CH03椭圆方程差分法CH3.1-3.7

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第三章 椭圆型方程的差分方法 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 3.3 混合边值条件 3.4 非矩形区域 3.5 极坐标形式的差分格式 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近 的敛速分析 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性 质研究

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设 是平面中的具有边界的一个有界区域，本章 考虑如下椭圆型方程的差分解法： 2u 2u 2u u u (3.1) a x, y 2 2b x, y c x, y 2 d x , y , u , , x y x y x y

其中，系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)满足 b 2 ac 0 x, y 对应方程(3.1)的定解问题有下面三类：第一边值问题，或称Drichlet问题 方程 3.1 u f x, y

(3.2)

x, y x, y

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第二边值问题，或称Neumann问题 方程 3.1 x, y u g x, y x, y n

第三边值问题，或称Robin问题 方程 3.1 x, y u x, y u x, y n

x, y x, y

其中

x, y , x, y 0

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3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边 值问题的差分模拟考虑Laplace方程 2u 2u 2 0 2 x y

x, y

(3.3)

设Ω为正方形区域，0<x<1,0<y<1,求方程(3.3) 满足边值条件u x, y f x, y

x, y

(3.4)

的解。

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因此Laplace方程的五点差分格式为1 U l 1,m U l 1,m U l ,m 1 U l ,m 1 4U l ,m 0 2 h

(3.6)

它具有截断误差:

1 2 4u 4u h 4 4 12 x y l , m

我们引进记号◇,有◇U l ,m 1 (U l 1,m U l 1,m U l ,m 1 U l ,m 1 4U l ,m ) 2 h

(3.7)

因此差分方程(3.6)即◇U l ,m 0 。

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如图3.1所示 在区域Ω的每一内部结点(l,m)上

l 1, , M 1; m 1, , M 1。 建立差分方程，由此在区域Ω内部 ( M 1) 个点上建立 ( M 1) 个方程。22

◇U l , m 0 定义向量

l , m 1, , M 1

(3.8)T

U U 1,1 ,U 2,1 , ,U M 1,1 ;U 1, 2 ,U 2, 2 , ,U M 1, 2 ;U 1,M 1 ,U 2,M 1 , ,U M 1,M 1

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单位正方形中的内部结点上的 (M 1) 个线性方程 (3.8)写成矩阵形式为 AU=K (3.9) 其中，A是 (M 1) 阶方阵22

B I A

I B I I B I

I B

I 是(M-1)阶单位方阵；B是(M-1)阶方阵。 4 1 1 4 1 B 1 4 1 1 4

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3.2 Neumann边值问题的差分模拟现在我们考

虑Laplace方程Neumann边值问题，即 2u 2u 0 x, y ; x, y | 0 x 1,0 y 1 x 2 y 2 u | g x, y n u n

(3.10)

表示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方 形的四个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里 将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定 义。

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Neumann边值问题(3.10)的解存在，仅当

g ( x, y )dl=0

且除了一个任意常数外，解唯一。因为容易看到，如 果u(x,y)是式(3.10)的解，于是， u(x,y)+C(C是一个任 意常数)也是其解。为了唯一性，需要规定u(x,y)在区域 中某一点上的值。

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Neumann边值问题的差分模拟 先在区域Ω中给定一个正方形网格区域，步长为 h,Mh=1,于是必须确定解的结点为(M 1) 个，结点上 的差分方程的解为 U 0 l , m M (3.12)2

l ,m

在内点上，Laplace方程由差分方程(3.6)代替：1 2 2 x y U l ,m 0 2 hl , m= 1 , 2 , , M 1

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在x=0上的导数边值条件的差分模拟为1 U 1,m U1,m g0,m 2h m 1,2, M 1

(3.13)

这里

g 0,m g 0, mh 。

在五点差分格式(3.12)中令l=0,于是有

2 x

y2 U 0,m 0

即

U 1,m 2U 0,m U1,m U 0,m 1 2U 0,m U 0,m 1

代入式(3.13),则4U 0,m 2U 1,m U 0,m 1 U 0,m 1 2hg0,m m 1, , M 1

(3.14)

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同理，在x=1,y=0,y=1时分别有4U M ,m 2U M 1,m U M ,m 1 U M ,m 1 2hgM ,m m 1, , M 14U l ,0 2U l ,1 U l 1,0 U l 1,0 2hgl ,0 l 1, , M 1

(3.15) (3.16) (3.17)

4U l ,M 2U l ,M 1 U l 1,M U l 1,M 2hgl ,M l 1, , M 1

在四个顶点上，有4U 0,0 2U1,0 2U 0,1 4hg0,04U 0,M 2U1,M 2U 0,M 1 4hg0,M

4U M ,0 2U M ,1 2U M 1,0 4hgM ,04U M ,M 2U M 1,M 2U M ,M 1 4hgM ,M

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由此，正方形 方程解 U lm 满足线性方程组 AU=2hg 这里A是(M 1) 阶方阵2

2 0 x, y 1 区域的 ( M 1) 个结点上差分

(3.18) I B

B I A

2I B I I B 2I

I是(M+1)阶单位方阵；B 是如下(M+1)的阶方阵： 4 1 B 2 4 1 1 4 2 1 4

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方程组(3.18)中的向量U和g由以下给出：U U 0,0 ,U1,0 , ,U M ,0 ;U 0,1 , ,U M ,1; ;U 0,M , ,U M ,M T

g 2 g 0,0 , g1, 0 , , g M 1, 0 ,2 g M , 0 ; g 0,1 ,0, ,0, g M ,1 ; ; g 0, M 1 ,0, ,0, g M , M 1 ;2 g 0, M , g1, M , , g M 1, M ,2 g M , M g l ,m g lh, mh T

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例 3.1 在单位正方形区域Ω上解Laplace方程Neumann 问题

2u 2u 0 0 x, y 1 x 2 y 2 u g x, y n

解

令h=1/2,应用图3.2中结点次序，则方程(3.18)为

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0 0 0 0 U 1 2 g1 4 2 0 2 0 g 1 4 1 0 2 0 U 0 0 0 2 2 2 g 3 0 2 4 0 0 2 0 0 0 U 3 U g 1 0 0 4 2 0 1 0 0 4 4 0 1 0 1 4 1 0 1 0 U 5 2h 0 U g 0 0 1 0 2 4 0 0 1 6 6 2 g 0 0 0 2 0 0 4 2 0 U 7 7 0 0 0 2 0 1 4 1 U 8 g8 0 2 g 0 0 0 0 0 2 0 2 4 U 9 9

(3.19)

或简写成 AU=2hg。 显然A是一奇异矩阵。

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3.3

混合边值问题

在xy平面的某区域Ω中，未知函数u满足Laplace方 程，将边界 分成若干弧段，要求u在每一弧段上满足 不同类型的边界条件。讨论此类定解问题的差分模拟。 例如，求解如下定解问题： 2u 2u 2 2 0 x, y ; x, y | 0 x, y 1 y x u p y u f y x 0;0 y 1 0 x u (3.21) q x u f1 x y 0;0 x 1 y x 1;0 y 1 u g x, y y 1;0 x 1

p, q, f 0 , f1 , g

是给定的函数。

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在求解区域Ω内由逼近Laplace方程的五点差分公式

1 2 2 x y U l ,m 0, l , m 1,2, , M 1 2 h 给出函数u在结点(lh,mh)的近似值 U lm所满足的差分方程。

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对于在x=0上的结点(0,mh),应用边值条件 u p y u f 0 y x

的差分模拟和五点差分公式，即U 1,m U1,m U 0,m 1 U 0,m 1 4U 0,m 0

U

1, m

U 1,m 2h pmU 0,m f 0,m

pm p mh ; f 0,m f 0 mh

(3.22)

消去U 1,m ,得2U1,m U 0,m 1 U 0,m 1 4 2hpm U 0,m 2hf0,m m 1,2, , M 1

相似地对于y=0上的结点(lh,0),我们有 2U l ,1 U l 1,0 U l 1,0 4 2hql U l ,0 2hf1,l l 1,2, , M 1 其中，ql q lh , f1,l f1 lh 。

(3.23)

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在原点(0,0)上，两边值条件相遇，则U 1,0 U 1,0 U 0, 1 U 0,1 4U 0,0 0

U 1,0 U 1,0 2hp0U 0,0 2hf0,0U 0,1 U 0, 1 2hq0U 0,0 2hf1,0

消去U 1,0 和 U 0, 1 ,则2U 1,0 2U 0,1 4 2hp0 2hq0 U 0,0 2h f 0,0 f1,0

(3.24)

且对l=0和m=0上成立的方程(3.22),(3.23)用1/2乘 之，对l=m=0上的方程(3.24)用1/4乘之。

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这样在整个计算区域及相应边界网格点上建立了差 分方程：U l 1,m U l 1,m U l ,m

1 U l ,m 1 4U l ,m 0l , m 1,2, , M 1

U l ,1

U l 1,0

2 hpm U 0,m hf0,m m 1,2, , M 1 2 U1,0 U 2 hp0 hq0 U h f0,0 f1,0 0,1 2 2 2 0, 0 2 U1,m 2

U 0,m 1

2

U l 1,0

U 0,m 1

2

2 hql U l ,0 hf1,l l 1,2, , M 1

令

U U 0,0 ,U 1,0 , ,U M 1,0 ;U 0,1 , ,U M 1,1 ; ,U 0,M 1 , ,U M 1,M 1

T

下面把所有差分方程写成矩阵形式，于是U满足方程 AU=hg (3.25)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kfkj.html