人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

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为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.

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基本初等函数的导数公 式1. 若 f x c,则 f ' x 0 ; 2. 若 f x xn n N ,则 f ' x nx n 1 ; 3. 若 f x sin x,则 f x cos x ;'

4. 若 f x cos x,则 f ' x sin x ; 5. 若 f x a ,则 f x a ln a ;x ' x

6. 若 f x e x ,则 f ' x e x ;1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x ln a 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x'

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t p0 1 5% t , 其中p0 为t 0 时的物价.假 关系p

例1 假设某国家在20 年期间的年通货膨 率为 胀 5%, 物价p 单位 : 元 与时间t 单位 : 年 有如下函数

p' t 1.05t ln1.05. 所以,p' 10 1.0510 ln1.05 0.08 元 / 年 .

定某商品的p0 1, 那么在第 个年头, 这种商品的 10 的价格上涨的速度大约 是多少( 精确到0.01 ) ? 解 根据基本初等函数导数公式表, 有

因此, 在第10个年头, 这种商品的价格约以 0.08元 / 年的速度上涨.思考 如果上式中某种商品的 0 5,那么在第 个 p 10 年头, 这种商品的价格上涨的 速度大约是多少 ?

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t 5 1.05t.这时, 求p关于t的导 当p 0 5时, p 数可以看成求函数f t 5 与 g t 1.05t 乘积的导数.下面的" 导数运算法则 可以帮助我们解 " 决两个函数加、减、乘 、除的求导问题 .

导数运算法则1. f x g x f ' x g' x ;'

2. f x g x ' f ' x g x f x g' x ; f x f x g x f x g x g x 0 . 3. 2 g x g x ' ' '

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例2

根据基本初等函 的导数公式 数3

和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.

解 因为y x 2x 3 ' 3

'

x

3 '

2x 3 '

'

3x 2.2

所以,函数 y x 3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.

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例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的.随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用 单位 : 元 为 5284 80 x 100 .求净化到下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变化率 :

1 90% ;

2 98% .

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解 净化费用的瞬时变化率就是净化费 用函数的导数. ' 5284 ' c x 100 x ' ' 5284 100 x 5284 100 x 2 100 x 0 100 x 5284 1

100 x

2

100 x

5284

2

.

1 因为c 90 '

100 90

5284

2

52.84,

所以, 纯净度为90%时, 费用的瞬时变化率 是55.84元 / 吨 .

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2 因为c 98 '

100 98

5284

2

1321,

所以, 纯净度为98%时, 费用的瞬时变化率 是1321元 / 吨 .函数 f x 在某点处的导数的大小 表示函数 在 此 点附近变化的快 慢 .由上 述 计算可知 ,' '

c 98 25c 90 .它表示纯净度为 % 左 98 右时 净 化费用的变化率 ,大 约是 纯 净 度 为 90% 左右时净化费用变化率 25 倍 .这说 的 明,水的纯净度越高需要的净化费用就越多 , , 而且净化费用增加的速 度也越快 .

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我们无法用现有的方法求函数y ln x 2 的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点. 若设u x 2 x 2 , 则y ln u.从而y ln x 2 可以看成是由y ln u 和u x 2 x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量u表示为自变量x 的函数. 如果把 y 与u的关系记作 y f u , u 和 x 的关系记作 u g x ,那么这个" 复合" 过程可表示为 y f u f g x ln x 2 . 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成, 等等.2

思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?

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一般地, 对于两个函数y f u 和u g x , 如果通过 变量u, y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复合函数 (composite fun ction), 记作y f g x . 复合函数y f g x 的导数和函数y f u , u g x 的 ' ' ' 导数间的关系为y x y u u x .

y 'x 表示y对x的导数即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 由此可得, y ln 3x 2 对x的导数等于y ln u对u的 导数与u 3x 2对x的导数的乘积, 即 1 3 ' ' ' ' ' y x y u u x ln u 3x 2 3 . u 3x 2

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例4

求下列函数的导数2 0.05 x 1

解 1 函数y 2 x 3 可以看作函数y u3和 u 2 x 3的复合函数. 由复合函数求导法则有2

1 y 2 x 3 ; 2 y e ; 3 y sin πx φ 其中π, φ均为常数 .

2 函数 y e 0.05x 1 可以看作函数 y eu 和u 0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有

' y 'x y u u'x u2 ' 2 x 3 ' 4u 8x 12.

y y u' x ' u

' x

e

0.05x 1 u '

'

0.05eu 0.05e 0.05x 1.

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3 函数y sin πx φ 可以看作函数y sinu和u πx φ的复合函数.

由复合函数求导法则有' y 'x y u u'x sinu ' πx φ '

π cosu π cos

πx φ .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kfui.html