC?0??n2?AE?0??取y2?1，则n2??0,1,?1?. 所以cosn1?n2?n1?n2n1?n2?0?0,

3?2所以平面PAB与平面PCD所成二面角是90°.

18. 解：（Ⅰ）分别记“甲、乙回答正确”为事件A、B，“甲3:0获胜”为事件C,则

P(A)?23,P(B)?. 由事件的独立性和互斥性得: 34P(C)?P(BAB)?P(B)P(A)P(B),

1211????. 43424（Ⅱ）X的所有可能取值为. 0,1,2,3.

211P(X?0)?()2??,

34923112111P(X?1)?()2???C2???()2?,

34433492311231126111P(X?2)?()2?()2?C2??C2??()2??()2?()2??,

343434343216107P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?.

21612312321213223211(或P(X?3)?()??C2???()?()???()?()?

3433434434321311110711?C2??()2?C2???()2?()2?.)

334434216X的分布列为：

1161107467E(X)?0?+1??2?+3?=.

9921621621619. 解：（Ⅰ）由a1?a5?12, a1a5?27且d?0,得a1?3,a5?9. 因此d?a5?a1?2, a1?1,因此an?2n?1. 33n?1bn?n(2n?1)?(n?1)(2n?1)?4n?1,

所以bn?4n?1. 3n?14n?1, 3n?137114n?54n?1因此Tn???2?...?n?2?n?1,

13333Tn37114n?54n?1??2?3?...?n?1?n. 3333332T4444n?1相减得n?3??2?...?n?1?,

33333n11(1?n?1)2Tn4n?14n?53?3?4?3??n?5?n.

13331?3154n?5?因此Tn?. 22?3n?14(n?1)?54n?5?(4n?3)Tn?Tn?1????0,

2?3n2?3n?13n（Ⅱ）由(Ⅰ)知，bn?因此Tn?Tn?1,即?Tn?为递增数列.

4n?1?0,即?Tn?为递增数列.) 3n?15964?7,T4??7, 又T3?99(或因为bn?因此Tn?7时n的最大值为3.

20. 解：（Ⅰ）由f?(x)?lnx?2ax?2a, 可得g(x)?lnx?2ax?2a,x?(0,??), 则g?(x)?11?2ax?2a?. xx当a?0时, x?(0,??)时，g?(x)?0，函数g(x)单调递增； 当a?0时，x?(0,11)时，g?(x)?0，函数g(x)单调递增；x?(,??)时，g?(x)?0，2a2a函数g(x)单调递减；

所以，当a?0时，函数g(x)单调递增区间为(0,??)；当a?0时，函数g(x)单调递增区间为(0,11)，单调递减区间为(,??). 2a2a（Ⅱ）由(Ⅰ)知，f?(1)?0.

当a?0时, f?(x)是增函数，且当x??0,1?时，f?(x)?0，f(x)单调递减； 当x?(1,??)时，f?(x)?0，f(x)单调递增.

所以f(x)在x?1处取得极小值，且fmin(x)?f(1)?a?1??1， 所以0?x1?1?x2.

f(x2)?f(2?x1)?f(x1)?f(2?x1)?x1lnx1?ax12?(2a?1)x12?[(2?x1)ln(2?x1)?a(2?x1）+（2a?1)(2?x1)]

. ?x1lnx1?(2?x1)ln(2?x1)?2(x1-1）令h(x1)?x1lnx1?(2?x1)ln(2?x1)?2(x1-1），则

h?(x1)?lnx1?ln(2?x1)?lnx1(2?x1)?ln[??x1-1?]?0，

于是h(x1)在（0,1）上单调递减，故h(x1)?h(1)?0， 由此得f(x2)?f(2?x1)?0即f(x2)?f(2?x1). 因为2?x1?1,2x2?1，f(x)在(1,??)单调递增， 所以x2?2?x1即x1?x2?2.

2

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