量子力学习题

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— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 3、力学量G4、简述能量的测不准关系；

?1(x,y,z)??表象下，波函数???5、电子在位置和自旋S?z??(x,y,z)??如何归一化？解释

?2?各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场U(x)?ax2?bx?c中运动（a?0）。求其定态

能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态?(x)?B(sin2kx?1，求此时粒子的2coskx)平均动量和平均动能。

(0)(0)四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E1(0)?E2?E3?E。在不含时

?E1?(0)??作用下，总哈密顿算符H?在H?表象下为H??0微扰H????受微扰后的能量至一级。

0E1??E2???????。求

?、S?表象下的S?、S?的矩阵表示。 五（20分）对电子，求在Sxxzy

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— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

???(r,t)?(r,t)状态2、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在

中测量力学量F的可能值及其几率的方法。

?3、设粒子在位置表象中处于态?(r,t),采用Dirac符号时，若将?(r,t)改

写为

??(r,t)有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如

?何表示？

4、简述定态微扰理论。

5、Stern—Gerlach实验证实了什么？

??二（20分）设粒子在三维势场U?x,y,z????0和波函数。

x?ax?a中运动，求粒子定态能量

?Axe??x三（20分）一维运动的粒子在态??x????0?????p???? ??0。求??x22当x?0当x?0中运动，其中

四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为s

B—1—1

?12?表象中S?、S?、S?的矩阵表示。 的粒子，求在Sxzyy河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？

?(0)的某一能级E(0)，对应f个正交归一本征4、在简并定态微扰论中，如Hn??H??0??H??函数?i（i=1，2，?，f），为什么一般地?i不能直接作为H的零级近似波函数？

?)2?(?S?)2是多少？ ?的测不准关系(?S?和S5、在自旋态?1(sz)中，Sxyxy2??二（20分）求在三维势场U?x,y,z????0能量和波函数。

三（20分）求氢原子基态的最可几半径。

其它区域中运动的粒子的定态

当x?a且y?b0?c??在某表象下H????0四（20分）已知哈密顿算符H5?2?bi0?a?i??0? 2??且知其基态E0=－3??，求实数a，b，c。

???表象下，S五（20分）求在Snz系处于?1(sz)态时，求Sn?2?1?x?(2?232?z)的本征值及本征函数。当体??的几率为多少？ 2

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D

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一、概念题：（共20分，每小题4分）

??1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态

??Schrodinger方程的解？

2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 4、何谓选择定则。

??5、能否由Schrodinger方程直接导出自旋？

?U二（20分）求在一维势阱U?x???0??数。

三（20分）当体系处在状态 ?????a?x?b中运动的粒子的定态能级和波函其它12?sin??32?（这里?为角坐标）。cos?时，

??四（20分）转动惯量为I，电偶极矩为D的空间转子，处在均匀电场?中，如

电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。

求角动量z分量Lz的可能值及其平均值。

?为角动量算符，jm为?2?共同本征态，??J??iJ?，J五（20分）已知JJ,Jz?xy?jm?试证明：J?

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?j(j?1)?m(m?1)?j,m?1

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E

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一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、叙述量子力学的态迭加原理。 2、厄米算符是如何定义的？

???a?，a?]=1，N??a?，N3、据[a??n?nn?1。n?nn，证明：a

4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

??????是否厄米算符？??是否一种角动量算符？ ?，问?S5、自旋???2???1二（20分）粒子在势场U?x???22????x?a??2x?ax?a中运动，求其定态能级及波函

数。

?三（20分）氢原子处于基态。求(1) r的平均值；(2) 动量P的平均值

0??10??四（20分）已知哈密顿算符H????02ai?

?0?ai3???求：（1）能量本征值；（2）当a很小时，能量修正至二级。

??五（20分）设Fl?11??)??L(l?1??2l?1?12?????????????分别为,J?L?S，其中L,S??2轨道角动量和自旋s?在l确定的态中，当

?2,J?2的量子数。的自旋角动量。l,j分别为L求证：

12j?l?时Fl?1；当

j?l?12时Fl?0。

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 K

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一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

????的表示式。 ??xp2、写出位置表象中x，p，和r??3、对于定态问题，试从含时Schrodinger方程推导出定态

??Schrodinger方程；

4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n是否存在限制？为什

么？

5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？

二、（20分）求在一维势场U?x??Ax2?B（A＞0）中，运动的粒子的定态能级

和波函数。

?0三、（20分）一粒子在一维无限深势阱U?x?????处于定态时的平均动能T。

四、（20分）设尝试函数为ce??0x2当 0?x ?a当x ＜　0或x ＞a中运动，求其

，c为归一化系数，?0为与x无关的变分参数，

试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。

22?(?S)?(?S)?? 五、（20分）求在自旋态?(sz)??中的测不准关系xy???1??5?

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 L

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一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？

??????xp2、试写出动量表象中，r，x，p的表式

3、幺正算符是怎样定义的？

4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射

系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？ 5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？

二、（20分）试求三维各向同性谐振子的基态波函数。

?]，其中z?为轨道角动量分?为坐标分量算符，L?,L三、（20分）推导对易关系[zxx量算符。

?0?i0????F??i00四、（20分）已知某表象下力学量??，求其本征值及本征函数。

?000???

?2?22?(?S)?(?S)?? 五、（20分）在自旋态?(sz)??中，其测不准关系 yz?3???

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 M

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一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。 2、一维线性谐振子基态归一化波函数为 ??0????1e2?2x2，试计算积

分

?e0??x2dx；

3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量

F的可能值及其几率的方法；

??4、已知氢原子径向Schrodinger方程无简并，微扰项只与r有关，问非

简并定态微扰论能否适用？ 5、自旋是否意味着自转？ 二、（20分）一体系哈氏量为H求其定态能级及波函数。

???????＝2i?p??p??L? 三、（20分）试证明 L?p???2e22?????cLz 其中c为常数，

2?4??0r　四、一粒子在一维势场U?x??1??2x2?bx中运动，b很小，试用微扰论求其定2态能量至二级，波函数至一级。

??????????五、（20分）已知角动量J?L1?L2，求在态l1l2jm?1110中的L1?L2的值。

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 N

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、光到底是粒子还是波；

2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有

确定值？

3、不考虑自旋，求球谐振子能级En的简并度；

4、我们学过，氢原子的选择定则?l??1，这是否意味着?l??3的跃迁绝

对不可能发生？

5、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？

0，二、（20分）设粒子在二维势场U?x,y??Ax2?By2?cx中运动，其中常数A ＞　B ＞　0．求其定态能级和波函数。

?0三、（20分）在一维无限深势阱U?x?????处在定态时的平均坐标x。

当 0?x ?a当x ＜　0或x ＞a中运动的粒子，求它

四、（20分）求氢原子处于基态时，在恒定外弱电场?作用下，其定态能级至二

级和波函数至一级。

?表象下的矩阵表示，求自旋S?的本征值及对应本征函数五、（20分）根据在Szy?（粒子s=1）。

2N—1—1

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考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 O

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一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、在球坐标系下，波函数??r,?,??为什么应是进动角?的周期函数？ 2、设当x＜a和y＜b时，势能为常数U0，试将此区域内的二维

??Schrodinger方程分离变量(不求解)；

3、何谓力学量完全集？

?????e?4、定性说明为什么在氢原子的Stark效应中，可将H?r视为微扰项？

??5、Pauli算符?是否满足角动量的定义式？

当 a?x ?b 中运动，求其定态

其它?U0二、（20分）有一粒子在一维势场 U?x?????能级及波函数。

?均为厄米算符，利用关系?、G?]?iK?,G?，其中F三、（20分）已知[FI??????2k222????。 ??F?i?G?d??0证明测不准关系 (?F)?(?G)?4?四、（20分）已知

?Lz、

?Ly?0?i0????L??i00的伴随表示分别为z?? 及

?000????00i????Ly???000?

??i00????的矩阵表示。 求Lx?0??)2?(?S?)2?? (?S五、（20分）求在自旋态?1(sy)??的测不准关系 ?zx?1?2??

O—1—1

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